1、重點 3 回歸正交組合試驗設(shè)計主要內(nèi)容： 3.1 回歸正交試驗設(shè)計簡介 3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析 3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析 回歸正交設(shè)計正交性的實現(xiàn)條件及其統(tǒng)計分析。 回歸正交設(shè)計的根本原理、正交性的實現(xiàn)條件，組合設(shè)計的方法，回歸方程的建立及顯著性檢驗。難點3.1 回歸正交試驗設(shè)計簡介3.1 回歸正交試驗設(shè)計簡介 正交設(shè)計 是一種重要的科學(xué)試驗設(shè)計方法。它能夠利用較少的試驗次數(shù)，獲得較佳的試驗結(jié)果。但是正交設(shè)計不能在一定的試驗范圍內(nèi)，根據(jù)數(shù)據(jù)樣本，去確定變量之間的相關(guān)關(guān)系及其相應(yīng)的回歸方程。 回歸分析 被動地處理由試驗所得到的數(shù)據(jù)，而對試驗的設(shè)計安排幾乎不提出任何要求

2、。 這樣不僅盲目地增加了試驗次數(shù)，而且由數(shù)據(jù)所分析出的結(jié)果還往往不能提供充分的信息，造成在多因素試驗的分析中，由于設(shè)計的缺陷而達(dá)不到預(yù)期的試驗?zāi)康摹?.1 回歸正交試驗設(shè)計簡介 簡單地說，就是主動地在因子空間選擇適當(dāng)?shù)脑囼烖c，以較少的試驗處理建立一個有效的多項式回歸方程，從而解決科學(xué)研究與生產(chǎn)實際中的最優(yōu)化問題。 即：主動地將試驗的安排、數(shù)據(jù)的處理和回歸方程的精度統(tǒng)一起來加以考慮的一種試驗設(shè)計方法。這種試驗設(shè)計方法稱為回歸設(shè)計。 將回歸與正交結(jié)合在一起的試驗設(shè)計與統(tǒng)計分析方法稱作為回歸正交設(shè)計。 3.1.1 回歸設(shè)計的根本思想3.1 回歸正交試驗設(shè)計簡介 回歸設(shè)計始于20世紀(jì)50年代初期，開展

3、至今其內(nèi)容已相當(dāng)豐富，主要包括： 1.回歸正交設(shè)計 2.回歸旋轉(zhuǎn)設(shè)計 3.回歸通用設(shè)計 4.回歸混料設(shè)計等。3.1.2 回歸設(shè)計的種類3.1 回歸正交試驗設(shè)計簡介 當(dāng)試驗研究的依變量如加工罐頭質(zhì)量與各自變量如殺菌方式、產(chǎn)品配料等之間呈線性關(guān)系時，那么可采用一次回歸正交設(shè)計的方法。3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析3.2.1 一次回歸正交設(shè)計的一般方法 一次回歸正交設(shè)計的方法原理與正交設(shè)計類似，主要是應(yīng)用2水平正交表進行設(shè)計，如L4(23)，L8(27)，L12(211)，L16(215)等。 具體設(shè)計的一般步驟如下： 3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析 回歸正交試驗設(shè)計的因素一般都大于3個，但

4、也不能太多，否那么處理過多，方案難以實施。 根據(jù)試驗研究的目的和要求確定試驗因素數(shù)，并在此根底上擬定出每個因素Zj的變化范圍。 Z0j(Z2j+Z1j )2 3-1 式中： Z1j 因素取值最低水平，稱為下水平 Z2j 取值最高水平，稱為上水平 Z0j 兩者之算術(shù)平均數(shù)，稱為零水平 上水平和零水平之差稱為因素Zj的變化間距，以j表示。 即： jZ2j-Z0j(Z2j-Z1j )2 3-21確定試驗因素及其變化范圍3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析 編碼過程 即對Zj的各水平進行線性變換，其計算式為： xij(Zij - Z0j ) j 3-3 例如 某試驗的第一個因素，其Z11= 4， Z21

5、= 12， Z01= 8，那么各水平的編碼值為： x21(Z21 - Z01 ) /1(12-8)/41 x01(Z01 - Z01 ) /1(8-8) /4 0 x11(Z11 - Z01 ) /1(4-8) /4-12對因素Zj的各水平進行編碼經(jīng)過上述編碼，就確定了因素Zj與Xj的一一對應(yīng)關(guān)系，即： 上水平 12Z21 +1x21 即： 零水平 8Z01 0 x01 Zj(Z1j，Z2j ) 下水平 4Z11 -1 x11 xj(x1j，x2j ) 對因素 Zj 的各水平進行編碼的目的 為了使供試因素 Zj 各水平在編碼空間是“平等的。 即它們的取值都是在1,-1區(qū)間內(nèi)變化，而不受原因素

6、Zj 的單位和取值大小的影響。 對供試因素 Zj 各水平進行了以上的編碼后，就把試驗結(jié)果 y 對供試因素各水平 Zi1,Zi2 , , Zim 的回歸問題轉(zhuǎn)化為在編碼空間試驗結(jié)果 y 對編碼值 xi1,xi2 , , xim 的回歸問題。 由此，我們可以在以 x1，x2 ， ， xm 為坐標(biāo)軸的編碼空間中選擇試驗點，進行回歸設(shè)計；這樣的設(shè)計大幅度地簡化了數(shù)據(jù)處理。3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析 無論是一次回歸設(shè)計，還是二次回歸設(shè)計，我們都先將各因素進行編碼，再去求試驗指標(biāo) y 對 x1,x2 , , xm 的回歸方程，這是試驗設(shè)計中經(jīng)常被采用的一種方法。3選擇適宜的2水平正交表，進行試驗方

7、案設(shè)計 在應(yīng)用2水平正交表進行回歸試驗方案設(shè)計時，以“1代換表中的“2，以“1代換表中的“1，并增加“0水平。 進行這種變換的目的是為了適應(yīng)對因素水平進行編碼的需要。代換后正交表中的“1和“1不僅表示因素水平的不同狀態(tài)，而且表示因素水平數(shù)量變化的大小。 原正交表經(jīng)過上述代換，其交互作用列可以直接從表中相應(yīng)幾列對應(yīng)元素相乘而得到。因此原正交表的交互作用列表也就不用了，這一點較原正交表使用更為方便。 在具體進行設(shè)計時，首先將各因素分別安排在所選正交表相應(yīng)列上，然后將每個因素的各個水平填入相應(yīng)的編碼值中，就得到了一次回歸正交設(shè)計方案。 例3-1 食品增香試驗。影響某產(chǎn)品著香程度的3個主要因素為：香精

8、用量Z1 、著香時間Z2 、著香溫度Z3 ，其因素水平及編碼值如表3-1示。因素Z1/mLkg-1物料Z2/hZ3/上水平(+1)1722.645.7零水平(0)121635下水平(-1)79.424.3變化間距(i)56.610.7表3-1 食品著香試驗因素水平取值及編碼表3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析 本試驗有3個因素。如果除考察主效應(yīng)外，還需考察交互作用，那么可選用L8(27)進行設(shè)計，即將正交表中的“1改為“1，“2改為“1，且把 x1, x2, x3 放在1，2，4列上。 這時只要將各供試因素 Zj 的每個水平填入相應(yīng)的編碼值中，并在“0水平處中心區(qū)安排適當(dāng)?shù)闹貜?fù)試驗，即可得到試

9、驗處理方案，如表3-2所示。3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析表3-2 3元一次回歸正交設(shè)計試驗方案試驗號1x1 (Z1)2x2 ( Z2 )4x3 ( Z3 )試驗指標(biāo) yi1 1 (17) 1 (22.6) 1 (45.7)2 1 (17) 1 (22.6)-1 (24.3)3 1 (17)-1 (9.4) 1 (45.7)4 1 (17)-1 (9.4)-1 (24.3)5-1 (7) 1 (22.6) 1 (45.7)6-1 (7) 1 (22.6)-1 (24.3)7-1 (7)-1 (9.4) 1 (45.7)8-1 (7)-1 (9.4)-1 (24.3)9 0 (12) 0 (

10、16) 0 (35) N 0 (12) 0 (16) 0 (35)3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析 4零水平基準(zhǔn)水平重復(fù)試驗 定義 就是指所有供試因素 Zj 的水平編碼值均取零水平的水平組合重復(fù)進行假設(shè)干次試驗。3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析試驗號x1 (Z1)x2 ( Z2 )x3 ( Z3 )試驗指標(biāo) yi1 1 (17) 1 (22.6) 1 (45.7)2 1 (17) 1 (22.6)-1 (24.3)3 1 (17)-1 (9.4) 1 (45.7)4 1 (17)-1 (9.4)-1 (24.3)5-1 (7) 1 (22.6) 1 (45.7)6-1 (7) 1 (22.

11、6)-1 (24.3)7-1 (7)-1 (9.4) 1 (45.7)8-1 (7)-1 (9.4)-1 (24.3)9 0 (12) 0 (16) 0 (35) N 0 (12) 0 (16) 0 (35)零水平重復(fù)試驗表3-2 3元一次回歸正交設(shè)計試驗方案 零水平安排重復(fù)試驗的主要作用 對試驗結(jié)果進行統(tǒng)計分析時，可檢驗一次回歸方程在被研究的整個回歸區(qū)域內(nèi)，特別是中心區(qū)的預(yù)測與實測值的擬合程度。 當(dāng)一次回歸正交設(shè)計屬飽和安排時，可以提供剩余自由度，以提高試驗誤差估計的精確度和準(zhǔn)確度。 至于基準(zhǔn)水平的重復(fù)試驗應(yīng)安排多少次，主要應(yīng)根據(jù)對試驗的要求和實際情況而定。一般來講，當(dāng)試驗要進行失擬性檢驗時

12、，基準(zhǔn)水平的試驗應(yīng)該至少重復(fù)26次。 零水平安排重復(fù)試驗的次數(shù)3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析 如果采用2水平正交表編制一次回歸正交設(shè)計，一共進行了N 次試驗，其試驗結(jié)果以 y1, y2, y3, yN 表示，那么一次回歸的數(shù)學(xué)模型為：3.2.2 一次回歸正交設(shè)計試驗結(jié)果的統(tǒng)計分析1建立多元回歸方程關(guān)鍵是求解回歸系數(shù)bj(a1，2，N， ij) (3-4)其結(jié)構(gòu)矩陣 X 為： 記： Y=(y1,y2,yN) =0,1, 2, , m , 12 , 13 , ， (m-1)m =(1,2,N ) 那么(3-4)的矩陣形式為： Y = X + (3-5)根據(jù)最小二乘原理建立回歸方程 (3-6)

13、其偏導(dǎo)函數(shù)等于零時構(gòu)成的正規(guī)方程組為： Ab=B， b=A-1B=CB3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析 由于一次回歸正交設(shè)計的結(jié)構(gòu)矩陣 X 具有正交性，即除第1列的和為 N 外，其余各列的和以及任意兩列的內(nèi)積和均為零： 因而它的信息矩陣 A 系數(shù)矩陣為對角陣： 3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析A = X X =當(dāng) N 次試驗中，零水平處重復(fù) m0 次時，矩陣 A 為：3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析當(dāng) m0 0時，矩陣 A 為：3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析相關(guān)矩陣 C 為：3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析當(dāng) m0 0 時，矩陣 C 為：3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析當(dāng) m00

14、時，矩陣 C 為：3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析常數(shù)項矩陣 B 為：3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析于是參數(shù) 的最小二乘估計 bA-1B =CB，即 (3-7) 以上可以看出，由于按正交表來安排試驗和對變量進行了線性變換，使得信息矩陣的逆矩陣運算簡單了，同時消除了偏歸系數(shù)間的相關(guān)性，故一次回歸正交設(shè)計的計算也就十分簡單了。 3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析2)回歸關(guān)系的顯著性檢驗 (1)回歸方程的顯著性檢驗 平方和與自由度的分解(3-8)3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析其中:(3-9)在一次回歸正交設(shè)計下，偏回歸平方和： (3-10)或表示為：3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析(3-

15、11) 回歸方程的顯著性檢驗假設(shè)滿足式(3-11)，那么一次回歸方程顯著；或反之。 (2)偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗(3-12) 必須注意： 如果有不顯著的偏回歸系數(shù)(1個或多個)，可將其同時從回歸方程中剔除，此時不影響其它回歸系數(shù)的數(shù)值。 將剔除因素的偏回歸平方和、自由度并入離回歸平方和與自由度，進行有關(guān)檢驗。假設(shè)滿足式(3-12)，那么偏回歸系數(shù)Fj顯著；或反之。 上述對一次回歸的 F 檢驗，只能說明變量的作用相對于剩余均方而言，影響是否顯著。 即使檢驗是顯著的，也僅僅反映一次回歸方程在其試驗點上與試驗結(jié)果擬合的較好，但并不能說明在被研究的整個回歸區(qū)域的擬合情況如何，即不能保證所采用的一次回歸

16、模型是最適宜的。3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析 (3)擬合度檢驗 擬合度檢驗亦稱失擬性檢驗test of goodness of fit。 為了分析經(jīng)F檢驗結(jié)果為顯著的一次回歸方程(這里包括有交互作用的情況)在整個被研究區(qū)域內(nèi)的擬合情況，可通過在零水平(Z01 , Z02 , , Z0m)處所安排的重復(fù)試驗來估計真正的試驗誤差，進而檢驗所建回歸方程的擬合度，即失擬性。3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析 設(shè)在零水平處安排了 m0 次重復(fù)試驗，試驗結(jié)果分別為 y01, y01, , y0m, 那么利用這 m0個重復(fù)觀測值可以計算出反映真正試驗誤差的平方和稱為純誤差平方和及相應(yīng)的自由度。即： (

17、3-13) 零水平處 m0次重復(fù)試驗偏差平方和SSe3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析 此時，SSrSSe 反映除各 xj 的一次項(考慮互作時，還包括有關(guān)一級互作)以外的其他因素(包括別的因素和各 xj 的高次項等)所引起的變異，是回歸方程所未能擬合的局部，稱為失擬平方和，記為 SSLf，自由度記為 dfLf 。具體計算公式如下：(3-14) 總體偏差平方和與自由度的分解(3-15) 失擬偏差平方和SSLf3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析 失擬性 F 檢驗(3-16) a. 假設(shè) FLf 顯著，而 FR 不顯著，說明所建立的回歸方程擬合度差，需考慮別的因素或有必要建立二次甚至更高次的回歸方

18、程或 y 與諸 xj 無關(guān)。 b. 假設(shè) FLf 顯著，而 FR 亦顯著，說明所建立的一次回歸方程有一定作用，但不能說明此方程是擬合得好的，仍需要查明原因，選用其它的數(shù)學(xué)模型，作進一步研究。 c. 假設(shè) FLf 及 FR 均不顯著，說明沒有什么因素對 y 有系統(tǒng)影響或試驗誤差太大。 d. 假設(shè) FLf 不顯著，而 FR 顯著，說明所建立的回歸方程是擬合得好的。3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析3.2.3 一次回歸正交設(shè)計的應(yīng)用 例3-2 為了探索某水稻品種在低肥力土壤條件下，最正確的氮、磷、鉀施用配方，采用一次回歸正交設(shè)計進行試驗。用Z1,Z2,Z3分別代表氮、磷、鉀3種肥料，施用單位均為kg

19、666.67m2；試驗指標(biāo)y是水稻產(chǎn)量kg666.67m2。1因素水平及編碼 氮、磷、鉀3種肥料的因素水平及編碼見表3-3。由公式(13-1)、(13-2)、 (13-3)計算出各因素的零水平、變化間隔及水平編碼。 因素編碼Z1(N)Z2(P2O5)Z3(K2O)上水平+18.010.012.0零水平06.06.07.5下水平-12.02.03.0間隔2.04.04.5表3-3 氮、磷、鉀肥水平編碼表 本例為3個因素,且存在3個1級交互作用，可選用L8(27)正交表經(jīng)變換后進行試驗方案設(shè)計。設(shè)計時，將 Z1,Z2和Z3 變換的 x1,x2和x3 分別置于L8(27)表的1，2，4列，各列的+1

20、和-1與相應(yīng)因素的實際上、下水平對應(yīng)，零水平中心區(qū)重復(fù)6次，具體方案見表34。試驗號試驗設(shè)計試驗方案 x1 （1） x2 （2） x3 （4）Z1(N)Z2(P2O5)Z3(K2O)11118.010.012.0211-18.010.03.031-118.02.012.041-1-18.02.03.05-1114.010.012.06-11-14.010.03.07-1-114.02.012.08-1-1-14.02.03.090006.06.07.5100006.06.07.5110006.06.07.5120006.06.07.5130006.06.07.5140006.06.07.5表3

21、-4 三元一次回歸正交設(shè)計試驗方案2制定試驗方案處理號x0 x1x2x3x1x2x1x3x2x3y11111111500.002111-11-1-1467.35311-11-1-1-1462.65411-1-1-1-11462.3051-111-1-11463.1561-11-1-11-1463.5071-1-111-1-1460.5081-1-1-1111429.8091000000462.50101000000465.85111000000462.75121000000460.00131000000463.35141000000485.35表3-5 三元一次回歸正交設(shè)計結(jié)構(gòu)矩陣及試驗結(jié)果3

22、建立回歸方程 水稻氮、磷、鉀肥試驗一次回歸正交設(shè)計結(jié)構(gòu)矩陣及試驗結(jié)果如表3-5所示。3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析處理號x0 x1x2x3x1x2x1x3x2x3y11111111500.002111-11-1-1467.35311-11-1-1-1462.65411-1-1-1-11462.3051-111-1-11463.1561-11-1-11-1463.5071-1-111-1-1460.5081-1-1-1111429.8091000000462.50101000000465.85111000000462.75121000000460.00131000000463.3514100

23、0000485.35aj=xj214888888y=648205Bj=xjy6482.0575.3578.7563.356.052.651.25SSy=2536.4774bj = Bj /aj463.00369.41889.84387.91880.75630.33130.1563SSR=1992.1993Qj = Bj2 /aj709.7028775.1953501.65284.57530.87780.1953SSr=544.2781表3-5 三元一次回歸正交設(shè)計結(jié)構(gòu)矩陣及計算表 根據(jù)試驗結(jié)果，求解回歸方程計算過程如表3-5所示。y=463.0036+9.4188x1+9.8438x2+7.9

24、188x3+0.7563x1x2+0.3313x1x3+0.1563x2x3 根據(jù)表3-5計算的有關(guān)數(shù)據(jù)，可建立如下的回歸方程。4回歸關(guān)系的顯著性檢驗。變異來源SSdfMSFF0.05x1709.70281709.70289.128*5.59x2775.19531775.19539.970*x3501.65281501.65286.452*x1 x24.575314.57530.059x1 x30.877810.87780.011x2 x30.195310.19530.003回歸1992.1993 6332.03324.270*3.87離回歸544.2781777.7540總變異2536.47

25、7413表3-6 回歸關(guān)系的方差分析表由表3-5計算的有關(guān)數(shù)據(jù)，可列成如下方差分析表，表3-6。3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析檢驗結(jié)果說明：產(chǎn)量 y 與 x1, x2 和 x3 的回歸關(guān)系均到達(dá)顯著水平，與一級互作x1x2，x1x3，x2x3 均不顯著。因此，可將一級互作的偏回歸平方和及自由度并入離回歸剩余項，而后再進行方差分析，結(jié)果見表3-7。表3-7 回歸關(guān)系的第2次方差分析表變異來源SSdfMSFF0.05F0.01x1709.70281709.7028 12.9055 *10.04x2775.19531775.1953 14.096*x3501.65281501.6528 9.12

26、2*4.96回歸1986.55093 662.1836 12.041*6.55離回歸549.92651054.9927總變異2536.477413 第2次方差分析說明，產(chǎn)量 y 與各因素之間的總回歸關(guān)系到達(dá)極顯著，x1和x2到達(dá)極顯著，x3到達(dá)顯著。因此，回歸方程可簡化為：y=463.0036+9.4188x1+9.8438x2+7.9188x3 上述回歸關(guān)系顯著，只說明一次回歸方程在試驗點上與試驗結(jié)果擬合得好；至于被研究的整個回歸區(qū)域內(nèi)部擬合如何，還需進一步作失擬性檢驗。3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析由公式3-13計算零水平點試驗的純誤差平方和及其自由度： dfe = m0- 1 = 6

27、 - 1 = 5由公式3-14計算失擬平方和及其自由度：dfLf = dfr - dfe = 10 - 5 = 5故 所以 FLf 極顯著。說明所建立的三元一次回歸方程雖然有一定意義，但其在整個回歸空間內(nèi)的擬合度并不是很好的。因此，應(yīng)考慮建立二次回歸方程。這樣，還需在因素空間內(nèi)再選一些適當(dāng)?shù)脑囼烖c。5失擬性檢驗3.2 一次回歸正交設(shè)計及統(tǒng)計分析 當(dāng)我們對所研究的問題采用一次回歸正交設(shè)計時，如果發(fā)現(xiàn)擬合程度不理想即失擬性檢驗顯著或極顯著，就說明一次回歸設(shè)計不適宜，需要重新引入二次回歸正交設(shè)計。因此，研究二次回歸正交組合設(shè)計十分必要。3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析3.3.1 二次回歸組合

28、設(shè)計 當(dāng)有 m 個自變量時，二次回歸方程式的一般形式為： (3-17)3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析 1組合設(shè)計的提出其回歸系數(shù)的個數(shù)包括 0式中： N 為試驗處理數(shù)。(3-18)因此，回歸方程的剩余自由度為 上式說明，為了使回歸方程比較可信，要想獲得 m 個變量的二次回歸方程，組合試驗的試驗處理數(shù) N 不能太小，至少應(yīng)該 Q ，才能使得剩余自由度 dfr 不至于太??； 另一方面，為了使試驗在實際操作中經(jīng)濟可行，試驗的處理數(shù) N 又不能太大。因此，試驗處理數(shù) N 確實定成為關(guān)鍵。 同時，為了計算二次回歸方程的系數(shù)，每個因素所取的水平數(shù)應(yīng)3。故 m 個因素自變量的3水平全面試驗的試驗處

29、理數(shù) N 為： N 3m 。3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析 表3-8列出了不同自變量數(shù)目 m26時，二次回歸下3水平全面試驗的剩余自由度 dfr ?？梢?，大多數(shù)3水平全面試驗中，試驗處理數(shù)和剩余自由度太大，因而工作量太大。 組合設(shè)計那么可解決這一矛盾。因素數(shù)回歸系數(shù)個數(shù) Q3水平全面試驗組合設(shè)計實施mNdfrNdfrNdfr269393310271715541581662510521243222432227662872970177494517表3-8 全面試驗與組合設(shè)計的剩余自由度3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析 2組合設(shè)計的定義 由于組合設(shè)計可選擇多種類型的點，而且有些類型

30、點的數(shù)目試驗處理數(shù)又可適當(dāng)調(diào)節(jié)，所以組合設(shè)計在調(diào)節(jié)試驗處理數(shù) N ，進而調(diào)節(jié)剩余自由度 dfr 方面，要比全面試驗靈活，并且也更為科學(xué)實用。 組合設(shè)計，就是在參試因子自變量的編碼空間中選擇幾類不同特點即分別處于不同球面上的試驗點，適當(dāng)組合而形成試驗方案。3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析3二次回歸正交組合設(shè)計試驗點的構(gòu)成 這些點的每一個坐標(biāo)，都分別各自只取+1或-1；這種試驗點的個數(shù)記為 mc ；當(dāng)這些點組成二水平全因素試驗時 mc 2m 。假設(shè)根據(jù)正交表配置二水平局部實施(1/2或1/4 等)的試驗點時，這種試驗點的個數(shù) mc 2m-1 或 mc 2m-2 。調(diào)節(jié)這個 mc ，就相應(yīng)地

31、調(diào)節(jié)了誤差剩余自由度 dfr 。 1二水平析因點 2軸點 這些點都在坐標(biāo)軸上，且與坐標(biāo)原點(中心點)的距離都為，即這些點只有1個坐標(biāo)(自變量)取 或 - ，而其余坐標(biāo)都取零。這些點在坐標(biāo)圖上通常都用星號標(biāo)出，故又稱星號點。其中 稱為軸臂或星號臂，是待定參數(shù)，可根據(jù)正交性或旋轉(zhuǎn)性的要求來確定。這些點的個數(shù)為 2m ，記為 m 。 3原點中心點 又稱中心點(基準(zhǔn)點)，即各自變量都取零的點，本試驗點可作一次，也可重復(fù)屢次，其次數(shù)記為 m0 。調(diào)節(jié) m0 ，顯然也能相應(yīng)地調(diào)節(jié)誤差(剩余)自由度 dfr 。上述3種類型試驗點個數(shù)的和，就是組合試驗設(shè)計的總試驗點(處理)數(shù) N ，N = mc + 2 m

32、+ m0 (3-19)即： 例3-3 x1 與 x2 m2兩個因素的二次回歸正交組合設(shè)計。 兩因素二次回歸正交組合設(shè)計由9個試驗點組成，其分布如圖3-1所示圖3-1 m2的二次回歸正交組合設(shè)計試驗點分布3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析處理號x1x2說 明111mc ：二水平(1和1)的全因素試驗點22421-13-114-1-15+0m ：分布在 x1 和 x2 坐標(biāo)軸上星號位置的試驗點 224 6-070+80-900m0 ： x1 和 x2 均取零水平所組成的中心試驗點表3-9 二元二次回歸正交組合設(shè)計試驗方案兩因素二次回歸正交組合設(shè)計試驗方案處理組合，如表3-9所示3.3 二次回

33、歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析處理號x0 x1x2x1 x2x12x221111111211-1-11131-11-11141-1-111151+002061-0020710+002810-0029100000表3-10 二元二次回歸組合設(shè)計的結(jié)構(gòu)矩陣 兩因素 x1 ,x2 二次回歸組合設(shè)計的結(jié)構(gòu)矩陣，如表3-10所示3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析處理號x1x2x3說 明1111這 8 個點組成 2 水平（1和1）的全因子試驗 23 8211-131-1141-1-15-1116-11-17-1-118-1-1-1900這 6 個點分布在 x1 、x2 、x3軸上的星號位置10-0011

34、00120-013001400-15000由x1 、x2 、x3的零水平所組成的中心試驗點表3-11 三元二次回歸正交設(shè)計試驗方案例3-4 x1 ,x2 ,x3三個因素 m3 的二次回歸正交組合設(shè)計。 由15個試驗點組成，其試驗方案處理組合如表3-113.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析處理號x0 x1x2x3x1 x2x1 x3x2 x3x12x22x32111111111112111-11-1-1111311-11-11-1111411-1-1-1-1111151-111-1-1111161-11-1-11-111171-1-111-1-111181-1-1-1111111910000

35、0200101-00000200111000000201210-00000201310000000 214100-00000215100000000 0表3-12 三元二次回歸組合設(shè)計的結(jié)構(gòu)矩陣 三因素 x1 ,x2 ,x3 二次回歸組合設(shè)計的結(jié)構(gòu)矩陣如表3-12 3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析因素數(shù) m選用正交表表頭設(shè)計 mc2mm0NQ 2L4(23)1、2 列2242241963L8(27)1、2、4 列238236115104L16(215)1、2、4、8 列2416248125155L32(231)1、2、4、8、16 列25322510143215(1/2實施)L16(2

36、15)1、2、4、8、15 列25116251012721表3-13 二次回歸組合設(shè)計試驗點數(shù)不同因素個數(shù)的二次回歸組合設(shè)計試驗點組成見表3-13 3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析 可使剩余自由度 dfr 取值適中，大大地節(jié)省試驗處理數(shù) 見表3-8及表3-13，且因子數(shù)越多，試驗次數(shù)減少得越多。 組合設(shè)計的試驗點在因子空間中的分布是較均勻的。 組合設(shè)計還便于在一次回歸的根底上實施。假設(shè)一次回歸不顯著，可以在原先的 mc 個二水平全面試驗的或局部實施的試驗點根底上，補充一些中心點與軸點試驗，即可求得二次回歸方程，這是組合試驗設(shè)計的又一個不可比較的優(yōu)點。4組合設(shè)計具有的優(yōu)點3.3 二次回歸

37、正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析3.3.2 正交性的實現(xiàn) 由表3-10和表3-12可見，在參加中心點與軸點后，一次項( x1 , ,xm )與乘積項(xi xj,ij )并沒有失去正交性，即： ( i,j =1, 2, , m) 而 x0 項和二次項( x12 , ,xm2 ) 那么失去了正交性，即：1)值確實定 表3-143.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析( j =1, 2, , m) 對平方項 x12 , ,xm2 進行中心化處理( j =1, , m； a =1, , N)(3-20)這樣變換后的 x1, x2, ,xm 項與 x0 項正交：為了獲得正交性：即令：3.3 二次回歸正交組合設(shè)

38、計及其統(tǒng)計分析 取適當(dāng)?shù)妮S臂 ，使變換后的 x1, x2, ,xm項之間具有正交性將3-20與3-19式代入，上式變?yōu)椋?3-21)(ij ， i, j =1, 2, , m)即：(3-22) 由于 0，所以為了到達(dá)正交性，使式3-21，亦即3-22式成立，只須使：(3-23) 當(dāng)試驗因素數(shù) m 和零水平重復(fù)次數(shù) m0 確定時， 值就可以通過上式計算出來。為了設(shè)計方便，將由上式算得的一些常用 值列于表3-14。表3-14 二次回歸正交設(shè)計常用 值表m0因 素 數(shù) m2345(1/2實施)56(1/2實施)67(1/2實施)11.000001.215411.414211.546711.59601

39、1.724431.760641.8848821.078091.287191.482581.607171.661831.784191.824021.9434731.147441.353131.546711.664431.724431.841391.884882.0000041.210001.414211.607171.718851.784191.896291.943472.0546451.267101.471191.664431.770741.841391.949102.000002.1075461.319721.524651.718851.820361.896292.000002.054642

40、.1588471.368571.575041.770741.867921.949102.049152.107542.2086681.414211.622731.820361.913612.000002.096682.158842.2570991.457091.668031.867921.957592.049152.142722.208662.30424101.497551.711201.913612.000002.096682.187282.257092.35018111.535871.752451.957592.040962.142722.230732.304242.39498例如： 在 m

41、2 ，mc 2 m 4 且 m0 1 的情形下，由表3-14 可查得1。3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析2)平方項xj2的中心化處理 例如 在m2 ，mc2m4 且m01的情形下，由表3-14 可查得 1。由于m=2m=4，N=mc+m+m0=4+4+1=9所以：變換后使得即：實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)矩陣得正交性。3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析表3-15 二元二次回歸正交組合設(shè)計的結(jié)構(gòu)矩陣二元二次回歸正交設(shè)計的結(jié)構(gòu)矩陣如表3-15所示；處理號x0 x1x2x1 x2x1x2111110.3330.333211-1-10.3330.33331-11-10.3330.33341-1-110.3

42、330.333511000.333-0.66761-1000.333-0.66771010-0.6670.333810-10-0.6670.33391900-0.667-0.667經(jīng)中心化變換后：3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析處理號x0 x1x2x3x1 x2x1 x3x2 x3x1x2x3111111110.270.270.272111-11-1-10.270.270.27311-11-11-10.270.270.27411-1-1-1-110.270.270.2751-111-1-110.270.270.2761-11-1-11-10.270.270.2771-1-111-1-1

43、0.270.270.2781-1-1-11110.270.270.27911.215000000.746-0.73-0.73101-1.215000000.746-0.73-0.7311101.2150000-0.730.746-0.731210-1.2150000-0.730.746-0.73131001.215000-0.73-0.730.74614100-1.215000-0.73-0.730.746151000000-0.73-0.73-0.73表3-16 三元二次回歸正交組合設(shè)計的結(jié)構(gòu)矩陣3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析三元二次回歸正交設(shè)計的結(jié)構(gòu)矩陣如表3-16所示。 二次回

44、歸正交組合設(shè)計的一般方法 與一次回歸正交設(shè)計類似，二次回歸正交組合設(shè)計的方法，同樣是在確定試驗因素的根底上擬定每個因素的上下水平；上水平以 Z2j 表示，下水平以 Z1j 表示，兩者之算術(shù)平均數(shù)為零水平，以 Z0j 表示，見式3-1。 把上水平和零水平之差除以參數(shù)值可從表 3-14 查出，稱為因素 Zj 的變化間距，以j 表示，即：(3-24) 即：對因素水平的取值作如下線性變換：(3-25) 1確定試驗因素Zj 的變化范圍 2對每個因素Zj的各個水平進行編碼3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析注意：與(3-2) 式的區(qū)別表3-17 因素水平編碼表 3根據(jù)試驗因素的個數(shù)，選擇適當(dāng)?shù)亩秸?/p>

45、交表，加上 mr與 m0 的試驗點，構(gòu)成試驗方案編碼Z1Z2Zm+Z21Z22Z2m+ 1Z01 + 1Z02 + 2Z0m + m0Z01Z02Z0m- 1Z01 - 1Z02 - 2Z0m - m-Z11Z12Z1m 這樣就建立了各因素 Zij 與 xij 取值的對應(yīng)關(guān)系，即：得到如下因素水平編碼表3-17：3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析3.3.4 二次回歸正交組合設(shè)計試驗結(jié)果的統(tǒng)計分析 如果研究m個因素，采用二次回歸正交組合設(shè)計共有N個處理，其試驗結(jié)果以Y1，Y2，YN 表示，那么二次回歸的數(shù)學(xué)模型如下(3-17)式。(3-26)用樣本估計的經(jīng)驗回歸方程為： 1)回歸方程的建立

46、3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析 當(dāng)對平方項進行了中心變換，消除平方項與常數(shù)項的相關(guān)性以后，數(shù)學(xué)模型變化為： 例如： 當(dāng) m3 時，三元二次回歸方程如下。其余依此類推3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析 1首先必須計算出不同類型的回歸系數(shù)b0,bj,bij ,bjj。由于二次回歸正交組合設(shè)計的結(jié)構(gòu)矩陣 X 具有正交性，因而它的信息矩陣 A 為：其中：常數(shù)項矩陣 B 為：其中：相關(guān)矩陣 C 為：3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析于是二次回歸方程的回歸系數(shù)，那么：為簡便起見，上述計算可列表進行，如表3-18所示。 3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析表3-18 二次回歸正交設(shè)

47、計結(jié)構(gòu)矩陣及運算表3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析其中：(3-27) (2)經(jīng)過上述運算, 建立起相應(yīng)的二次回歸方程 2回歸關(guān)系的顯著性檢驗 (1) 回歸方程顯著性檢驗 (2)偏回歸系數(shù)顯著性檢驗 如果在中心點設(shè)有 m0 次重復(fù)，且試驗結(jié)果分別為 y01，y02，y0m，那么可先用由此計算的誤差平方和(SSe)對失擬平方和(SSLf)進行檢驗，這里有如果 那么說明回歸方程擬合較好；否那么有其他因素存在，應(yīng)考慮修改回歸模型。 (3)失擬性檢驗3.3.5 二次回歸正交組合設(shè)計的應(yīng)用 例3-5 進行食品添香的試驗。影響著香程度的3個主要因素為：Z1(香精用量), Z2(著香時間) , Z2(

48、著香溫度) ，試進行二次回歸正交組合設(shè)計，并通過統(tǒng)計分析獲取有用信息。1)二次回歸正交組合試驗方案設(shè)計(1)確定 值、 mc 及 m0 根據(jù)本試驗?zāi)康暮鸵?，確定 mc 2 m 2 3 8 ， m0 1 ，查表3-14, 得1.215。(2)確定因素的上、下水平，變化間距以及對因子進行編碼 表3-19編碼Z1/(mLkg物料)Z2 / hZ3 / +182448+ 116.9422.645.70121635- 17.069.424.3-6822i4.946.610.7表3-19 三因素二次回歸正交組合設(shè)計水平取值及編碼計算各因素的零水平：Z01 (186)/212 (mL/kg)Z02 (24

49、8)/216 (h)Z03 (4822)/235 ()計算各因素的變化間距：01 (18-12)/1.2154.94 (mL/kg)02 (24-16)/1.2156.6 (h)03 (48-35)/1.21510.7 ()3.3 二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析(3) 制定試驗方案表3-20 三因素二次回歸正交組合設(shè)計及實施方案試驗號試 驗 設(shè) 計實 施 方 案x0 x1x2香精用量mLkg-1著香時間h著香溫度/ 111116.9422.645.7211-116.9422.624.331-1116.949.445.741-1-116.949.424.35-1117.0622.645.76-11-17.0622.624.37-1-117.069.445.78-1-1-17.069.424.391.2150018163510-1.21500616351101.2150122435120-1.21501283513001.2151216481400-1.21512162215000121635表3-21 食品添香試驗三元二次回歸正交組合設(shè)計結(jié)構(gòu)矩陣及試驗結(jié)果(4) 結(jié)構(gòu)矩陣正交性的實現(xiàn)2試驗結(jié)果的統(tǒng)計分析表3-22 食品添香試驗三元二次回歸正交組合試驗結(jié)果統(tǒng)計分析表(1) 建立三元二次回歸方程計算 b0：其中經(jīng)過以上運算，可以初步建立多元回歸方程：(2) 回歸關(guān)系的顯著性測驗