1、3 基本幾何元素的投影空間點空間點用用大寫字母大寫字母表示，點的表示，點的投影投影用用小寫字母小寫字母表示。表示。VWHOXYZAaaa3.1.1點的三面投影及其點的三面投影及其展開展開YWZOXYHaaa3.1點的投影VWHOXYZAaaaOXYWYHZaaa3.1.2 點的三面投影和坐標點的投影規(guī)律 點的正面投影和水平投影的連線垂直于點的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸軸 點的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于點的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸軸 點的水平投影到點的水平投影到OX軸的距離等于點的側(cè)面投軸的距離等于點的側(cè)面投 影到影到OZ軸的距離軸的距離 長對正、高平齊、寬相等長對正、

2、高平齊、寬相等 投影點間的連線和投影軸的關(guān)系：投影點間的連線和投影軸的關(guān)系： aaOX aa”O(jiān)Z aaxa”az點的投影規(guī)律點的投影規(guī)律OXYHYWZaaabbbccc利用點的兩個投影求第三個投影 如果知道點的兩個投影，則該點在空間的位置就確定了，因此它的第三投影也唯一確定。 a aaxa a aaxazaz方法一方法一:通過作通過作45線使線使a az=aax方法二方法二:用分規(guī)直接用分規(guī)直接量取量取a az=aaxa 點在投影面和投影軸上的投影規(guī)律點在投影面和投影軸上的投影規(guī)律 點在投影面上； 點在投影軸上點的兩個投影落在投影軸上； 點的三個投影和其本身重合 d d e e f f e

3、f dzxYW YH0 d a a a1.1.兩點的相對位置兩點的相對位置3.1.3 3.1.3 兩點的投影及重影點兩點的投影及重影點例二：題解例二：題解重影點: 空間兩點在某一投影面上的空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點投影重合為一點時，時，則稱此兩點為則稱此兩點為該投影面該投影面的重影點的重影點。OXYWYHZaaabb(b)重影點在三對坐標值中，必定重影點在三對坐標值中，必定有兩對相等。從投影方向觀看，有兩對相等。從投影方向觀看，重影點必有一個點的投影被另重影點必有一個點的投影被另一個點的投影遮住而不可見。一個點的投影遮住而不可見。判斷判斷重影點重影點的的可見性可見性時，需要時，需要

4、看重影點在另一投影面上的投看重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，反之不可見，不可見點不可見點的的投影投影加括號加括號表示。表示。3.2 直線的投影:1.投影面垂直線投影面垂直線: 垂直于一個投影，平行于另二個投影面 2.投影面平行線投影面平行線: 平行于一個投影面，傾斜于另兩個投影面 3.一般位置直線一般位置直線: 傾斜于三個投影面的直線。 鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側(cè)垂線側(cè)垂線投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性 投影面垂直線種類投影面垂直線種類 正垂線：V面，H，W 鉛垂線：H面，V，W 側(cè)垂線：W面，H，V 。 投影面垂直線投影特

5、性投影面垂直線投影特性 當直線AB垂直于投影面時，它在該投影面上的投影ab變成一個點ab。直線上任一點M的投影m也重合在這個點上，這種性質(zhì)叫積聚性積聚性； 在另外兩個投影面的投影垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映實長。 鉛垂線的投影鉛垂線的投影總結(jié)：投影面垂直線的投影特性總結(jié)：投影面垂直線的投影特性 投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性 投影面平行線種類投影面平行線種類 正平線：V，對H、W面傾斜。 水平線：H，對V、W傾斜。 側(cè)平線：W對H、V傾斜。 投影面平行線投影特性投影面平行線投影特性 在直線所平行的投影面上，投影反映實長； 且其投影與投影軸的夾角反映直線與相應(yīng)投影面的傾角； 在另外兩

6、個投影面上的投影小于實長，且平行于相應(yīng)的投影軸。 反映實長反映實長正平線投影圖正平線投影圖總結(jié)總結(jié):投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性 在所平行的投影面上的投影反在所平行的投影面上的投影反映實長；映實長； 其它兩投影平行于相應(yīng)的投影其它兩投影平行于相應(yīng)的投影軸，且小于實長。軸，且小于實長。 一般位置直線的投影特性一般位置直線的投影特性 直線的各投影均對投影軸傾斜； 直線的各投影與投影軸的夾角并不反映空間直線與相應(yīng)投影面的傾角。 當直線AB傾斜于投影面時，它在該投影面上的投影ab長度小于實長，縮短多少，根據(jù)對投影面夾角大小確定。 投影特性：投影特性： 三個投影都縮短。三個投影都縮短。即

7、即: 都不反映空間線段都不反映空間線段的實長及與三個投影面的實長及與三個投影面夾角的實大，且與三根夾角的實大，且與三根投影軸都傾斜。投影軸都傾斜。abb a b a 討論：如何判斷直線于投影面關(guān)系 投影面垂直線： 有兩個垂直于投影軸的投影 有一個投影積聚成一點 投影面平行線： 有一個平行于投影軸的投影 一般位置直線： 有兩個不平行于投影軸的投影 從屬性：點在直線上，點從屬性：點在直線上，點的投影在直線的同面投影上。的投影在直線的同面投影上。 定比性：點分線段之比等定比性：點分線段之比等于點的投影分線段的投影之于點的投影分線段的投影之比比 。AC/CB=ac/cb= a c / c b ABCV

8、Hbcc b a aabcc ca b ba 點的投影在直線的同面投影上，并點的投影在直線的同面投影上，并符合點的投影規(guī)律。符合點的投影規(guī)律。 C點在直線上點在直線上NEW例：例：判斷點是否在直線判斷點是否在直線 上上解法：解法： 點的投影不符合點在直線上的投影規(guī)律，點的投影不符合點在直線上的投影規(guī)律，故點不在直線上。故點不在直線上。NEWd0M0解法解法例：例：判斷點是否在直線判斷點是否在直線 上上O O 點的投影不符合直線上點定比性，故點點的投影不符合直線上點定比性，故點不在直線上。不在直線上。已知點已知點C C 在線段在線段ABAB上，求點上，求點C C 的正面投影。的正面投影。bXaa

9、bccaccbXOABbbaacCcHV3.2.3 直線與直線的相對位置空間兩直線的相對位置同面直線異面直線平行相交交叉例例：已知直線已知直線ABAB平行直線平行直線CDCD，試完成直線，試完成直線ABAB和和CDCD的三面投影。的三面投影。 題解：題解：a ac cb bbbd daaccddddaaccbbNEW兩相交直線兩相交直線兩交叉直線兩交叉直線正面投影重影點正面投影重影點水平投影重影點水平投影重影點重影點的可見性判斷重影點的可見性判斷b d c a cbadd b a c AB與與CD不平行。不平行。判斷圖中兩條直線是否平行。判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投影求出側(cè)面投影3.3

10、 3.3 平面的投影平面的投影abca b c 不在同一直不在同一直線上的三個線上的三個點點abca b c 直線及線直線及線外一點外一點abca b c dd 兩平行直兩平行直線線abca b c 兩相交兩相交直線直線abca b c 平面平面圖形圖形各種位置的平面各種位置的平面平面特殊位置平面一般位置平面投影面垂直面投影面平行面 3.3.2 各種位置的平面的投影特性各種位置的平面的投影特性VWHPPH ABCacbababbacccVWHQQV ababbacccAcCabBVWHSWS CabABcabbbaaccc投影面垂直面投影特性投影面垂直面投影特性 垂直于一個投影面，傾斜于另兩個

11、投影面。 正垂面：垂直于V面，對H，W面傾斜 鉛垂面：垂直于H面，對V，W面傾斜 側(cè)垂面：垂直于W面，對H，V面傾斜 投影面垂直面的投影特性：投影面垂直面的投影特性： 平面所垂直的投影面上的投影積聚為直線，與投影軸的夾角，分別反映平面對另兩個投影面的真實傾角。（積聚性）（積聚性） 在另外兩個投影面上的投影均為縮小的平面圖形。（類似性）類似性） VWH CABabcbacabccabbbaaccVWH cabbacbcabacabcbcaCBA VWHabbbacccabcbacabcCABa投影面平行面投影特性投影面平行面投影特性 平行于一個投影面，垂直于另兩個投影面。 正平面：平行于V面，對

12、H，W面垂直 水平面：平行于H面，對V，W面垂直 側(cè)平面：平行于W面，對H，V面垂直 投影面平行面投影特性：投影面平行面投影特性： 平面所平行的投影面上的投影反映實形；（實形性）（實形性） 平面在另外兩個投影面上的投影均積聚成直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。 （積聚性）（積聚性）一般位置平面投影特性一般位置平面投影特性 對V，H，W面都傾斜，不在同一直線上的三點構(gòu)成的平面。 投影特性投影特性 一般位置平面的投影特性：三面投影仍為平面圖形，且面積縮小。其投影為和原來形狀類似的圖形。（類似性）（類似性） abcbacababbaccbacCAB平面和直線投影特點平面和直線投影特點 實形性：投影反映實形

13、。 直線或平面平行于投影面時。 積聚性：投影積聚成一點或一條線。 直線或平面垂直于投影面時。 類似性：投影成為縮小的類似形。直線或平面傾斜于投影面時。3.3.2 平面上的點和直線平面上的點和直線 點和直線在平面上的幾何條件是： (1)點在平面上，則該點必定在平面上的一條直線上。 (2)直線在平面上，則該直線必定通過這個平面上的兩個點；或者通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。 上述幾何條件，是解決有關(guān)平面上點和直線的作圖和判別等習(xí)題的依據(jù)?？梢越鉀Q三類問題： 判別已知點、線是否屬于平面； 完成已知平面上的點和直線的投影； 完成多邊形的投影。 先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作先找出過此點

14、而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例例1：已知：已知K點在平面點在平面ABC上，求上，求K點的水平投影。點的水平投影。bacc a k b k 面上取點的方法：面上取點的方法：首先面上取線首先面上取線abcab k c d kd利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解通過在面內(nèi)作輔助線求解ddabcabceeabcbacmnnmbckada d b c ada d b c k bc例例3：已知：已知AC為正平線，補全平行四邊形為正平線，補全平行四邊形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解

15、法二3.5 回轉(zhuǎn)曲面的投影 3.5.1 回轉(zhuǎn)曲面的形成特點母線軸線母線軸線母線軸線3.5.2 圓柱體、筒體在圓柱表面上取點在圓柱表面上取點 已知圓柱表面上的點已知圓柱表面上的點M M及及N N正面投影正面投影aa、 bb、mm和和nn，求它們的其余兩投影。，求它們的其余兩投影。圓柱表面上取點圓柱表面上取點 a a” a b (b”) b筒體：3.5.3 圓錐體如果是圓錐轉(zhuǎn)向輪廓線上的點，可以直接作出點的其它兩個投影。如果是圓錐轉(zhuǎn)向輪廓線上的點，可以直接作出點的其它兩個投影。如果在圓錐面上一般位置的點如果在圓錐面上一般位置的點K，就只能作輔助線，才能由一已知投影，就只能作輔助線，才能由一已知投影

16、，求出另外兩個投影。求出另外兩個投影。 已知圓錐表面的點M的正面投影m,求出M點的其它投影。 過ms作圓錐表面上的素線，延長交底圓為1。111”mm”a(b)圖3-14 圓錐的投影及表面上的點ss”abcdc”d”sabc(d)m 求出素線的水平投影s1及側(cè)面投影s”1”。 求出M點的水平投影和側(cè)面投影。方法一：素線法方法一：素線法XZY圓錐的三面投影圖HVWacdbabcdss”c”d”a”(b”)ACBS方法二：緯圓法方法二：緯圓法 過過M M點作一平行與底面點作一平行與底面的水平輔助圓，該圓的正的水平輔助圓，該圓的正面投影為過面投影為過mm且平行于且平行于abab的直線的直線2323，它，它們的水平投影為一直徑等們的水平投影為一直徑等于于2323的圓，的圓，m m