1、分 析 力 學(xué)正則變換分析力學(xué)主要內(nèi)容:虛功原理拉格朗日方程小振動 哈密頓正則方程泊松括號與泊松定理 哈密頓原理哈密頓雅科比理論約束與廣義坐標(biāo). 研究機械運動的著眼點二. 分析力學(xué)的特點導(dǎo) 論1. 把力學(xué)系統(tǒng)作為一個整體考慮 (牛頓力學(xué)是先質(zhì)點、再質(zhì)點系 );2. 具有簡單統(tǒng)一的微分方程；4. 擴大了坐標(biāo)的概念、引入廣義坐標(biāo)能量概念適用于量子力學(xué)，甚至非力學(xué)體系；量子力學(xué)中的 等是沒有意義的. 3. 使用范圍更廣 牛頓力學(xué)： 個方程； n 個質(zhì)點，k 個約束 分析力學(xué)： 個方程. 廣義坐標(biāo)可以是聯(lián)系著能量的各種物理量（電壓，電流，溫度，壓強），成為推廣到非力學(xué)體系的首要條件. 分析力學(xué)：力學(xué)量

2、 L(T,V) 或 H(T,V) 不同. 力學(xué)體系不同 牛頓力學(xué)：運動微分方程不同. 5. 提出新的力學(xué)原理代替牛頓定律力學(xué)第一原理 三者本質(zhì)上相同，可以相互證明相當(dāng)于“幾何公理” 第2章 拉格朗日方程內(nèi)容: 基本概念 理想完整系的拉格朗日方程 對稱性和守恒定律重點: 完整保守系的拉格朗日方程難點: 拉格朗日方程的推導(dǎo)經(jīng)典動力學(xué)的兩個發(fā)展方面 拓寬研究領(lǐng)域矢量動力學(xué)又稱為牛頓歐拉動力學(xué)牛頓運動定律由單個自由質(zhì)點 受約束質(zhì)點和質(zhì)點系(以達朗貝爾原理為基礎(chǔ)) 歐拉將牛頓運動定律 剛體和理想流體 尋求新的表達形式將虛位移原理和達朗貝爾原理綜合應(yīng)用于動力學(xué) 建立分析力學(xué)的新體系拉格朗日力學(xué) 牛頓力學(xué)理

3、論幾乎都以力為基礎(chǔ)，因此它的應(yīng)用只局限于純力學(xué)問題的范疇，運算也比較煩瑣。18世紀伯努利、達朗貝爾、歐拉等人發(fā)展了經(jīng)典力學(xué)的分析形式。1788年拉格朗日發(fā)表了名著分析力學(xué)，建立了經(jīng)典力學(xué)的拉格朗日形式，用體系的動能和勢能取代了牛頓形式的加速度和力，將力學(xué)的研究和應(yīng)用范圍開拓到整個物理學(xué)。約瑟夫路易斯拉格朗日（Joseph-LouisLagrange17351813）法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1736年1月25日生于意大利都靈，1813年4月10日卒于巴黎。他在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。 拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都靈。父親

4、是法國陸軍騎兵里的一名軍官，后由于經(jīng)商破產(chǎn)，家道中落。據(jù)拉格朗日本人回憶，如果幼年是家境富裕，他也就不會作數(shù)學(xué)研究了，因為父親一心想把他培養(yǎng)成為一名律師。拉格朗日個人卻對法律毫無興趣。 到了青年時代，在數(shù)學(xué)家雷維里的教導(dǎo)下，拉格朗日喜愛上了幾何學(xué)。17歲時，他讀了英國天文學(xué)家哈雷的介紹牛頓微積分成就的短文論分析方法的優(yōu)點后，感覺到“分析才是自己最熱愛的學(xué)科”，從此他迷上了數(shù)學(xué)分析，開始專攻當(dāng)時迅速發(fā)展的數(shù)學(xué)分析。 18歲時，拉格朗日用意大利語寫了第一篇論文，是用牛頓二項式定理處理兩函數(shù)乘積的高階微商，他又將論文用拉丁語寫出寄給了當(dāng)時在柏林科學(xué)院任職的數(shù)學(xué)家歐拉。不久后，他獲知這一成果早在半個世

5、紀前就被萊布尼茲取得了。這個并不幸運的開端并未使拉格朗日灰心，相反，更堅定了他投身數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域的信心。 1755年拉格朗日19歲時，在探討數(shù)學(xué)難題“等周問題”的過程中，他以歐拉的思路和結(jié)果為依據(jù)，用純分析的方法求變分極值。第一篇論文“極大和極小的方法研究”，發(fā)展了歐拉所開創(chuàng)的變分法，為變分法奠定了理論基礎(chǔ)。變分法的創(chuàng)立，使拉格朗日在都靈聲名大震，并使他在19歲時就當(dāng)上了都靈皇家炮兵學(xué)校的教授，成為當(dāng)時歐洲公認的第一流數(shù)學(xué)家。1756年，受歐拉的舉薦，拉格朗日被任命為普魯士科學(xué)院通訊院士。 1764年，法國科學(xué)院懸賞征文，要求用萬有引力解釋月球天平動問題，他的研究獲獎。接著又成功地運用微分方程理

6、論和近似解法研究了科學(xué)院提出的一個復(fù)雜的六體問題(木星的四個衛(wèi)星的運動問題)，為此又一次于1766年獲獎。 1766年德國的腓特烈大帝向拉格朗日發(fā)出邀請時說，在“歐洲最大的王”的宮廷中應(yīng)有“歐洲最大的數(shù)學(xué)家”。于是他應(yīng)邀前往柏林，任普魯士科學(xué)院數(shù)學(xué)部主任，居住達20年之久，開始了他一生科學(xué)研究的鼎盛時期。在此期間，他完成了分析力學(xué)一書，這是牛頓之后的一部重要的經(jīng)典力學(xué)著作。書中運用變分原理和分析的方法，建立起完整和諧的力學(xué)體系，使力學(xué)分析化了。他在序言中宣稱：力學(xué)已經(jīng)成為分析的一個分支。 1783年，拉格朗日的故鄉(xiāng)建立了“都靈科學(xué)院”，他被任命為名譽院長。1786年腓特烈大帝去世以后，他接受了

7、法王路易十六的邀請，離開柏林，定居巴黎，直至去世。這期間他參加了巴黎科學(xué)院成立的研究法國度量衡統(tǒng)一問題的委員會，并出任法國米制委員會主任。1799年，法國完成統(tǒng)一度量衡工作，制定了被世界公認的長度、面積、體積、質(zhì)量的單位，拉格朗日為此做出了巨大的努力。 1791年，拉格朗日被選為英國皇家學(xué)會會員，又先后在巴黎高等師范學(xué)院和巴黎綜合工科學(xué)校任數(shù)學(xué)教授。1795年建立了法國最高學(xué)術(shù)機構(gòu)法蘭西研究院后，拉格朗日被選為科學(xué)院數(shù)理委員會主席。此后，他才重新進行研究工作，編寫了一批重要著作：論任意階數(shù)值方程的解法、解析函數(shù)論和函數(shù)計算講義，總結(jié)了那一時期的特別是他自己的一系列研究工作。 1813年4月3日

8、，拿破侖授予他帝國大十字勛章，但此時的拉格朗日已臥床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。拉格朗日科學(xué)研究所涉及的領(lǐng)域極其廣泛。他在數(shù)學(xué)上最突出的貢獻是使數(shù)學(xué)分析與幾何與力學(xué)脫離開來，使數(shù)學(xué)的獨立性更為清楚，從此數(shù)學(xué)不再僅僅是其他學(xué)科的工具。 拉格朗日總結(jié)了18世紀的數(shù)學(xué)成果，同時又為19世紀的數(shù)學(xué)研究開辟了道路，堪稱法國最杰出的數(shù)學(xué)大師。同時，他的關(guān)于月球運動(三體問題)、行星運動、軌道計算、兩個不動中心問題、流體力學(xué)等方面的成果，在使天文學(xué)力學(xué)化、力學(xué)分析化上，也起到了歷史性的作用，促進了力學(xué)和天體力學(xué)的進一步發(fā)展，成為這些領(lǐng)域的開創(chuàng)性或奠基性研究。 在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量時間花

9、在代數(shù)方程和超越方程的解法上，作出了有價值的貢獻，推動了代數(shù)學(xué)的發(fā)展。他提交給柏林科學(xué)院兩篇著名的論文：關(guān)于解數(shù)值方程和關(guān)于方程的代數(shù)解法的研究 。把前人解三、四次代數(shù)方程的各種解法，總結(jié)為一套標(biāo)準方法，即把方程化為低一次的方程(稱輔助方程或預(yù)解式)以求解。他試圖尋找五次方程的預(yù)解函數(shù)，希望這個函數(shù)是低于五次的方程的解，但未獲得成功。然而，他的思想已蘊含著置換群概念，對后來阿貝爾和伽羅華起到啟發(fā)性作用，最終解決了高于四次的一般方程為何不能用代數(shù)方法求解的問題。因而也可以說拉格朗日是群論的先驅(qū)。 在數(shù)論方面，拉格朗日也顯示出非凡的才能。他對費馬提出的許多問題作出了解答。如，一個正整數(shù)是不多于4個

10、平方數(shù)的和的問題等等，他還證明了圓周率的無理性。這些研究成果豐富了數(shù)論的內(nèi)容。在解析函數(shù)論以及他早在1772年的一篇論文中，在為微積分奠定理論基礎(chǔ)方面作了獨特的嘗試，他企圖把微分運算歸結(jié)為代數(shù)運算，從而拋棄自牛頓以來一直令人困惑的無窮小量，并想由此出發(fā)建立全部分析學(xué)。但是由于他沒有考慮到無窮級數(shù)的收斂性問題，他自以為擺脫了極限概念，其實只是回避了極限概念，并沒有能達到他想使微積分代數(shù)化、嚴密化的目的。不過，他用冪級數(shù)表示函數(shù)的處理方法對分析學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了影響，成為實變函數(shù)論的起點。 拉格朗日也是分析力學(xué)的創(chuàng)立者。拉格朗日在其名著分析力學(xué)中，在總結(jié)歷史上各種力學(xué)基本原理的基礎(chǔ)上，發(fā)展達朗貝爾、歐

11、拉等人研究成果，引入了勢和等勢面的概念，進一步把數(shù)學(xué)分析應(yīng)用于質(zhì)點和剛體力學(xué)，提出了運用于靜力學(xué)和動力學(xué)的普遍方程，引進廣義坐標(biāo)的概念，建立了拉格朗日方程，把力學(xué)體系的運動方程從以力為基本概念的牛頓形式，改變?yōu)橐阅芰繛榛靖拍畹姆治隽W(xué)形式，奠定了分析力學(xué)的基礎(chǔ)，為把力學(xué)理論推廣應(yīng)用到物理學(xué)其他領(lǐng)域開辟了道路。他還給出剛體在重力作用下，繞旋轉(zhuǎn)對稱軸上的定點轉(zhuǎn)動(拉格朗日陀螺)的歐拉動力學(xué)方程的解，對三體問題的求解方法有重要貢獻，解決了限制性三體運動的定型問題。拉格朗日對流體運動的理論也有重要貢獻，提出了描述流體運動的拉格朗日方法。 拉格朗日的研究工作中，約有一半同天體力學(xué)有關(guān)。他用自己在分析力

12、學(xué)中的原理和公式，建立起各類天體的運動方程。在天體運動方程的解法中，拉格朗日發(fā)現(xiàn)了三體問題運動方程的五個特解，即拉格朗日平動解。此外，他還研究了彗星和小行星的攝動問題，提出了彗星起源假說等。 近百余年來，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在數(shù)學(xué)史上被認為是對分析數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一。被譽為“歐洲最大的數(shù)學(xué)家”。 . 約束的概念 約束：對物體運動位置或速度的限制.n 個質(zhì)點如有 k 個約束，則只有 3n - k 個坐標(biāo)是獨立的. n 個質(zhì)點的系統(tǒng)狀態(tài)由 3n 個位置坐標(biāo)和3n 個速度坐標(biāo)確定.2.1 約束二、 約束方程由約束物體預(yù)先給定的對力學(xué)系統(tǒng)運

13、動的限制叫做約束. 初始條件和受力決定軌跡是直線約束物：鐵絲限制包括對位置和對速度的限制.設(shè)系統(tǒng)由n個質(zhì)點組成, 以xi, yi, zi 表示第i個質(zhì)點的坐標(biāo), 則約束方程為（1）球面擺的約束，OM為剛性輕桿 設(shè)O點為直角坐標(biāo)原點，則質(zhì)點m的坐標(biāo)方程滿足 若O點不固定，在x方向有一恒定速率v，t0時O點處于坐標(biāo)原點，則約束方程為 若剛性輕桿換成柔軟輕繩（繩長仍為l，不可伸長），則約束方程為O點固定O點不固定 （2）半徑為R的車輪沿水平直線軌道做無滑滾動, 約束方程表示為 在一定初始條件下積分可得兩組約束方程分別表明了地面對車輪的位置和速度的限制.(3) 在水平冰面上滑行的冰鞋上裝有冰刀, 冰面

14、對冰刀橫向運動的限制使冰刀質(zhì)心的速度方向只能沿著冰刀的縱向. 以冰刀的質(zhì)心坐標(biāo)xc, yc和轉(zhuǎn)角作為冰刀的位置坐標(biāo), 則冰刀的約束方程為上式還可寫成由于cot與yc的函數(shù)關(guān)系不能確定, 所以不可積分. 三、約束的分類1. 完整約束（幾何約束）和非完整約束（微分約束）約束方程僅含質(zhì)點的坐標(biāo)和時間的約束稱為完整約束.約束方程形式為如果約束方程不僅包含質(zhì)點的坐標(biāo), 還包含坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)或坐標(biāo)的微分, 而且不能通過積分使之轉(zhuǎn)化為僅包含坐標(biāo)和時間的完整約束方程, 則這種約束稱為非完整約束, 其約束方程形式為不受非完整約束的系統(tǒng)稱為完整系 本教材只研究OM為剛性輕桿O點固定O點不固定O點固定O點不固定O

15、M為柔軟不可伸長輕繩完整約束完整約束完整約束完整約束積分完整約束非完整約束2. 定常約束(穩(wěn)定約束)和非定常約束(非穩(wěn)定約束) 約束方程中不顯含時間t的約束稱為定常約束 約束方程形式為約束方程中顯含時間t的約束稱為非定常約束 約束方程形式為3. 雙側(cè)約束(不可解約束)和單側(cè)約束(可解約束) 若約束方程是等式, 這種約束就是雙側(cè)約束. 若約束方程含有不等式, 就稱為單側(cè)約束.4. 理想約束和非理想約束(根據(jù)約束力的性質(zhì)劃分)OM為剛性輕桿O點固定O點不固定O點固定O點不固定OM為柔軟不可伸長輕繩完整約束完整約束完整約束完整約束定常約束定常約束非定常約束非定常約束雙側(cè)約束雙側(cè)約束單側(cè)約束單側(cè)約束積

16、分完整約束非完整約束定常約束雙側(cè)約束定常約束雙側(cè)約束例1：圓環(huán)在水平面上作純滾動. 如果：軌跡為直線，則為完整約束.曲線，則為非完整約束.直線： 運動約束幾何約束積分微分4個坐標(biāo)法夫方程 法夫方程完全可積（即有積分曲面族）的充要條件： = 0 按第一行展開 結(jié)論：可積分的運動約束與幾何約束在物理實質(zhì)上沒有區(qū)別，合稱為完整約束. 從數(shù)學(xué)上看，一個函數(shù)： 0)()()(=-+-+-xQyPRzPxRQyRzQP& 對于完整系, 確定系統(tǒng)位置所需要的獨立坐標(biāo)的數(shù)目, 稱為該系統(tǒng)的自由度, 用s表示. 一個自由質(zhì)點質(zhì)點被約束在曲面上約束方程數(shù)質(zhì)點被約束在曲線上n個質(zhì)點，受k個完整約束推廣：n個質(zhì)點，m

17、個剛體，受k個完整約束2.3 自由度曲線有兩個約束條件例、一臥倒的圓錐限制在一個平面上的運動（接觸點可以滑動）.解：A點的位置由坐標(biāo)(x,y)表示 對稱軸方位可由接觸線AB與x軸夾角確定圓錐自轉(zhuǎn)角由確定例、 兩個疊放在一起的陀螺，下面的陀螺支點固定.例、長度同為l的四根輕桿, 用光滑鉸鏈連接成一菱形ABCD. AB, AD兩邊支于同一水平線上相距為2a的兩根釘上, BD間則用一輕繩連接, C點上系一重W的物體.求系統(tǒng)自由度.解:有繩連接時,系統(tǒng)的自由度為0將繩子剪斷,系統(tǒng)的自由度為1例、長為l的細桿AB的一端被約束在水平桌面上, 確定其自由度. 法一剛體, 細桿, 無繞軸自轉(zhuǎn), A點被限制在平

18、面上, s=6. xA,yA,zA,s=5.s=4.法二A,B兩點確定,細桿位置確定,2個約束方程: 2.3 廣義坐標(biāo) 自由度：系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的獨立變分數(shù)目，即可以獨立變化的坐標(biāo)變更數(shù) . n 個質(zhì)點，k 個約束的系統(tǒng)的自由度： 非完整系中:自由度廣義坐標(biāo)數(shù)廣義坐標(biāo): 確定力學(xué)體系空間位置的一組獨立坐標(biāo) 個). (k個幾何約束時：有 s 維抽象空間 位形空間即：獨立的坐標(biāo)變更數(shù) v0 () 時，dt （由 A 到 B 的時間） 0 ， 如圖 4.某點的虛位移必在該點曲面的切平面上，即垂直于法線。與微分基本相同二. 理想約束虛功： 定義：如果約束反力 Ri 的虛功之和為零，則為理想約束. 即 ：理

19、解: 關(guān)鍵是 虛位移與約束力始終正交 . （1）如光滑的面、線，鉸鏈上的約束力，剛性桿，不可伸長的繩, 剛體純滾動時的靜摩擦力, 剛體的內(nèi)力.（2）摩擦力,空氣阻力,不是理想約束,可看成是未知的主動力. 三. 虛功原理 (微分變分原理)平衡時, 對每一質(zhì)點有: ( 為質(zhì)點上主動力的合力) 虛功原理: 理想、完整、穩(wěn)定約束體系平衡的充要條件是 主動力虛功之和為零. 虛功: 用廣義坐標(biāo)表示為：由： 得： 因廣義坐標(biāo)相互獨立,其變更數(shù)與自由度數(shù)相同,= 0 所以:廣義力或： 0 靜力學(xué)問題的一般解題步驟： 確定自由度，選取一組獨立的廣義坐標(biāo)；2. 將變換方程 代入虛功方程 令 的系數(shù)為零，求解s 個

20、 = 0 的方程.方法 一： 按定義求 方法 二： 有時更方便求 的方法：僅是 有一變化 各力所作的總虛功. 用廣義坐標(biāo)表出的動力學(xué)方程稱為拉格朗日方程，可以直接由牛頓第二定律導(dǎo)出。圖2.2O （1）達朗貝爾方程 設(shè)受約束的質(zhì)點系中質(zhì)點i所受的主動力和約束力分別為 和 ，位矢為 ， 由牛頓 第二定律有給質(zhì)點i以虛位移 ，得對整個質(zhì)點系 （2.6） 上式稱為達朗貝爾（dAlembert）方程，是理想約束體系動力學(xué)普遍方程。在理想約束條件下，有達朗貝爾是法國著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，一生研究了大量課題，完成了涉及多個科學(xué)領(lǐng)域的論文和專著，其中最著名的有八卷巨著數(shù)學(xué)手冊、力學(xué)專著動力學(xué)、23

21、卷的文集、百科全書的序言等等。他的很多研究成果記載于宇宙體系的幾個要點研究中。達朗貝爾生前為人類的進步與文明做出了巨大的貢獻，也得到了許多榮譽。但在他臨終時，卻因教會的阻撓沒有舉行任何形式的葬禮。 達朗貝爾的科學(xué)成就數(shù)學(xué)是達朗貝爾研究的主要課題，他是數(shù)學(xué)分析的主要開拓者和奠基人。達朗貝爾為極限作了較好的定義，但他沒有把這種表達公式化。波義爾做出這樣的評價：達朗貝爾沒有擺脫傳統(tǒng)的幾何方法的影響，不可能把極限用嚴格形式闡述；但他是當(dāng)時幾乎唯一一位把微分看成是函數(shù)極限的數(shù)學(xué)家。達朗貝爾是十八世紀少數(shù)幾個把收斂級數(shù)和發(fā)散級數(shù)分開的數(shù)學(xué)家之一，并且他還提出了一種判別級數(shù)絕對收斂的方法達朗貝爾判別法，即現(xiàn)

22、在還使用的比值判別法；他同時是三角級數(shù)理論的奠基人；達朗貝爾為偏微分方程的出現(xiàn)也做出了巨大的貢獻，1746年他發(fā)表了論文張緊的弦振動是形成的曲線研究，在這篇論文里，他首先提出了波動方程，并于1750年證明了它們的函數(shù)關(guān)系；1763年，他進一步討論了不均勻弦的振動，提出了廣義的波動方程；另外，達朗貝爾在復(fù)數(shù)的性質(zhì)、概率論等方面也都有所研究，而且他還很早就證明了代數(shù)基本定理。達朗貝爾在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的各個方面都有所建樹，但他并沒有嚴密和系統(tǒng)的進行深入的研究，他甚至曾相信數(shù)學(xué)知識快窮盡了。但無論如何，十九世紀數(shù)學(xué)的迅速發(fā)展是建立在他們那一代科學(xué)家的研究基礎(chǔ)之上的，達朗貝爾為推動數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要的貢獻。

23、達朗貝爾認為力學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)家的主要興趣，所以他一生對力學(xué)也作了大量研究。達朗貝爾是十八世紀為牛頓力學(xué)體系的建立作出卓越貢獻的科學(xué)家之一。動力學(xué)是達朗貝爾最偉大的物理學(xué)著作。在這部書里，他提出了三大運動定律，第一運動定律是給出幾何證明的慣性定律；第二定律是力的分析的平行四邊形法則的數(shù)學(xué)證明；第三定律是用動量守恒來表示的平衡定律。書中還提出了達朗貝爾原理，它與牛頓第二定律相似，但它的發(fā)展在于可以把動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題處理，還可以用平面靜力的方法分析剛體的平面運動，這一原理使一些力學(xué)問題的分析簡單化，而且為分析力學(xué)的創(chuàng)立打下了基礎(chǔ)。牛頓是最早開始系統(tǒng)研究流體力學(xué)的科學(xué)家，但達朗貝爾則為流體力學(xué)

24、成為一門學(xué)科打下了基礎(chǔ)。1752年，達朗貝爾第一次用微分方程表示場，同時提出了著名的達朗貝爾原理流體力學(xué)的一個原理，雖然這一原理存在一些問題，但是達朗貝爾第一次提出了流體速度和加速度分量的概念。達朗貝爾在力學(xué)和數(shù)學(xué)方面的研究推動了他對天文學(xué)的研究，他運用他的力學(xué)的知識為天文學(xué)領(lǐng)域做出了重要貢獻。十八世紀，牛頓運動理論已經(jīng)不能完善的解釋月球的運動原理了。達朗貝爾開始涉足這一領(lǐng)域。在當(dāng)時，達朗貝爾和另一個科學(xué)家克萊洛是學(xué)術(shù)上的競爭對手。他們在寫論文、作報告等工作中相互競爭多年。在研究月球運動時，達朗貝爾和克萊洛在同一天提交了關(guān)于月球運動的報告，他們都對月球近地點移動的現(xiàn)象做出了解釋，并在1749年

25、提交了更詳細的報告。1754年，他們又都發(fā)表了月球運動數(shù)值表，這是最早的月球歷之一。達朗貝爾在天文學(xué)上的另一個主要研究是關(guān)于地球形狀和自傳的理論。達朗貝爾發(fā)現(xiàn)了流體自轉(zhuǎn)時平衡形式的一般結(jié)果，克萊洛以此為基礎(chǔ)研究了地球的自轉(zhuǎn)，1749年，達朗貝爾發(fā)表了關(guān)于春分點、歲差和章動的論文，為天體力學(xué)的形成和發(fā)展做出了奠定了基礎(chǔ)。達朗貝爾對青年科學(xué)家十分熱情，他非常支持青年科學(xué)家研究工作，也愿意在事業(yè)上幫助他們。他曾推薦著名科學(xué)家拉格朗日到普魯士科學(xué)院工作，推薦著名科學(xué)家拉普拉斯到巴黎科學(xué)院工作。達朗貝爾自己也經(jīng)常與青年科學(xué)家進行學(xué)術(shù)討論，從中發(fā)現(xiàn)并引導(dǎo)他們的科學(xué)思想發(fā)展。在十八世紀的法國，讓達朗貝爾不僅

26、燦爛了科學(xué)事業(yè)的今天，也照亮了科學(xué)事業(yè)的明天。 拉格朗日(Lagrange)方程 由n個質(zhì)點所組成的質(zhì)點系主 動 力虛 位 移廣義坐標(biāo) 第i個質(zhì)點的位矢一. 拉格朗日關(guān)系式的推導(dǎo)坐標(biāo)間相互獨立，唯在qk方向上積分不為零對任意一個廣義坐標(biāo) qj 求偏導(dǎo)數(shù) 如果將位矢對任意一個廣義坐標(biāo) qj 求偏導(dǎo)數(shù)，再對時間求導(dǎo)數(shù)，則得到第二個拉格朗日關(guān)系式由動力學(xué)普遍方程，得 Qk廣義力二. 拉格朗日方程的推導(dǎo)上式為理想完整系的拉格朗日方程。其中：主動力的廣義力，可以是力、力 矩或其 他力學(xué)量（不包含約束反力） 體系相對慣性系的動能 廣義動量，可為線動量、角動量或其他物理量 （3）保守體系的拉格朗日方程 如果

27、主動力都是保守力，即，則為廣義力 將上式代入理想完整系的拉格朗日方程式，得 （2.17） 想一想：（2.17）式的成立、適用條件是什么？主動力都是保守力上式為保守體系的拉格朗日方程，常用的一種拉格朗日方程。式中： （2.18）為拉格朗日函數(shù)，是表征體系約束運動狀態(tài)和相互作用等性質(zhì)的特征函數(shù)。 一般情況： 廣義動量拉氏力主動力即：廣義坐標(biāo)下的動量定理 廣義動量的時間變化率等于廣義力（主動力+拉氏力） 拉格朗日方程 的一般形式 （4）如果：廣義力有廣義勢 同樣可得上式 （習(xí)題 20 ）.稱為廣義動量 ( 可以是線動量,角動量 )（3）討論 ： (1) 推導(dǎo)思路 （2）L 中的 相互獨立. 在作 運

28、算時，其它變量 是瞬時“凍結(jié)”了的約束條件所允許的、與 t 無關(guān)的任意廣義坐標(biāo)（如虛位移的概念）. 但由拉氏方程表示的是實際質(zhì)點的運動（實位移是虛位移中的一個），因而解出的 是 t 的函數(shù)， 是 的時間變化率. ref. 粱 P.83 (6) 力學(xué)體系不同， 不同，但 拉氏方程形式不變.（分析力學(xué)的優(yōu)點，與牛頓力學(xué)比較） （7）L -方程也可以從哈密頓原理導(dǎo)出. 稱為廣義速度 ( 可以是線速度, 角速度 ) （4） 是廣義力 ( 主動力 ) ( 可以是力, 力矩, 壓強 ) （5） 中不包含約束反力, 可用 求 分析力學(xué)特點優(yōu)點？缺點？ L =T-V ：是力學(xué)體系的一個特性函數(shù), 表征 系統(tǒng)的

29、約束、運動狀態(tài) 、相互作用等性質(zhì).承認前者導(dǎo)出后者比承認后者導(dǎo)出前者更簡潔，更富有概括性，故稱為力學(xué)的普遍原理. （8）分析力學(xué)的普遍原理 考慮非理想約束情況，達朗伯- 拉格朗日方程 表述為： 主動力、非理想約束力和慣性力的虛功之和為零 牛頓定律 （5）對拉格朗日方程的評價 拉氏方程的特點（優(yōu)點）： 是一個二階微分方程組，方程個數(shù)與體系的自由度相同。形式簡潔、結(jié)構(gòu)緊湊。而且無論選取什么參數(shù)作廣義坐標(biāo)，方程形式不變。 方程中不出現(xiàn)約束反力，因而在建立體系的方程時，只需分析已知的主動力，不必考慮未知的約束反力。體系越復(fù)雜，約束條件越多，自由度越少，方程個數(shù)也越少，問題也就越簡單。 拉氏方程是從能量

30、的角度來描述動力學(xué)規(guī)律的，能量是整個物理學(xué)的基本物理量而且是標(biāo)量，因此拉氏方程為把力學(xué)規(guī)律推廣到其他物理學(xué)領(lǐng)域開辟了可能性，成為力學(xué)與其他物理學(xué)分支相聯(lián)系的橋梁。 拉氏方程的價值 拉氏方程在理論上、方法上、形式上和應(yīng)用上用高度統(tǒng)一的規(guī)律，描述了力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)規(guī)律，為解決體系的動力學(xué)問題提供了統(tǒng)一的程序化的方法，不僅在力學(xué)范疇有重要的理論意義和實用價值，而且為研究近代物理學(xué)提供了必要的物理思想和數(shù)學(xué)技巧。 對于只具有完整約束、自由度為 N 的系統(tǒng)，可以得到由 N 個拉格朗日方程組成的方程組。應(yīng)用拉格朗日方程，一般應(yīng)遵循以下步驟： 首先，要判斷約束性質(zhì)是否完整、主動力是否有勢，決定采用哪一種形式

31、的拉格朗日方程。 其次，要確定系統(tǒng)的自由度，選擇合適的廣義坐標(biāo)。 按照所選擇的廣義坐標(biāo)，寫出系統(tǒng)的動能、勢能或廣義力。 將動能或拉格朗日函數(shù)、廣義力代入拉格朗日方程。拉格朗日方程的應(yīng)用例題1已知： m1 ; m2 ; R; 摩擦系數(shù)f ; F 求:板的加速度。FCR解：1、系統(tǒng)具有二個自由度， 取 x、 為其廣義坐標(biāo)。Oxx2、計算系統(tǒng)的動能：其中：3、計算廣義力：(1)令：(2)令：Fs4、應(yīng)用拉格朗日方程解得：例 題 2xOxl0 質(zhì)量為m、長度為l 的均質(zhì)桿AB可以繞A端的鉸鏈在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。A端的小圓輪與剛度系數(shù)為k 的彈簧相連，并可在滑槽內(nèi)上下滑動。彈簧的原長為l0。求：系統(tǒng)的運動微分

32、方程ABkC 解：1、系統(tǒng)的約束為完整約束，主動力為有勢力。 2、系統(tǒng)具有兩個自由度，廣義坐標(biāo)選擇為q=(x, ), x 坐標(biāo)的原點取在彈簧原長的下方。xOxl0ABkC 3、計算系統(tǒng)的動能：不計彈簧的質(zhì)量，系統(tǒng)的動能即為AB桿的動能速度vC的確定 系統(tǒng)的勢能由彈簧勢能與重力勢能所組成，以O(shè)點為共同的勢能零點：xOxl0ABkC拉格朗日函數(shù)4、應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動微分方程OACk例 題 3 質(zhì)量為m1、半徑為 r 的均質(zhì)圓輪在水平面上純滾，輪心與剛性系數(shù)為k 的彈簧相連。均質(zhì)桿AB長度為l ，質(zhì)量為m2 。求：系統(tǒng)的運動微分方程。解：1、系統(tǒng)的約束為完整約束，主動力為有勢力。 2、系

33、統(tǒng)具有兩個自由度，廣義坐標(biāo)選擇為q=(x, ), x 坐標(biāo)的原點取在彈簧原長處。xxyOACkxxy3、計算系統(tǒng)的動能：速度vC的確定系統(tǒng)的勢能由彈簧勢能與重力勢能所組成：純滾條件重力勢能y=0為零勢面OACkxxy拉格朗日函數(shù)4、應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動微分方程O1O2例 題 4 質(zhì)量為m、半徑為 3R 的均質(zhì)大圓環(huán)在粗糙的水平面上純滾。另一小圓環(huán)質(zhì)量亦為m ，半徑為R ，又在粗糙的大圓環(huán)內(nèi)壁做純滾動。不計滾動摩阻，整個系統(tǒng)處于鉛垂面內(nèi)。求：系統(tǒng)的運動微分方程。解：1、系統(tǒng)的約束為完整約束，主動力為有勢力。 2、系統(tǒng)具有兩個自由度，廣義坐標(biāo)選擇為q=( , )。vO1O1O23、計算系

34、統(tǒng)的動能：由運動學(xué)可知：建立隨質(zhì)心O1平動的坐標(biāo)系O1 x1 y1x1y1O1O2EvO1vO2rvEr純滾條件vO1O1O23、計算系統(tǒng)的動能：O1O2EvO1vO2rvEr系統(tǒng)的勢能：O1O2拉格朗日函數(shù)4、應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動微分方程 解：（1）求運動規(guī)律 體系的自由度為1，以r為廣義坐標(biāo)，拉格朗日函數(shù)為 （1） 代入拉氏方程得 （2） 例1 轉(zhuǎn)動桿上質(zhì)點的運動 如圖2.3所示，一光滑桿在豎直平面OYZ內(nèi)以角速度繞水平軸ox轉(zhuǎn)動, 一質(zhì)點約束在桿上運動,t=0時 ,求質(zhì)點的運動規(guī)律和桿的約束反力。 上式為二階線性常系數(shù)非齊次微分方程。設(shè) （3）是（2）式的一個特解，將（3）式對

35、t求二次導(dǎo)數(shù)，得（4）則（2）式的解為 （6）根據(jù)初始條件：t=0時，可得將（3）、（4）式代入（2）式解得 （5），所以（2）式的一個特解為代入（6）式，得質(zhì)點的運動規(guī)律 （7） （2）求約束反力 由牛頓第二定律，有 由（7）式，有 （9）（9）式代入（8）式得約束反力 將代入上式，得 （8） 例2 平面上的約束質(zhì)點的運動 教材P.45 例4 解：（1）求體系質(zhì)點的L函數(shù)，運動方程及其解 質(zhì)點的自由度為1，選取圖中的角為廣義坐標(biāo)，則拉格朗日函數(shù)為 （1）將和代入拉氏方程得質(zhì)點的運動微分方 程為 （2）積分得 （3）再積分得質(zhì)點運動規(guī)律為 （4） （2）質(zhì)點碰到柱體的位置和時間當(dāng)時小球與柱體相

36、碰積分 得 （5） 由（3）式有 （2.18） 應(yīng)用拉格朗日方程不僅可以解體系的動力學(xué)（運動）問題，也可以求解體系的靜力學(xué)（平衡）問題。 體系處于平衡時，動能恒為零，此時拉氏方程變?yōu)槿糁鲃恿鶠楸Ｊ亓?，則（2.19）（2.18）和（2.19）式即是體系的拉格朗日平衡方程。2.5 拉格朗日方程對平衡問題的應(yīng)用 例3 求體系的平衡位置 教材：P.46 例1 解：體系自由度：2，廣義坐標(biāo)： 所以 例4 求體系平衡時所受的力 教材:P.48 例3 解:本題要求的是體系平衡時桿AO和 BO所受的約束力.由于拉氏方程不出現(xiàn)約束力，故不能直接應(yīng)用拉氏方程求約束力。但如果去掉約束條件，增加一個自由度，把相應(yīng)的

37、約束力當(dāng)作主動力，則仍可應(yīng)用拉氏方程求解約束力。如圖2.6所示,體系自由度為1,廣義坐標(biāo)為,廣義力 例5 帶電粒子在電磁場中的拉氏函數(shù)(教材*2.5)和 均勻磁場 教材:P.51 例.求質(zhì)量為m,電荷為q的粒子在均勻電場中運動時的拉格朗日函數(shù). 解：（1）帶電粒子在電磁場中拉氏函數(shù)的一般式不能表示為 如果體系所受的力不是一般意義下的保守力，廣義力的形式，而可表為 （1）的形式，式中函數(shù)（2）因此，仍可得到保守系的拉氏方程（4）根據(jù)電磁理論可以導(dǎo)出帶電粒子在電磁場中的廣義勢和拉氏函數(shù)分別為（5） （6）其中為電磁場矢勢，為電磁場的標(biāo)勢。稱為廣義勢，體系的拉格朗日函數(shù)為 L=T-U（3） （2）本

38、例中相應(yīng)的矢勢和標(biāo)勢為 拉氏函數(shù)（7） （8）（7）、（8）、（9）式即為粒子的運動微分方程。（9） 2.4 對稱性和守恒定律 2.4.1 運動積分 拉格朗日方程是S個二階常微分方程組，在某些特殊條件下方程的部分第一積分（運動積分）很容易求得。于是得到一個運動積分（2.20）稱為廣義動量，上式表明體系的廣義動量守恒。若為普通直角坐標(biāo)，為普通動量；為角坐標(biāo)時，為角動量。 （1）廣義動量積分 如果拉格朗日函數(shù)L中不出現(xiàn)某一廣義坐標(biāo)，則拉格朗日方程變?yōu)?（稱為循環(huán)坐標(biāo)或可遺坐標(biāo)），這時討論:如有心力場中: 循環(huán)積分為: 角動量守恒 1. 一個循環(huán)坐標(biāo) ( 可遺坐標(biāo) ) 一個循環(huán)積分 ( 初積分 )

39、一個物理守恒量. 重力場中： x , y 為循環(huán)坐標(biāo), 分量守恒 角度 長度 2. 為線動量， 為力； 為角動量, 為力矩. 齊次函數(shù)的歐勒定理: 若 為 的 次齊次式, 則 （2）廣義能量積分 證明:兩邊對c求導(dǎo)*其中 恒滿足: 令c=1,即得如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含時間t：，這時，則 或從而得到另一個運動積分（2.21）體系的動能 其中所以 （2.22） 對于穩(wěn)定約束，則H=2T -（T - V）=T + V=常數(shù)（2.23）上式表明：L不顯含時間t且約束是穩(wěn)定（的總能量不變能量守恒定律。不顯時間時間t）的情況下，體系齊次函數(shù)的歐拉定理說明： H 是一個與動能和勢能有關(guān)的量，稱為廣義能量

40、積分.能量積分 說明： 完整、穩(wěn)定約束條件下，保守系統(tǒng)的能量守恒. 例：求以 運動汽車中一維諧振子的能量.a. 汽車勻速運動：以汽車為慣性系：以地面為慣性系：b.汽車勻加速運動：H 守恒，等于機械能H 守恒，但不等于機械能H 不守恒 T2T1T0屬不穩(wěn)定約束情況，但L與 t 無關(guān).O1O2由能量積分得： 因 L 函數(shù)不顯含 ，故 為循環(huán)坐標(biāo)，系統(tǒng)存在循環(huán)積分：O1O2t 為循環(huán)坐標(biāo)廣義能量守恒 r 為循環(huán)坐標(biāo)動量守恒q為循環(huán)坐標(biāo)角動量守恒 定義：具有可加性量（廣延量）的運動積分稱為守恒量. 對時間取極值（時間均勻性）（空間平移均勻性）（空間各向同性）不變性 穩(wěn)定態(tài) 2.4.2 對稱性與守恒量的

41、關(guān)系 運動積分有二類，一類具有可加性，另一類不具有可加性。具有可加性的運動積分稱為守恒量。 具有可加性的運動積分的不變性和時空的基本性質(zhì)時空對稱性（即時空的均勻性和各向同性）相聯(lián)系。 （2.24） （2.25） 反映體系力學(xué)性質(zhì)的拉氏函數(shù)不改變，即 （2.26） 空間均勻性和各向同性意味著坐標(biāo)軸的原點和方向可任意選取而不會改變體系的動力學(xué)性質(zhì)，也就是說，當(dāng)空間有一任意無限小時： 無限小轉(zhuǎn)動或任意（2.27）由于坐標(biāo)軸原點和方向的任意選取不引起時間的變化（t=0），所以由 ，有（2.28）（2.28）式代入（2.27）式：（2.29） （1）空間均勻性導(dǎo)致動量守恒 空間均勻性，意味著坐標(biāo)可以任意

42、平移，坐標(biāo)平移時，體系中所有質(zhì)點位移相同，相同，所以 （2）空間各向同性導(dǎo)致角動量守恒 空間各向同性，意味著坐標(biāo)軸方向可以任意轉(zhuǎn)動。如圖2.7所示，由于坐標(biāo)轉(zhuǎn)動而引起質(zhì)點的位移為則L函數(shù)改變可見 （3）時間均勻性導(dǎo)致能量守恒約束穩(wěn)定時（ 不顯含時間t），H為體系的能量，上式為能量守恒定律。約束不穩(wěn)定時，時間平移時，約束條件改變，時間均勻性被破壞，H不守恒。 時間均勻意味著時間原點（t=0時刻）可以任意選取。時間平移不引起L函數(shù)的改變，意味著L不顯含時間，即 （前面已證明）：。這時廣義能量守恒對稱性（不變性）守恒律空間平移動量時間平移能量轉(zhuǎn)動 角動量空間反演宇稱 電荷規(guī)范變換電荷重子規(guī)范變換重子

43、數(shù)輕子規(guī)范變換 輕子數(shù)電荷共軛 電荷宇稱結(jié)論:一個對稱性對應(yīng)一個守恒律對稱現(xiàn)象舉例分析力學(xué)基礎(chǔ)/拉氏第二類方程/拉格朗日函數(shù)/例例 EXIT水平面上一斜面B1上有一滑塊B2，質(zhì)量分別為m1與m2。斜面傾角為q(1)設(shè)初始時B2在B1的頂點，兩物體均無速度求當(dāng)滑塊B2下滑離開斜面時 (落差為h)， 求B1的速度與B2相對斜面的速度(2) 如果斜面B1在力的作用下以勻速v向右運動，求滑塊B2脫離斜面時，它相對斜面的速度分析力學(xué)基礎(chǔ)/拉氏第二類方程/拉格朗日函數(shù)/解解 (1)EXIT慣性基B1的連體基兩個自由度 O1絕對坐標(biāo)斜面速度(平動)C2相對坐標(biāo)滑塊速度廣義坐標(biāo) 分析力學(xué)基礎(chǔ)/拉氏第二類方程/

44、拉格朗日函數(shù)/解EXIT慣性基B1的連體基兩個自由度 O1絕對坐標(biāo)C2相對坐標(biāo)B1作水平平動 B2質(zhì)心垂直方向的位移作功 主動力主動力不作功 初始位置為零勢面 系統(tǒng)勢能勢能分析力學(xué)基礎(chǔ)/拉氏第二類方程/拉格朗日函數(shù)/解EXIT慣性基B1的連體基兩個自由度 O1絕對坐標(biāo)C2相對坐標(biāo)x1為循環(huán)坐標(biāo) 循環(huán)積分 能量積分（定常約束） 找初積分分析力學(xué)基礎(chǔ)/拉氏第二類方程/拉格朗日函數(shù)/解EXITt = 0初積分方程 定常數(shù) 降階的動力學(xué)方程分析力學(xué)基礎(chǔ)/拉氏第二類方程/拉格朗日函數(shù)/解EXIT滑塊離開斜面 滑塊相對斜面的速度 斜面的速度 分析力學(xué)基礎(chǔ)/拉氏第二類方程/拉格朗日函數(shù)/解解 (2)EXIT

45、慣性基B1的連體基廣義坐標(biāo)C2相對坐標(biāo)滑塊速度斜面B1以勻速v向右運動，已知系統(tǒng)的自由度為1 系統(tǒng)勢能系統(tǒng)動能對象滑塊分析力學(xué)基礎(chǔ)/拉氏第二類方程/拉格朗日函數(shù)/解EXIT慣性基B1的連體基廣義坐標(biāo)C2相對坐標(biāo)廣義能量積分 找初積分 分析力學(xué)基礎(chǔ)/拉氏第二類方程/拉格朗日函數(shù)/解EXIT慣性基B1的連體基廣義坐標(biāo)C2相對坐標(biāo)t = 0滑塊離開斜面滑塊相對斜面的速度 定常數(shù) 降階的動力學(xué)方程 2.5 解題指導(dǎo)拉格朗日方程是處理力學(xué)體系特別是約束體系動力學(xué)問題的主要理論和有效工具之一，通常是應(yīng)用拉氏方程建立體系的動力學(xué)方程。 （1）用拉氏方程解題的步驟 分析體系的約束類型和主動力性質(zhì)，判定是否符合

46、L方程的條件； 判定體系的自由度，選取適當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)； 寫出體系的動能T，勢能V和拉氏函數(shù)L，并將L表成和t函數(shù)：； 將L代入拉氏方程，得出體系的運動微分方程； 解方程并討論。 在半徑為R的光滑圓環(huán)上穿有一質(zhì)量為m的小球，圓環(huán)以恒定角速度繞豎直直徑轉(zhuǎn)動。求小球的運動微分方程。 （2）范例 例1 質(zhì)點在旋轉(zhuǎn)圓環(huán)上運動 解：小球在隨圓環(huán)轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系中自由度為1，以為廣義坐標(biāo)，其動能和勢能為 L函數(shù)(勢能以O(shè)為零勢能位置)代入L方程，得運動微分方程為 例2 移動的擺桿 如圖2.9所示，均質(zhì)桿AB長為b，質(zhì)量為m，光滑斜面的傾角為，滾輪A的質(zhì)量忽略不計。試用拉氏方程建立系統(tǒng)的運動微分方程。 解：自由度=

47、2, 選取廣義坐標(biāo)x;動能勢能（O為零勢能位置）L函數(shù)代入拉氏方程，得 例 EXIT一雙質(zhì)點擺，擺球P1與P2的質(zhì)量分別為m1與m2，擺長分別為l1與l2試利用拉格朗日第二類方程建立該雙質(zhì)點擺的動力學(xué)方程解 EXIT慣性基廣義坐標(biāo)自由度為2導(dǎo)數(shù) 動能 擺球坐標(biāo) EXITEXIT主動力廣義力EXIT雙質(zhì)點擺的動力學(xué)方程 例3 約束單擺的運動 如圖2.10所示，擺長為L質(zhì)量為m1的單擺可在豎直平面內(nèi)擺動。另一質(zhì)量為m2小球置于半徑為R的半圓形底座上，并套在單擺的OA桿上，可沿OA自由滑動。假設(shè)m1和m2可視為質(zhì)點，OA桿的質(zhì)量及一切摩擦忽略不計。求單擺的運動微分方程及微振動周期。 如圖，有 勢能（O為零勢能位置） 解：體系的自由度為1、廣義坐標(biāo)選為 代入拉氏方程，得微振動時，上式簡化為或上式即所求的體系微振動微分方程，式中 為圓頻率，微振動周期為 分析力學(xué)基礎(chǔ)/拉氏第二類方程/拉格朗日函數(shù)/例例 EXIT一單擺B2（不計）的支點固定在一可沿光滑的水平直線軌道平行移動的滑塊B1上利用拉格朗日第二類方程建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程，且分析系統(tǒng)的運動分析力學(xué)基礎(chǔ)/拉氏第二類方程/拉格朗日函數(shù)/解解 EXIT慣性基滑塊連體基