1、1第五章 大數(shù)定律及中心極限定理1 大數(shù)定律2 中心極限定理2第五章 大數(shù)定律及中心極限定理1 大數(shù)定律大數(shù)定律的定義切比雪夫大數(shù)定律貝努里大數(shù)定律3實例：測量一個工件，由于測量具有誤差，以各次的平均值作為測量結(jié)果，只要儀器準確且測量的次數(shù)足夠多，總可以達到要求的精度。此問題的數(shù)學表達：反映了什么統(tǒng)計規(guī)律？如果工件的測量值真值為a, 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 1 大數(shù)定律4即大量測量值的算術(shù)平均值具有穩(wěn)定性。這就是大數(shù)定律的反映。測量的經(jīng)驗就是： 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 1 大數(shù)定律5 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 1 大數(shù)定律定義1若對任意考慮：數(shù)列的收斂性定義，比較數(shù)列與隨

2、機變量序列 收斂性的區(qū)別。一、定義6定義2 對任意 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 1 大數(shù)定律隨機變量的平均值依概率趨向于它們數(shù)學期望的平均值.78定理1.馬爾可夫大數(shù)定律 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 1 大數(shù)定律設(shè)隨機變量滿足證明：9定理2.切比雪夫大數(shù)定律（獨立同分布 ） 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 1 大數(shù)定律設(shè)隨機變量獨立同分布，10證： 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 1 大數(shù)定律由馬爾可夫大數(shù)定律11定理3. 貝努里大數(shù)定律證：令 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 1 大數(shù)定律則 獨立同分布， 12由定理2. 有該定理給出了頻率的穩(wěn)定性的嚴格的數(shù)學意義。 第五章 大數(shù)定律及

3、中心極限定理 1 大數(shù)定律1314第五章 大數(shù)定律及中心極限定理2 中心極限定理定義獨立同分布的中心極限定理拉普拉斯中心極限定理用頻率估計概率時誤差的估計15中心極限定理說明了正態(tài)分布的重要地位，它是統(tǒng)計學中處理大樣本時的重要工具。 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 2 中心極限定理161718一、定義 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 2 中心極限定理若對任意 x ： 表示Zn的極限分布為標準正態(tài)分布19定理1 （獨立同分布的中心極限定理）二、中心極限定理 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 2 中心極限定理20本質(zhì)是： 的極限分布是正態(tài)分布.從而的極限分布是標準正態(tài)分布中心極限 定理21例. 一接

4、收器同時收到20個信號電壓設(shè)它們互相獨立均服從U(0,10)，求電壓之和大于105的概率。 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 2 中心極限定理記22 某產(chǎn)品裝箱，每箱重量是隨機的。假設(shè)每箱平均重50kg，標準差為5kg。若用最大載重量為5噸的汽車承運，問每車最多可裝多少箱，才能以0.977以上的概率保證不超載。例.解：設(shè)最多可裝 n 箱，由中心極限定理 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 2 中心極限定理總重量23因此最多可裝 98 箱。 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 2 中心極限定理242526由定理1有結(jié)論成立。定理2 貝努里情形的中心極限定理（拉普拉斯）證明：由二項分布和0-1分布的關(guān)系知其

5、中 相互獨立且都服從于0-1分布，且 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 2 中心極限定理設(shè)n是 n 重貝努里試驗中A發(fā)生的次數(shù)，p=P(A).則對27從而的極限分布是標準正態(tài)分布拉普拉斯中心極限 定理本質(zhì)是： 服從二項分布，則 的極限分布是正態(tài)分布.28推論：說明：這個公式給出了n 較大時二項分布的概率 計算方法。 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 2 中心極限定理設(shè)n B ( n, p ),29例. 車間有200臺獨立工作的車床，每臺工作的概率為0.6, 工作時每臺耗電1千瓦, 問至少供電多少千瓦才能以99.9%的概率保證正常生產(chǎn)。設(shè)至少要供給s 千瓦電，則解：記同時工作的車床數(shù)為 X，則 X

6、B(200,0.6). 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 2 中心極限定理EX=120, DX=48, 由中心極限定理, X N(120,48)近似30 需要至少供給141千瓦電。 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 2 中心極限定理31用頻率估計概率時誤差的估計：由上面的定理知用這個關(guān)系式可解決許多計算問題。 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 2 中心極限定理32例. 今從良種率為1/6的種子中任取6000粒，問能以0.99的概率保證在這6000粒種子中良種所占的比例與1/6的差的絕對值不超過多少？相應(yīng)的良種粒數(shù)在哪個范圍內(nèi)？解：EX=1000, DX=5000/6, 由中心極限定理, X N(10

7、00, 5000/6) 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 2 中心極限定理近似33 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 2 中心極限定理34良種粒數(shù)X的范圍為 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 2 中心極限定理35例. 系統(tǒng)由100個相互獨立的部件組成，每個部件的損壞率為0.1。至少有85個部件正常工作，系統(tǒng)才能運行，求系統(tǒng)能運行的概率。解：由拉普拉斯中心極限定理有則 XB(100, 0.1)，EX=10, DX=9.設(shè)X是損壞的部件數(shù)， 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 2 中心極限定理系統(tǒng)能運行，則361）了解大數(shù)定律的意義和內(nèi)容，理解切比雪夫大 數(shù)定律、貝努里大數(shù)定律。第五章 小 結(jié)要求：1)大數(shù)定律的定義，切比雪夫大數(shù)定律、貝努里大 數(shù)定律；