1、會(huì)計(jì)學(xué)12誤差的基本性質(zhì)與處理誤差的基本性質(zhì)與處理第一頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。本章分別詳細(xì)闡述隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類誤差的來(lái)源、性質(zhì)、數(shù)據(jù)處理的方法以及消除或減小的措施。特別是在隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)處理中，分別掌握等精度測(cè)量和不等精度測(cè)量的不同數(shù)據(jù)處理方法。通過學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，使讀者能夠根據(jù)不同性質(zhì)的誤差選取正確的數(shù)據(jù)處理方法并進(jìn)行合理的數(shù)據(jù)處理。第1頁(yè)/共89頁(yè)第二頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。第2頁(yè)/共89頁(yè)第三頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號(hào)處理電路的隨機(jī)噪聲等。溫度、濕度、氣壓的變化，光照強(qiáng)度、電磁場(chǎng)變化等。瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作

2、不當(dāng)?shù)?。?頁(yè)/共89頁(yè)第四頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。oLilioiiLl ni,2, 1)2/(2221)(ef)(f)(FdeF)2(2221)(0)(dfEdf)(22第4頁(yè)/共89頁(yè)第五頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。54)(|df21)(df326745.00)(f)()(ff)0()(maxff返回本章目錄)0()(ff)(f0lim1nniin服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差都具有的四個(gè)特征：對(duì)稱性、單峰性、有界性、抵償性。由于多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布，因此正態(tài)分布在誤差理論中占有十分重要的地位。第5頁(yè)/共89頁(yè)第六頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。圖2-1為正態(tài)分布曲線

3、以及各精度參數(shù)在圖中的坐標(biāo)。值為曲線上拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，值為曲線右半部面積重心B的橫坐標(biāo)，值的縱坐標(biāo)線則平分曲線右半部面積。 第6頁(yè)/共89頁(yè)第七頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 對(duì)某量進(jìn)行一系列等精度測(cè)量時(shí)，由于存在隨機(jī)誤差，因此其獲得的測(cè)量值不完全相同，此時(shí)應(yīng)以算術(shù)平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果。 (一)算術(shù)平均值的意義 設(shè) 為n次測(cè)量所得的值，則算術(shù)平均值為: niinlnnlllx1211nlll,21三、算術(shù)平均值三、算術(shù)平均值第7頁(yè)/共89頁(yè)第八頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。下面來(lái)證明當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，算術(shù)平均值必然趨近于真值Lo。 即 由前面正態(tài)分布隨機(jī)誤差的第四特征可知

4、，因此 由此我們可得出結(jié)論：如果能夠?qū)δ骋涣窟M(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量，就可得到不受隨機(jī)誤差影響的測(cè)量值，或其影響很小，可以忽略。這就是當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，算術(shù)平均值（數(shù)學(xué)上稱之為最大或然值）被認(rèn)為是最接近于真值的理論依據(jù)。但由于實(shí)際上都是有限次測(cè)量，因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測(cè)量的真值。 oiiLl onnnLlll)(2121nioiniinLl11nnlLniiniio110lim1nniin01Lnlxnii第8頁(yè)/共89頁(yè)第九頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不可能按式（2-1）求得隨機(jī)誤差，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測(cè)量的真值進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)的隨

5、機(jī)誤差稱為殘余誤差，簡(jiǎn)稱殘差：(2-9) 此時(shí)可用更簡(jiǎn)便算法來(lái)求算術(shù)平均值。任選一個(gè)接近所有測(cè)得值的數(shù) 作為參考值，計(jì)算每個(gè)測(cè)得值 與 的差值：(2-10) 式中的 為簡(jiǎn)單數(shù)值，很容易計(jì)算，因此按（2-10）求算術(shù)平均值比較簡(jiǎn)單。 xlii0lnillloii, 2, 10lil0010111)(xlnllnnllnllnlxniinioiniionii0 x若測(cè)量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該測(cè)量總體期望的一個(gè)最佳的估計(jì)量 ，即滿足無(wú)偏性、有效性、一致性，并滿足最小二乘法原理；在正態(tài)分布條件下滿足最大似然原理。第9頁(yè)/共89頁(yè)第十頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。=1879.65，

6、 計(jì)算差值 和 列于表 很容易求得算術(shù)平均值 1879.64 。(2-11)0lil0 xxxliininiiixnlv11xxniiv10il64.187901. 065.1879x序號(hào)123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.0101. 01niiv01.0101010iilxiliv12表第10頁(yè)/共89頁(yè)第十一頁(yè)，

7、編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。nlxnii1nininiiiinnlnlv111)(niixnl1niiv1xniixnl1xniiv1xniixnl1xniiv1xAnvnii21Anvnii)5.02(1x第11頁(yè)/共89頁(yè)第十二頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 取2000.067 , 52102n05.0201.0101Anviixmmmmlxii0673.20001174.2200011111xiliv序號(hào) (mm) (mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.0820

8、00.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.00374.22000111iil003.0111iiv22表第12頁(yè)/共89頁(yè)第十三頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。mmmmxnmmlii737.22000067.20001174.22000111mmmmmmxlviiii003. 0737.2200074.2200011111111mmAnmmvmmAnii005. 05 . 02003. 0001. 0, 55 . 02115 . 02111第13頁(yè)/共89頁(yè)第十四頁(yè)，編輯于星期五：十

9、四點(diǎn) 五十二分。 )(f2exp)2(1)(22f21hexp1)(22hf四、測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差四、測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差第14頁(yè)/共89頁(yè)第十五頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。由于值反映了測(cè)量值或隨機(jī)誤差的散布程度，因此值可作為隨機(jī)誤差的評(píng)定尺度。值愈大，函數(shù) 減小得越慢；值愈小， 減小得愈快，即測(cè)量到的精密度愈高，如圖2-2所示。標(biāo)準(zhǔn)差不是測(cè)量列中任何一個(gè)具體測(cè)量值的隨機(jī)誤差，的大小只說(shuō)明，在一定條件下等精度測(cè)量列隨機(jī)誤差的概率分布情況。在該條件下，任一單次測(cè)得值的隨機(jī)誤差，一般都不等于，但卻認(rèn)為這一系列測(cè)量列中所有測(cè)得值都屬于同樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的概率分布。在不同條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行兩個(gè)系列的等精度

10、測(cè)量，其標(biāo)準(zhǔn)差也不相同。 )(f)(f第15頁(yè)/共89頁(yè)第十六頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。測(cè)量列的或然誤差，它將整個(gè)測(cè)量列的n個(gè)隨機(jī)誤差分為個(gè)數(shù)相等的兩半。其中一半（n/2個(gè)）隨機(jī)誤差的數(shù)值落在- +范圍內(nèi)，而另一半隨機(jī)誤差的數(shù)值落在- +范圍以外： ，查 表，得到 時(shí)，z=0.6745，故有 其實(shí)際意義是：若有n個(gè)隨機(jī)誤差，則有n/2個(gè)落在區(qū)間-,+之內(nèi)，而另外n/2個(gè)隨機(jī)誤差則落在此區(qū)間之外。（三）算術(shù)平均誤差 測(cè)量列算術(shù)平均誤差的定義是：該測(cè)量列全部隨機(jī)誤差絕對(duì)值的算術(shù)平均值，用下式表示： 由概率積分可以得到與的關(guān)系： 目前世界各國(guó)大多趨于采用作為評(píng)定隨機(jī)誤差的尺度。這是因?yàn)椋?

11、的平方恰好是隨機(jī)變量的數(shù)字特征之一（方差），本身又5.0)()(fzf)(zf5 . 0)(zf326745.0 z)(|11nnnii547979. 02第16頁(yè)/共89頁(yè)第十七頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。恰好是高斯誤差方程 式中的一個(gè)參數(shù)，即 ，所以采用，正好符合概率論原理，又與最小二乘法最切合； 對(duì)大的隨機(jī)誤差很敏感，能更準(zhǔn)確地說(shuō)明測(cè)量列的精度； 極限誤差與標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系簡(jiǎn)單： ； 公式推導(dǎo)和計(jì)算比較簡(jiǎn)單。五、標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾種計(jì)算方法五、標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾種計(jì)算方法 （一）等精度測(cè)量列單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算 (2-13)式中， 稱為算術(shù)平均值誤差將它和 代入上式，則有(2-14) )(f

12、s3im0Llii0022011LxxlLxxlLxxlnnxLx)(0 xlviixnnxxvvv2211第17頁(yè)/共89頁(yè)第十八頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。將上式對(duì)應(yīng)相加得 ： ，即(2-15)若將式(2-14)平方后再相加得：(2-16)將式(2-15)平方有：當(dāng)n適當(dāng)大時(shí)，可以認(rèn)為 趨近于零，并將代入式(2-16)得：(2-17) 由于 ，代入式(2-17)得 ： ，即(2-18)xniiniinv11nnvnniiniiniix111nixiniixxniiniinvvnv122121212221212122nnnnjijiniiniixniji1nvniiniinii121

13、212212nniiniivn122212nvi第18頁(yè)/共89頁(yè)第十九頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。(2-26) 此式稱為別捷爾斯（Peters）公式，它可由殘余誤差 的絕對(duì)值之和求出單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 ，而算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 為：(2-27)nnvniii1221niiniivnn12121111nnvniiniiniiniivnnn11)1(1253. 17979. 01) 1(2533. 12nnvi1253.11nnvniixvx第19頁(yè)/共89頁(yè)第二十頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。2-42-4 用別捷爾斯法求得表2-3的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：計(jì)算得到的值分別填于表中，因此有 用貝

14、賽爾公式和別捷爾斯公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差均需先求算術(shù)平均值，再求殘余誤差，然后進(jìn)行其他運(yùn)算，計(jì)算過程比較復(fù)雜。當(dāng)要求簡(jiǎn)便迅速 mmmmmmmmz0104. 011010250. 0253. 10330. 011010250. 0253. 1)(mmli)(mmvimmx045.750101iiv序號(hào)1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.080.0350.0050.0250.0450.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002

15、250.0020250.0002250.0006250.0000250.0012252101200825. 0mmvii)(2mmvi32表第20頁(yè)/共89頁(yè)第二十一頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。(2-28)(2-29)(2-30)nxxx,21maxxminxminmaxxxnnndE)()(nndEnndndn2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 201.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.17 3.26 3.34 3.41 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3

16、.74nd42表第21頁(yè)/共89頁(yè)第二十二頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。(2-31)(2-32)08. 309. 000.7509.7510minmaxdmmmmmmllnmmmmdn0292.008.309.010max|1inKmaxiimax|ivmax|1invKnKnK第22頁(yè)/共89頁(yè)第二十三頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。10nmmvi045. 0max57. 0110KmmmmKvi0256. 0045. 057. 010maxnK1nK1n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61

17、 0.58 0.56 0.55 0.53 0.52 0.51 0.50 0.50 0.49n16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300.48 0.48 0.47 0.47 0.46 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.44 0.44 0.44 0.43 0.43n2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 301.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44nK152表第23頁(yè)/共89頁(yè)第二十四頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 例例2

18、-72-7 某激光管發(fā)出的激光波長(zhǎng)經(jīng)檢定為 ，由于某些原因未對(duì)次檢定波長(zhǎng)作誤差分析，但后來(lái)又用更精確的方法測(cè)得激光波長(zhǎng) ，試求原檢定波長(zhǎng)的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：因后測(cè)得的波長(zhǎng)是用更精確的方法，故可認(rèn)為其測(cè)得值為實(shí)際波長(zhǎng)(或約定真值)，則原檢定波長(zhǎng)的隨機(jī)誤差 為： 故標(biāo)準(zhǔn)差為： 貝塞爾公式的計(jì)算精度較高，但計(jì)算麻煩，需要乘方和開方等，其計(jì)算速度難于滿足快速自動(dòng)化測(cè)量的需要； 別捷爾斯公式最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺(tái)，它的計(jì)算速度較快，但計(jì)算精度較低，計(jì)算誤差為貝氏公式的1.07倍； 用極差法計(jì)算，非常迅速方便，可用來(lái)作為校對(duì)公式，當(dāng)n10時(shí)可m63299130. 0m63299144. 0

19、mmm8101463299144. 063299130. 025. 111KmmK7811075. 1101425. 1第24頁(yè)/共89頁(yè)第二十五頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 用來(lái)計(jì)算，此時(shí)計(jì)算精度高于貝氏公式； 用最大誤差法計(jì)算更為簡(jiǎn)捷，容易掌握，當(dāng)n10以后， 的減小很 慢。此外，由于增加測(cè)量次數(shù)難以 保證測(cè)量條件的恒定，從而引入新的 誤差，因此一般情況下取n=10以內(nèi)較為適宜?？傊岣邷y(cè)量精度，應(yīng)采取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y(cè)量次數(shù)。 nx22nxn/1x第26頁(yè)/共89頁(yè)第二十七頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 評(píng)定算術(shù)平均值的精度標(biāo)準(zhǔn)，也可用或然誤差R或平均誤差T，相

20、應(yīng)公式為： (2-22)(2-23) 若用殘余誤差表示上述公式，則有：(2-24)(2-25) 例例2-8 2-8 用游標(biāo)卡尺對(duì)某一尺寸測(cè)量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下(單位為mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08 。求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。 解：本例題中的測(cè)量數(shù)據(jù)與表2-3中的測(cè)量數(shù)據(jù)一樣，表中的算術(shù)平均值為 。因?yàn)?， )1(3212nnvRnii) 1(5412nnvTnii0,045.751niivmmx0045.751045.750101mmmmnlixinnRxx32326745. 0

21、nnTxx54547979. 0第27頁(yè)/共89頁(yè)第二十八頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。六、測(cè)量的極限誤差六、測(cè)量的極限誤差（一）單次測(cè)量的極限誤差（一）單次測(cè)量的極限誤差0101iivmmmmnvnii0303. 011000825. 0112mmmmnx0096. 0100303. 0mmmmRx0065.00096.06745.06745.0mmmmTx0076. 00096. 07979. 07979. 0第28頁(yè)/共89頁(yè)第二十九頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。(2-33)(2-34)pp=2(t)p=1-2(t)121)(222dedfpdedfp22221)(ddtt,

22、)(2222102222tdtedteptttttdtettt02221)(第29頁(yè)/共89頁(yè)第三十頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 t=2，即|=2時(shí)，在22次測(cè)量中只有1次 的誤差絕對(duì)值超出2范圍；而當(dāng)t=3，即 |=3時(shí)，在370次測(cè)量中只有1次誤差絕 對(duì)值超出3范圍。由于在一般測(cè)量中，測(cè) 量次數(shù)很少超過幾十次，因此可以認(rèn)為絕對(duì) 值大于3的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把 這個(gè)誤差稱為單次測(cè)量的極限誤差 ，即 (2-35) 當(dāng)t3時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率p99.73。 在實(shí)際測(cè)量中，有時(shí)也可取其它t值來(lái)表示單次測(cè)量的極限誤差。如xlim3limxt62表t不超出 的概率超出 的概率測(cè)量次數(shù)n超出 的

23、測(cè)量次數(shù)0.6712340.6712340.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111)(2t)(21t第30頁(yè)/共89頁(yè)第三十一頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 取t2.58，p99； t2，p95.44； t1.96，p95等。 因此一般情況下，測(cè)量列單次測(cè)量的極限誤差可用下式表示：(2-36) 若已知測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差，選定置信系數(shù)t，則可由上式求得單次測(cè)量的極限誤差。 （二）算術(shù)平均值的極限誤差（二）算術(shù)平均值的極限誤差 測(cè)量列的算術(shù)平均值與被測(cè)量的真值之差稱為算術(shù)平均值誤差 ，即

24、 。當(dāng)多個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值誤差 為正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)概率論知識(shí)，同樣可得測(cè)量列算術(shù)平均值的極限表達(dá)式為： (2-37) 式中的t為置信系數(shù)， 為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。通常取t3，則 (2-38) 實(shí)際測(cè)量中有時(shí)也可取其它t值來(lái)表示算術(shù)平均值的極限誤差。但當(dāng)測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，應(yīng)按“學(xué)生氏”分布(“student” distribution)或稱t分布來(lái)計(jì)算測(cè)量列算術(shù)平均值的極限誤差，即 (2-39)txlimxoxLx ), 2 , 1(Nii xxtxlimxxx3limxatxlim第31頁(yè)/共89頁(yè)第三十二頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 式中的 為置信系數(shù)，它由給定的置信概率 和

25、自由度 來(lái)確定，具體數(shù)值見附錄3； 為超出極限誤差的概率（稱顯著度或顯著水平），通常取 =0.01或0.02,0.05；n為測(cè)量次數(shù)； 為n次測(cè)量的算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差。 對(duì)于同一測(cè)量列，按正態(tài)分布和t分布分別計(jì)算時(shí)，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因此求得的算術(shù)平均值極限誤差也不同。 例例2-92-9 對(duì)某量進(jìn)行6次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。 解：算術(shù)平均值 標(biāo)準(zhǔn)差 因測(cè)量次數(shù)較少，應(yīng)按t分布計(jì)算算術(shù)平均值的極限誤差。 已知 ，取 ，則由附錄表3查得 ，則有： xatnv11p44

26、.80266611iiniillx047.016161212iiniivnv019. 06047. 0nx51 nv01. 003. 4at第32頁(yè)/共89頁(yè)第三十三頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。七、不等精度測(cè)量七、不等精度測(cè)量 在實(shí)際測(cè)量過程中，由于客觀條件的限制，測(cè)量條件是變動(dòng)的，得到了不等精度測(cè)量。 對(duì)于精密科學(xué)實(shí)驗(yàn)而言，為了得到極其準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié)果，需要在不同的實(shí)驗(yàn)室，用不同的測(cè)量方法和測(cè)量?jī)x器，由不同的人進(jìn)行測(cè)量。如果這些測(cè)量結(jié)果是相互一致的。那么測(cè)量結(jié)果就是真正可以信賴的。這是人為地改變測(cè)量條件而進(jìn)行的不等精度測(cè)量。 對(duì)于某一個(gè)未知量，歷史上或近年來(lái)有許多人進(jìn)行精心研究和精密測(cè)

27、量，得到了不同的測(cè)量結(jié)果。我們就需要將這些測(cè)量結(jié)果進(jìn)行分析研究和綜合，以便得到一個(gè)最為滿意的準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié)果。這也是不等精度測(cè)量。 對(duì)于不等精度測(cè)量，計(jì)算最后測(cè)量結(jié)果及其精度（如標(biāo)準(zhǔn)差），不 076. 0019. 003. 4limxatx99. 01p01. 0049. 0019. 060. 2limxtx第33頁(yè)/共89頁(yè)第三十四頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 能套用前面等精度測(cè)量的計(jì)算公式，需推導(dǎo)出新的計(jì)算公式。（一）權(quán)的概念（一）權(quán)的概念 在等精度測(cè)量中，各個(gè)測(cè)量值認(rèn)為同樣可靠，并取所有測(cè)得值的算術(shù)平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果。在不等精度測(cè)量中，各個(gè)測(cè)量結(jié)果的可靠程度不一樣，因而不能簡(jiǎn)

28、單地取各測(cè)量結(jié)果地算術(shù)平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果，應(yīng)讓可靠程度大的測(cè)量結(jié)果在最后測(cè)量結(jié)果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各測(cè)量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來(lái)表示，這數(shù)值即稱為該測(cè)量結(jié)果的“權(quán)”，記為 ，可以理解為當(dāng)它與另一些測(cè)量結(jié)果比較時(shí)，對(duì)該測(cè)量結(jié)果所給予信賴程度。 （二）權(quán)的確定方法（二）權(quán)的確定方法 測(cè)量結(jié)果的權(quán)說(shuō)明了測(cè)量的可靠程度，因此可根據(jù)這一原則來(lái)確定權(quán)的大小。 最簡(jiǎn)單的方法可按測(cè)量的次數(shù)來(lái)確定權(quán)，即測(cè)量條件和測(cè)量者水平皆相同，則重復(fù)測(cè)量次數(shù)愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由測(cè)量的次數(shù)來(lái)確定權(quán)的大小，即 。 假定同一被測(cè)量有m組不等精度的測(cè)量結(jié)果，這m組測(cè)量結(jié)果是從單次測(cè)量精

29、度相同而測(cè)量次數(shù)不同的一系列測(cè)量值求得的算術(shù)平均值。因 piinp 第34頁(yè)/共89頁(yè)第三十五頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 為單次測(cè)量精度皆相同，其標(biāo)準(zhǔn)差均為，則各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為： (2-40) 由此得下列等式 因?yàn)?，故上式又可寫成 (2-41) 或表示為(2-42) 即：每組測(cè)量結(jié)果的權(quán)（ ）與其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差平方（ ）成反比，若已知 （各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差），則可由（2-42）得到相應(yīng) 的大小。測(cè)量結(jié)果的權(quán)的數(shù)值只表示各組間的相對(duì)可靠程度，它是一個(gè)無(wú)量綱的數(shù)，允許各組的權(quán)數(shù)同時(shí)增大或減小若干倍，而各組間的比例關(guān)系不變，但通常皆將各組的權(quán)數(shù)予以約簡(jiǎn)，使其中最小的權(quán)數(shù)為不可

30、再放簡(jiǎn)的整數(shù)，以便用簡(jiǎn)單的數(shù)值來(lái)表示各組的權(quán)。 例例2-102-10 對(duì)一級(jí)鋼卷尺的長(zhǎng)度進(jìn)行了三組不等精度測(cè)量，其結(jié)果為 minii x, 2 , 122222211mxmxxnnniinp 22222211mxmxxppp2222143211:1:1:mxxxppppipxii xip第35頁(yè)/共89頁(yè)第三十六頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。(2-42)（三）加權(quán)算術(shù)平均值（三）加權(quán)算術(shù)平均值 m組不等精度測(cè)量，得到m個(gè)測(cè)量結(jié)果為： ，設(shè)相應(yīng)的測(cè)量次數(shù)為n1,n2, nm，即： (2-43) 根據(jù)等精度測(cè)量算術(shù)平均值原理，全部測(cè)量的算術(shù)平均值 應(yīng)為： mmmmxmmmmxmmmmxxxx

31、10.0,60.200020.0,15.200005.0,45.20003213214:1:16)10. 0(1:)20. 0(1:)05. 0(11:1:1:222232221321xxxppp4, 1,16321pppmxxx,21,11111nlxnii,21222nlxniimniimmnlxm1,xmiinininiimiinlllxm111121/)(12第36頁(yè)/共89頁(yè)第三十七頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 將式(2-43)代入上式得： 或簡(jiǎn)寫為(2-44) 當(dāng)各組的權(quán)相等，即 時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均值可簡(jiǎn)化為： (2-45) 由上式求得得結(jié)果即為等精度的算術(shù)平均值，由此可見等

32、精度測(cè)量是不等精度測(cè)量得特殊情況。為簡(jiǎn)化計(jì)算，加權(quán)算術(shù)平均值可表示為：(2-46) 式中的 為接近 的任選參考值。mmmmmmpppxpxpxpnnnxnxnxnx212211212211miimiiipxpx11ppppm21mxmpxpxmiimii11miimioiiopxxpxx11)(0 xix第37頁(yè)/共89頁(yè)第三十八頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 例例2-112-11 工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國(guó)家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長(zhǎng)度為999.9425mm(三次測(cè)量的)，999.9416mm(兩次測(cè)量的)，999.9419mm(五次測(cè)量的)，求最后測(cè)量結(jié)果。 解：按測(cè)量次

33、數(shù)來(lái)確定權(quán)： ，選 ，則有 ( (四四) ) 單位權(quán)的概念單位權(quán)的概念 由式（2-41）知 ，此式又可表示為 (2-47) 式中 為某精度單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差。因此，具有同一方差 的等精度單次測(cè)量值的權(quán)數(shù)為1。若已知 ，只要確定 ，根據(jù)（2-47）式就可求出各組的方差 。由于測(cè)得值的方差 的權(quán)數(shù)為1在此有特殊用途，故稱等于1的權(quán)為單位權(quán)，而 為具有單位權(quán)的測(cè)得值方差， 為具有單位權(quán)的測(cè)得值標(biāo)準(zhǔn)差。 利用單位權(quán)化的思想，可以將某些不等權(quán)的測(cè)量問題化為等權(quán)測(cè)量問題來(lái)處理。單位權(quán)化的實(shí)質(zhì)，是使任何一個(gè)量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新的量值權(quán)數(shù)為1。 5, 2, 3321pppmmx94.9990mmm

34、mmmx9420.9995230019. 050016. 020025. 0394.999), 2 , 1(22miPixi) 1(22ppPixi22ipi x222第38頁(yè)/共89頁(yè)第三十九頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 例如，將不等精確測(cè)量的各組測(cè)量結(jié)果 皆乘以自身權(quán)數(shù)的平方根 ，此時(shí)得到的新值z(mì)的權(quán)數(shù)就為1。證明之： 設(shè)取方差ixipmixpzii, 2 , 122)()(i xiziipxDpzD22221211:1:1:mxxxmpppip1111ziizppppzpz不等精度測(cè)量列，經(jīng)單位權(quán)化處理后，就可按等精度測(cè)量列來(lái)處理。第39頁(yè)/共89頁(yè)第四十頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn)

35、 五十二分。（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差(2-48)(2-49),21mxxxminiix, 2, 1xmiixn1miiixxnni1miimiiiinpnp11miimiiixxpppi11第40頁(yè)/共89頁(yè)第四十一頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。(2-50)(2-51)miip1ixipxxxvixiixxpxpvpiiixii111221mvpmmiximii殘差miimixixpmvpi112)1(第41頁(yè)/共89頁(yè)第四十二頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。八、隨機(jī)誤差的其他分布八、隨機(jī)誤差的其他分布 ( (一一) )均勻分布均勻分布xmmx9420

36、.999mvmvmvxxx1.0,4.0,5.03215, 2, 3, 3321pppmmmmmx0002. 024. 02012. 1)523() 13() 1 . 0(5)4 . 0(25 . 0322第42頁(yè)/共89頁(yè)第四十三頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。( (二二) )反正弦分布反正弦分布(2-57)021)(afaaaaaaF當(dāng)當(dāng)當(dāng)120)(aadaE02322a3a)(f)(Faa21)(fa圖 2-5o)(f)(Faaaf當(dāng)當(dāng)011)(22第43頁(yè)/共89頁(yè)第四十四頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。（三）三角形分布（三）三角形分布(2-61)aaaaaF當(dāng)當(dāng)當(dāng)1arcsi

37、n1210)(022daEaa222a2a)(f)(Faaaaaaaf當(dāng)當(dāng)當(dāng)000)(22第44頁(yè)/共89頁(yè)第四十五頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。2-63）它的數(shù)學(xué)期望為： （2-64）它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： （2-65） （2-66） 如果對(duì)兩個(gè)誤差限為不相等的均勻分布隨機(jī)誤差求和時(shí)，則其和的分布規(guī)律不再是三角形分布而是梯形分布。 在測(cè)量工作中，除上述的非正態(tài)分布外，還有直角分布、截尾正態(tài)分布、雙峰正態(tài)分布及二點(diǎn)分布等，在此不做一一敘述。（四）（四） 分布分布 令 為 個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量，每個(gè)隨機(jī)變量都服從標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布。定義一個(gè)新的隨機(jī)變量(2-67) 隨機(jī)變量 稱為自由度為的卡埃平

38、方變量。自由度 表示上式中項(xiàng)數(shù)或 aaaaaaaa當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)102)(102)(0)(F22220E622a6a2v,21v222212v2v第45頁(yè)/共89頁(yè)第四十六頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。 分布的分布密度 如圖2-8所示。 (2-68) 式中的 函數(shù)。 它的數(shù)學(xué)期望為： (2-69) 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-70)(2-71) 在本書最小二乘法中要用到 分布，此外它也是 t 分布和 F 分布的基礎(chǔ)。2-8的兩條 理論曲線看出，當(dāng) 逐漸增大時(shí)，曲線逐漸接近對(duì)稱?？梢宰C明當(dāng) 足夠大時(shí)，曲線趨近正態(tài)曲線。值得提出的是，在這里稱 為自由度，它的改變將引起分布曲線的

39、相應(yīng)改變。（五）（五）t t 分布分布2)(2f000)()2(2)(222122222當(dāng)當(dāng)evfvv為)2(v022122222)()2(2vdevEvvv22v222vvv第46頁(yè)/共89頁(yè)第四十七頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 令 和 是獨(dú)立的隨機(jī)變量， 具有自由度為 的 分布函數(shù)， 具有標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機(jī)變量為(2-72) 隨機(jī)變量t稱自由度為 的學(xué)生氏t變量。 t分布的分布密度 為（圖 (2-73) 它的數(shù)學(xué)期望為： (2-74) 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-75) (2-76) t分布的數(shù)學(xué)期望為零，分布曲線對(duì)稱于縱坐標(biāo)軸，但它和標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布密度曲線不同

40、，如圖2-9所示?？梢宰C明，當(dāng)自由度較小時(shí)，t分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度 時(shí)，t分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。t分布是一種重要分布，當(dāng)測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，極限誤差的估計(jì)，或者在檢驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時(shí)經(jīng)常用到它。 v2vtv)(tf2/ )1(2)1 ()2()21()(vvtvvvtfdtvtvvvEv2/ )1(2)1 ()2()21(22vv2vvv第47頁(yè)/共89頁(yè)第四十八頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。（六）（六）F F分布分布(2-77) F分布的分布密度 如圖 (2-78) 它的數(shù)學(xué)期望為： (2-79) 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-80)(2-81) F分布也

41、是一種重要分布，在檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)和方差分析中經(jīng)常應(yīng)用。12212211/vvvvF11v22v1v2v)(Ff000)()2()2()2()(2/ )(1212/21212/22/121121FFFvvFvvvvvvFfvvvvv當(dāng)當(dāng))0(2)(E2022vvvdFFFf) 4() 4() 2() 2(22222121222vvvvvvv)4()4()2()2(2222212122vvvvvvv第48頁(yè)/共89頁(yè)第四十九頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。u系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因u系統(tǒng)誤差的特征與分類u系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法u系統(tǒng)誤差的減小和消除方法第49頁(yè)/共89頁(yè)第五十頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十

42、二分。研究系統(tǒng)誤差的重要意義研究系統(tǒng)誤差的重要意義 實(shí)際上測(cè)量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大。因此測(cè)量結(jié)果的精度，不僅取決于隨機(jī)誤差，還取決于系統(tǒng)誤差的影響。由于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差同時(shí)存在測(cè)量數(shù)據(jù)之中，而且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復(fù)測(cè)量又不能減小它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，這種潛伏使得系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差具有更大的危險(xiǎn)性，因此研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性，用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差，就顯得十分重要。 系統(tǒng)誤差是指在確定的測(cè)量條件下，某種測(cè)量方法和裝置，在測(cè)量之前就已存在誤差，并始終以必然性規(guī)律影響測(cè)量結(jié)果的正確度，如果這種影響顯著的話，就要影響測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度。第50頁(yè)/共

43、89頁(yè)第五十一頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因 計(jì)量校準(zhǔn)后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計(jì)原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。測(cè)量時(shí)的實(shí)際溫度對(duì)標(biāo)準(zhǔn)溫度的偏差、測(cè)量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差。采用近似的測(cè)量方法或計(jì)算公式引起的誤差等。測(cè)量人員固有的測(cè)量習(xí)性引起的誤差等。第51頁(yè)/共89頁(yè)第五十二頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。二、系統(tǒng)誤差的分類和特征二、系統(tǒng)誤差的分類和特征第52頁(yè)/共89頁(yè)第五十三頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 mmTLLL)(00第53頁(yè)/共89頁(yè)第五十四頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。sineL第54頁(yè)/共89

44、頁(yè)第五十五頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 由于形成系統(tǒng)誤差的原因復(fù)雜，目前尚沒有能夠適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法。但是 我們可針對(duì)不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差，可按照下述兩類方法加以識(shí)別： 1、用于發(fā)現(xiàn)測(cè)量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差，包括實(shí)驗(yàn)對(duì)比法、殘余誤差觀察法、殘余誤差校核法和不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法； 2、用于發(fā)現(xiàn)各組測(cè)量這間的系統(tǒng)誤差，包括計(jì)算數(shù)據(jù)比較法、秩和檢驗(yàn)法、和 t 檢驗(yàn)法。三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法檢驗(yàn)法秩和檢驗(yàn)法計(jì)算數(shù)據(jù)比較法組間不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差法殘余誤差校核法殘余誤差觀察法實(shí)驗(yàn)對(duì)比法組內(nèi)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法t第55頁(yè)/共89頁(yè)第五十六頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十

45、二分。 （一）測(cè)量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法（一）測(cè)量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法第56頁(yè)/共89頁(yè)第五十七頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。故有 (2-82)若系統(tǒng)誤差顯著大于隨機(jī)誤差， 可予忽略，則得(2-83) ：設(shè)有測(cè)量列 ，它們的系統(tǒng)誤差為 ，它們不含系統(tǒng)誤差之值為 ，有下式成立：nlll21,nlll21, 21nlllnnnlllllllll222111它們的算術(shù)平均值為:xxx iivxliivxl)(xlvviiiivxlvii因 由上式看出，顯著含有系統(tǒng)誤差的測(cè)量列，其任一測(cè)量值的殘余誤差約為系統(tǒng)誤差與測(cè)量列系統(tǒng)誤差平均值之差。第57頁(yè)/共89頁(yè)第五十八頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn)

46、 五十二分。根據(jù)式(2-82)，若將測(cè)量列中前K個(gè)殘余誤差相加，后n-K個(gè)殘余誤差相加(當(dāng)n為偶數(shù)，取K=n/2；n為奇數(shù)，取K=(n+1)/2)，兩者相減得： 當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，有：nkjjKiinkjjKiinkjjKiixlxlvvvv111111)()(2-84)011nkjjKiivvnKjjiKinKjjKiixlxlvv1111)()( 若上式的兩部分值顯著不為O，則有理由認(rèn)為測(cè)量列存在線性系統(tǒng)誤差。這種校核法又稱這種校核法又稱“馬列科夫準(zhǔn)則馬列科夫準(zhǔn)則”，它能有效地發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差。但要注意的是，有時(shí)按殘余誤差校核法求得差值=0，仍有可能存在系統(tǒng)誤差。 第58頁(yè)/共89頁(yè)第五

47、十九頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 ：若一等精度測(cè)量列，接測(cè)量先后順序?qū)堄嗾`差排列為 ，如果存在著按此順序呈周期性變化的系統(tǒng)誤差，則相鄰的殘余誤差的差值( )符號(hào)也將出現(xiàn)周期性的正負(fù)號(hào)變化，因此由差值( )可以判斷是否存在周期性系統(tǒng)誤差，但是這種方法只有當(dāng)周期性系統(tǒng)誤差是整個(gè)測(cè)量誤差的主要成分時(shí)，才有實(shí)用效果。否則，差值( )符號(hào)變化將主要取決于隨機(jī)誤差，以致不能判斷出周期性系統(tǒng)誤差。在此情況下，可用統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則進(jìn)行判斷，令 nvvv,211iivv1iivv1iivvnnniiivvvvvvvvu13221111若 (2-85)則認(rèn)為該測(cè)量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。這種校核法又叫 阿卑赫梅

48、特準(zhǔn)則（Abbe-Helmert準(zhǔn)則） ，它能有效地發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差。 21nu第59頁(yè)/共89頁(yè)第六十頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 對(duì)等精度測(cè)量，可用不同分式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，通過比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。按貝塞爾公式： 按別捷爾斯公式： 令 若 (2-86)則懷疑測(cè)量列中存在系統(tǒng)誤差。 121nvi) 1(253. 12nnviu12112nu在判斷含有系統(tǒng)誤差時(shí)，違反“準(zhǔn)則”時(shí)就可以直接判定，而在遵守“準(zhǔn)則”時(shí)，不能得出“不含系統(tǒng)誤差”的結(jié)論，因?yàn)槊總€(gè)準(zhǔn)則均有局限性，不具有“通用性”。 第60頁(yè)/共89頁(yè)第六十一頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。( (二二) )測(cè)量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方

49、法測(cè)量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法mmxxx,;,;,2211jixx ji22ixjxjijixx222(2-87)第61頁(yè)/共89頁(yè)第六十二頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。21, 2, 1, 2, 1niynixii10,21nnTTT(2-88)第62頁(yè)/共89頁(yè)第六十三頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。TTnn21TTnn21TTnn21TTnn2124311253132641427416284182942021052133615347173572036822379243892739102931011314412244513274614304715334816364917394101

50、8425519365620405722435823475925505102654662820673054683258693363610356777396678417179437671046808852848954908105795996610591069111101083127102 表10,21nn)2) 1(,2) 1(2121211nnnnnnnN,taTaTt)(ttt （教材P38頁(yè)）第63頁(yè)/共89頁(yè)第六十四頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。ixiyi123456714.714.815.215.614.615.015.14, 321nn, 7T17TTTT17107第64頁(yè)/共8

51、9頁(yè)第六十五頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。(2-89)221121,nnyyyxxx)()2()(222211212121SnSnnnnnnnyxt221 nniiynyxnx211,122222112)(1,)(1yynSxxnSii第65頁(yè)/共89頁(yè)第六十六頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 由 及取 ，查t分布表(附錄表3)得 ，又因 ， 故無(wú)根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。 則解： 取顯著性水平，由t分布表（附錄表3）查出 中的 。若 ，則無(wú)根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。 )(ttPttt 21S22S2122例例2-172-17 對(duì)某量測(cè)得兩組數(shù)據(jù)為： x：1.9， 0.8， 1.1，

52、 0.1，-0.1，4.4，5.5，1.6，4.6，3.4 y：0.7，-1.6，-0.2，-1.2，-0.1，3.4，3.7，0.8，0.0，2.0 33. 2101xx75. 0101yy61. 3)(10122xxSix89. 2)(10122yySiy86. 1)89. 21061. 310)(1010()21010(1010)75. 033. 2(t1821010v05. 010. 2t10. 286. 1tt第66頁(yè)/共89頁(yè)第六十七頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。四、系統(tǒng)誤差的減小和消除四、系統(tǒng)誤差的減小和消除（一）消誤差源法（一）消誤差源法 用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差是

53、最理想的方法。它要求測(cè)量人員，對(duì)測(cè)量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各個(gè)環(huán)節(jié)作仔細(xì)分析，并在正式測(cè)試前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除或減弱到可忽略的程度。由于具體條件不同，在分析查找誤差源時(shí)，并無(wú)一成不變的方法，但以下幾方面是應(yīng)予考慮的： 所用基準(zhǔn)件、標(biāo)準(zhǔn)件（如量塊、刻尺、光波容器等）是否準(zhǔn)確可靠； 所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定，并有有效周期的檢定證書； 儀器的調(diào)整、測(cè)件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理； 所采用的測(cè)量方法和計(jì)算方法是否正確，有無(wú)理論誤差； 測(cè)量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫度、振動(dòng)、塵污、氣流等； 注意避免測(cè)量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等。 第6

54、7頁(yè)/共89頁(yè)第六十八頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。（二）加修正值法（二）加修正值法 這種方法是預(yù)先將測(cè)量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來(lái)或計(jì)算出來(lái)，取與誤差大小相同而符號(hào)相反的值作為修正值，將測(cè)得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測(cè)量結(jié)果。如量塊的實(shí)際尺寸不等于公稱尺寸，若按公稱尺寸使用，就要產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。因此應(yīng)按經(jīng)過檢定的實(shí)際尺寸（即將量塊的公稱尺寸加上修正量）使用，就可避免此項(xiàng)系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生。 采用加修正值的方法消除系統(tǒng)誤差，關(guān)鍵在確定修正值或修正函數(shù)的規(guī)律對(duì)恒定系統(tǒng)誤差，可采用檢定方法，對(duì)已知基準(zhǔn)量 重復(fù)測(cè)量取其均值 ， 即為其修正值。 對(duì)可變系統(tǒng)誤差，按照某變化因素，依次取得

55、已知基準(zhǔn)量 的一系列測(cè)值 ，再計(jì)算其差值 ，按最小二乘法確定它隨該因素變化的函數(shù)關(guān)系式，取其負(fù)值即為該可變系統(tǒng)誤差的修正函數(shù)。關(guān)于最小二乘法將在本課程后面介紹。 由于修正值本身也包含有一定的誤差，因此用這種方法不可能將全部系統(tǒng)誤差修正掉，總要?dú)埩羯倭康南到y(tǒng)誤差。由于這些殘留的系統(tǒng)誤差相對(duì)隨機(jī)誤差而言已不明顯了，往往可以把它們統(tǒng)歸成偶然誤差來(lái)處理。 0 xxxx 00 xnxxx,210 xxi第68頁(yè)/共89頁(yè)第六十九頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。（三）改進(jìn)測(cè)量方法（三）改進(jìn)測(cè)量方法 在測(cè)量過程中，根據(jù)具體的測(cè)量條件和系統(tǒng)誤差的性質(zhì)，采取一定的技術(shù)措施，選擇適當(dāng)?shù)臏y(cè)量方法，使測(cè)得值中的系

56、統(tǒng)誤差在測(cè)量過程中相互抵消而不帶入測(cè)量結(jié)果之中，從而實(shí)現(xiàn)減弱或消除系統(tǒng)誤差的目的。 1、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法 在沒有條件或無(wú)法獲之基準(zhǔn)測(cè)量的情況，難以用檢定法確定恒定系統(tǒng)誤差并加以消除。這時(shí)必須設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臏y(cè)量方法，使恒定系統(tǒng)誤差在測(cè)量過程中予以消除，常用的方法有： 反向補(bǔ)償法：先在有恒定系統(tǒng)誤差的狀態(tài)下進(jìn)行一次測(cè)量，再在該恒定系統(tǒng)誤差影響相反的另一狀態(tài)下測(cè)一次，取兩次測(cè)量的平均值作為測(cè)量結(jié)果，這樣，大小相同但符號(hào)相反的兩恒定系統(tǒng)誤差就在相加后再平均的計(jì)算中互相抵消了。 例如，在紅顯上測(cè)螺紋的螺距、半角等參數(shù)，就是采用抵消法來(lái)消除恒定系統(tǒng)誤差的典型例子。如測(cè)螺距，左右各測(cè)一次，得 與 （正確值

57、為P）為： ，為儀器兩頂尖不同心使被測(cè)螺紋件偏斜而產(chǎn)生的恒定系統(tǒng)誤差。將 平均后，即可抵消： 左P右P，右左PPPP右左、PPPPPPP2)(2右左第69頁(yè)/共89頁(yè)第七十頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 在使用絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)測(cè)微小位移時(shí)，為消除微絲杠與螺母間的配合間隙等 因素引起的定回誤差，往往采用往返兩個(gè)方向的兩次讀數(shù)取均值作為測(cè)量結(jié)果，以補(bǔ)償定回誤差的影響。 代替法：代替法的實(shí)質(zhì)是在測(cè)量裝置上對(duì)被測(cè)量測(cè)量后不改變測(cè)量條件，立即用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量代替被測(cè)量，放到測(cè)量裝置上再次進(jìn)行測(cè)量，從而求出被測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量的差值，即： 被測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差差值 抵消法：這種方法要求進(jìn)行兩次測(cè)量，以便使兩次讀數(shù)時(shí)出現(xiàn)的

58、系統(tǒng)誤差大小相等，符號(hào)相反，取兩次測(cè)得值的平均值，作為測(cè)量結(jié)果，即可消除系統(tǒng)誤差。這種方法跟反向補(bǔ)償法相似。 交換法：這種方法是根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差。 如圖2-18等臂天平稱重,先將被測(cè)量X放于天平一側(cè)，砝碼放于其另一側(cè)，調(diào)至天平平衡，則有 。若將X與P交換位置，由于 （存在恒定統(tǒng)誤差的緣故），天平將失去平衡 。原砝碼P調(diào)整為砝碼才使天平再次平衡，于是有PllX1221ll 第70頁(yè)/共89頁(yè)第七十一頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 ，則取 ，即可消除天平兩臂不等造成的系統(tǒng)誤差。 2、消除線性系統(tǒng)誤差的方法對(duì)稱法 對(duì)稱法是消除線性系統(tǒng)誤差的有效方法，如圖2-19

59、所示。隨著時(shí)間的變化，被測(cè)量作線性增加，若選定某時(shí)刻為對(duì)稱中點(diǎn)，則此對(duì)稱點(diǎn)的系統(tǒng)誤差算術(shù)平均值皆相等。即 利用這一特點(diǎn)，可將測(cè)量對(duì)稱安排，取各對(duì)稱點(diǎn)兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值作為測(cè)得值，即可消除線性系統(tǒng)誤差。 例如測(cè)定量塊平面平行性時(shí)（見圖2-20）,先以標(biāo)準(zhǔn)量塊A的中心0點(diǎn)對(duì)零，然后按圖中所示被檢量塊B上的順序逐點(diǎn)檢定，再按相反順序進(jìn)行檢定，取正反兩次讀數(shù)的平均值作為各點(diǎn)的測(cè)得值，就可消除因溫度變化而產(chǎn)生的線性系統(tǒng)誤差。XllPPP122)(PPPPX3425122xxxxx第71頁(yè)/共89頁(yè)第七十二頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。 3、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法半周期法 對(duì)周期性誤差，可以相隔

60、半個(gè)周期進(jìn)行兩次測(cè)量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。周期性系統(tǒng)誤差一般可表示為： 設(shè) 時(shí)，誤差為： 當(dāng) 時(shí)，即相差半周期的誤差為： 取兩次讀數(shù)平均值則有 由此可知半周期法能消除周期性系統(tǒng)誤差。 例如儀器度盤安裝偏心、測(cè)微表針回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心的偏心 等引起的周期性誤差，皆可用半周期法予以剔除。 4、消除復(fù)雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差的方法 通過構(gòu)造合適的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)回歸統(tǒng)計(jì)，對(duì)復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差進(jìn)行補(bǔ)償和修正。sinal 111sinal 121112sin)sin(laal0221121llll第72頁(yè)/共89頁(yè)第七十三頁(yè)，編輯于星期五：十四點(diǎn) 五十二分。采用組合測(cè)量等方