1、第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分13.1 3.1 柯西定理柯西定理21 1 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分2 2 幾個(gè)引理幾個(gè)引理3 3 柯西定理柯西定理31,knnzzzB 011,kAzzz oxyAB1 nzkz1 kz2z1zC曲線，曲線， 定義定義 C是區(qū)域是區(qū)域D內(nèi)以?xún)?nèi)以 為起點(diǎn)為起點(diǎn), 為終點(diǎn)的一條光滑的為終點(diǎn)的一條光滑的( )f z設(shè)設(shè) 是定義在區(qū)域是定義在區(qū)域D內(nèi)的復(fù)變函數(shù)內(nèi)的復(fù)變函數(shù). 在在C上依次取分點(diǎn)上依次取分點(diǎn) 把曲線把曲線C分割為分割為n個(gè)小段個(gè)小段. D0znz0zzoxy0zZ1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 在每個(gè)小弧段在每個(gè)小弧段 11,2,

2、kkzzkn 上任取上任取一點(diǎn)一點(diǎn) (1,2, ),kkn 做和數(shù)做和數(shù) 11(),nnkkkkSfzz 令令 101max.kkk nzz nz如果分點(diǎn)的個(gè)數(shù)無(wú)限增多，并且下述極限存在如果分點(diǎn)的個(gè)數(shù)無(wú)限增多，并且下述極限存在, 則稱(chēng)該極限為函數(shù)則稱(chēng)該極限為函數(shù) 沿曲線沿曲線C的積分的積分, ( )f z001limlim()nnkkkSfz 記作記作 ( )d ,Cf zz 5當(dāng)當(dāng)C是實(shí)軸上的區(qū)間是實(shí)軸上的區(qū)間 ,a b方向從方向從a到到b, 并且并且( )f z為實(shí)值函數(shù)，那么這個(gè)積分就是定積分為實(shí)值函數(shù)，那么這個(gè)積分就是定積分. 注注1:并且并且 Czzfd)( Cyvxudd Cyux

3、vdd i 定定 理理 設(shè)設(shè)C是光滑是光滑(或可求長(zhǎng)或可求長(zhǎng))的有向曲線，如果的有向曲線，如果 ( )( , )( , )f zu x yiv x y 上連續(xù)，則上連續(xù)，則 ( )dCf zz 存在，存在，在在C注注2:可積函數(shù)類(lèi)為連續(xù)函數(shù)可積函數(shù)類(lèi)為連續(xù)函數(shù)6kkki11111()()()()kkkkkkkkkkkkkzzzxiyxiyxxi yyxi y 11 (,)(,) (,)(,)nkkkkkkknkkkkkkkuxvyivxuy Czzfd)( Cyvxudddd .Cv xu y i 設(shè)設(shè) ，則，則,11()()() ()nnkkkkkkkkkkfzuivxi y 定義定義證證明

4、明 u,v連續(xù)連續(xù)取極限取極限 u,v連續(xù)連續(xù)取極限取極限7 Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu積分公式從積分公式從形式上形式上可以看成可以看成8定定 理理 設(shè)光滑曲線設(shè)光滑曲線C由參數(shù)方程給出：由參數(shù)方程給出： 0:( )( )( ) (),Czz tx tiy tttT ( )dCf zz 0 ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) dTtu x ty t x tv x ty ty tt 0 ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d .Ttiv x ty t x tu x ty ty tt 0

5、( )( )Ttf z tz t dt 0( )z t是起點(diǎn)是起點(diǎn), ( )z T是終點(diǎn)，是終點(diǎn)，( )( , )( , )f zu x yiv x y 在在C上上連續(xù)，則連續(xù)，則 9 Czzfd)( Cyvxudddd .Cv xu y i 證明證明 0 ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) dTtu x ty t x tv x ty ty tt 0 ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d .Ttv x ty t x tu x ty ty tt i 0 ( ), ( ) ( ), ( )( )( ) dTtu x ty tiv x ty tx tiy tt 0(

6、 )( )Ttf z tz t dt 10(4)( )d( )d ;CCf zzf zz (2) ( )( )d( )d( )d ;CCCf zg zzf zzg zz( 是復(fù)常數(shù)是復(fù)常數(shù));(1) ( )d( )dCCf zzf zz (5) 設(shè)曲線設(shè)曲線C的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為L(zhǎng), 函數(shù)函數(shù)f (z)在在C上滿(mǎn)足上滿(mǎn)足( )d( ) d.CCf zzf zsML( ),f zM 則則估值不等式估值不等式12(3)( )d( )d( )d( )dnCCCCf zzf zzf zzf zz 其中其中C是由光滑曲線是由光滑曲線C1, C2, , Cn連接而成。連接而成。11 11101()nnkkkk

7、kkkkfzzfzz 1()nkkkfs 1,nkkMsML 其中其中,ks 是是kz與與1kz 兩點(diǎn)之間弧段的長(zhǎng)度兩點(diǎn)之間弧段的長(zhǎng)度.根據(jù)積分定義，令根據(jù)積分定義，令 0, 即得性質(zhì)即得性質(zhì)(5). 事實(shí)上事實(shí)上,12解解zxyor0z 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri例例 2 計(jì)算積分計(jì)算積分 (n是整數(shù)是整數(shù)), 其中其中C是圓周是圓周: (0)zr r ，方向?yàn)槟鏁r(shí)針，方向?yàn)槟鏁r(shí)針. 1()nCdzz 13zxyor0z , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n Cnzzzd)(110 20d

8、 i;2 i , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n Cnzzzd)(11020(cossin)d0.nininr rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0, 0, 0,2nni重要結(jié)論：積分值與圓周的中心、半徑無(wú)關(guān)重要結(jié)論：積分值與圓周的中心、半徑無(wú)關(guān). .14例例 計(jì)算計(jì)算 ,其中其中C為從原點(diǎn)到點(diǎn)為從原點(diǎn)到點(diǎn)3+4i的直線段的直線段. Czdzxyoi 43 C15(1) 從原點(diǎn)到從原點(diǎn)到 1+i 的直線段；的直線段； (3) 拋物線拋物線 y=x2 上從原點(diǎn)到上從原點(diǎn)到 1+i 的弧段；的弧段； (2) 從原點(diǎn)沿從原點(diǎn)沿x軸到軸到1, 再?gòu)脑購(gòu)?到到 1+i 的折線的折線. xyoi 11iy=x

9、2xy 例例 計(jì)算積分計(jì)算積分d ,Cz z 其中其中C為為 相同的路徑進(jìn)行時(shí)積分值相同的路徑進(jìn)行時(shí)積分值 不同不同, 而積分值而積分值 與路徑無(wú)關(guān)。與路徑無(wú)關(guān)。 是否可以討論積分與積分路徑的關(guān)系是否可以討論積分與積分路徑的關(guān)系?注意注意 從上兩例看到從上兩例看到, 積分積分d ,Cz z dCz z dCz z 沿著三條不沿著三條不( )0Cf z dz 柯西定理柯西定理 設(shè)設(shè)f (z)是單連通區(qū)域是單連通區(qū)域 D上的解析函數(shù)。上的解析函數(shù)。(1) 設(shè)設(shè)C是是D內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉合曲線，那么內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉合曲線，那么這里沿這里沿C的積分是按反時(shí)針?lè)较蛉〉牡姆e分是按反時(shí)針?lè)较蛉〉摹?2) 設(shè)設(shè)

10、C是是D內(nèi)連接內(nèi)連接 及及 兩點(diǎn)的任一條簡(jiǎn)單曲線，兩點(diǎn)的任一條簡(jiǎn)單曲線，0zz那么沿那么沿C 從從 到到 的積分值不依賴(lài)于曲線的積分值不依賴(lài)于曲線C； 0zz此積分也可記作此積分也可記作0( )d .zzf （3.1）18 定理的這個(gè)證明的主要部分是柯西在定理的這個(gè)證明的主要部分是柯西在1825年年給出的。給出的。 直接證明是比較困難的，在加上直接證明是比較困難的，在加上 f(z) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)在在C上連續(xù)這個(gè)條件后，黎曼于上連續(xù)這個(gè)條件后，黎曼于1851年運(yùn)用年運(yùn)用 格林公式給出了簡(jiǎn)明的證明過(guò)程。格林公式給出了簡(jiǎn)明的證明過(guò)程。 1900年古薩對(duì)定理進(jìn)行了修改，并給出了正年古薩對(duì)定理進(jìn)行了修改

11、，并給出了正 式的證明。式的證明。19引理引理2.1 設(shè)設(shè)f (z)是單連通區(qū)域是單連通區(qū)域 D內(nèi)的解析函數(shù)。設(shè)內(nèi)的解析函數(shù)。設(shè)C是是D內(nèi)一個(gè)多角形的周界，那么內(nèi)一個(gè)多角形的周界，那么證明：證明：先對(duì)先對(duì)C是三角形周界的情形作出證明，然后是三角形周界的情形作出證明，然后證明一般情況。證明一般情況。(1) C為一三角形的周界為一三角形的周界 。設(shè)設(shè)( ),f z dzM 下面證明下面證明M=0。( )0.Cf z dz 引理引理2.1 20等分給定三角形的每一邊。兩兩連接這些分點(diǎn)。等分給定三角形的每一邊。兩兩連接這些分點(diǎn)。三角形被分成四個(gè)全等的三角形，三角形被分成四個(gè)全等的三角形，1234,.1

12、 3 2 4 于是于是1234( )d( )d( )d( )d( )df zzf zzf zzf zzf zz 不妨假設(shè)不妨假設(shè)1( ).4Mf z dz 周界分別記為周界分別記為 22( ).4Mf z dz 同樣，將周界同樣，將周界 分成四個(gè)全等的三角形，其中一個(gè)分成四個(gè)全等的三角形，其中一個(gè)1 周界周界 滿(mǎn)足滿(mǎn)足(2) 把這種作法無(wú)限制地繼續(xù)下去，于是我們得到具有周界把這種作法無(wú)限制地繼續(xù)下去，于是我們得到具有周界 012,n的一個(gè)三角形序列，其中的一個(gè)三角形序列，其中 ，并且，并且 011, ( )0,1,2,.4nnMf z dzn 22 1,2,.2nUn 1 3 2 4 下面估計(jì)

13、下面估計(jì) ( )nf z dz 用用U 表示周界表示周界 的長(zhǎng)度，于是周界的長(zhǎng)度，于是周界 (n) 的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度是由由 02nUn 存在一點(diǎn)存在一點(diǎn) 屬于序列中屬于序列中所有的三角形。所有的三角形。0z23因?yàn)橐驗(yàn)?在在 解析，設(shè)其導(dǎo)數(shù)為解析，設(shè)其導(dǎo)數(shù)為 ，所以，所以( )f z0z0()fz 使得當(dāng)使得當(dāng) 并且并且 時(shí)，時(shí)，0,0,zD 00zz 000.f zf zfzzz 即即 0000.f zf zzzfzzz 0nz zz 由由 的取法知，的取法知，0z, . .Ns tnN 因此因此 ， nz 0000.2nUf zf zzzfzzz 24因此因此 ， nz 0000.2nUf

14、zf zzzfzzz 再由再由 我們有我們有 0,0,nndzzdz 000( )( )()()nnnnf z dzf z dzf z dzzzfz dz 000( )()()nf zf zzzfzdz 2.224nnnUUU(5) 設(shè)曲線設(shè)曲線C的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為L(zhǎng), 函數(shù)函數(shù)f (z)在在C上滿(mǎn)足上滿(mǎn)足( )d( ) d.CCf zzf zsML( ),f zM 則則25 ( )(2.3)4nnMf z dz 2( ).(2.5)4nnUf z dz 比較比較于是于是244nnMU 由由 的任意性知的任意性知 。 0M 26(2) C為一多角形的周界為一多角形的周界P 。用對(duì)角線把以用對(duì)角線

15、把以P為周界的多邊形分成幾個(gè)三角形為周界的多邊形分成幾個(gè)三角形由由(1)知，知，ABCDE于是于是( )d( )d( )d( )dPABCAACDAADEAf zzf zzf zzf zz ( )d0Pf zz 27注注1：設(shè)設(shè)P是是D中任一條閉合折線，其各段可能彼此相交，中任一條閉合折線，其各段可能彼此相交，( )d0Pf zz 注注2：用折線逼近曲線的方法可以證明柯西定理。本書(shū)用折線逼近曲線的方法可以證明柯西定理。本書(shū) 中用另一種方法。中用另一種方法。28注注 設(shè)設(shè)F(z)和和G(z)都是都是f (z)在區(qū)域在區(qū)域D上的原上的原函數(shù)函數(shù), 則則 (常數(shù)常數(shù)). ( )( )F zG zC

16、定定 義義 設(shè)設(shè)f (z)是定義在區(qū)域是定義在區(qū)域 D上的復(fù)變函數(shù)上的復(fù)變函數(shù),若存在若存在D上的解析函數(shù)上的解析函數(shù) 使得使得 在在( )( )zf z D內(nèi)成立，則稱(chēng)內(nèi)成立，則稱(chēng) 是是f (z)在區(qū)域在區(qū)域D上的上的原函數(shù)原函數(shù). (z) ( ) z 引理引理2.2 或或不定積分不定積分。凸區(qū)域：凸區(qū)域：區(qū)域區(qū)域D稱(chēng)為凸區(qū)域，如果稱(chēng)為凸區(qū)域，如果 1,0,1ttDtD 29 ( )( )( )( )F zG zF zG z ( )( )0.f zf z 那么它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)那么它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù), 一般表達(dá)式為一般表達(dá)式為 根據(jù)以上討論可知根據(jù)以上討論可知:證明證明 設(shè)設(shè)F(z)和和

17、G(z)都是都是f (z)在區(qū)域在區(qū)域 D上的上的根據(jù)第根據(jù)第44頁(yè)例頁(yè)例3 可知可知, 為常數(shù)為常數(shù).( )( )F zG z 原函數(shù)原函數(shù), 于是于是 如果如果F(z) 是是f (z)在區(qū)域在區(qū)域 D上的一個(gè)原函數(shù)，上的一個(gè)原函數(shù)， ( )F z (其中其中 是任意復(fù)常數(shù)是任意復(fù)常數(shù)). 30引理引理2.2 設(shè)設(shè) 是凸區(qū)域是凸區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，那么內(nèi)的解析函數(shù)，那么( )f z( )f z 在在D內(nèi)有原函數(shù)。內(nèi)有原函數(shù)。證明：證明：取定取定 。任取。任取 ，那么連接此兩點(diǎn)，那么連接此兩點(diǎn)D zD 的線段的線段 必含在必含在D內(nèi)。令內(nèi)。令( )( )dzF zf 本引理中的積分都是沿連接積

18、分上下限的線段取的本引理中的積分都是沿連接積分上下限的線段取的于是于是 是在是在D內(nèi)確定的函數(shù)。內(nèi)確定的函數(shù)。( )F zDz 實(shí)際上實(shí)際上 ， 是是 在在 D 內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。 )(zF)(zfDz 0z 任取任取 及及 , 0Dz 0,zDz ,0zz的三角形在的三角形在D內(nèi)。內(nèi)。于是頂點(diǎn)是于是頂點(diǎn)是由引理由引理2.1 dfdfdfzFzFzzzz 00)()()()()(0于是于是 000000( )-()-( -) ()( )-()zzzzF zF zz zf zf z df zd dzffzz 00)( dzffzfzzzFzFzz 00000)()()()()(由于

19、由于 在在 連續(xù)，故連續(xù)，故 使得使得 0, 0 0z)(zf .)()(,00 zfzfDzzzz于是于是 ,0)()()()(00000 zzzzzfzzzFzF 可證明可證明 ，)()( fF 又由又由 dfdffzFzFzz )(0)()()()()( dffz)()( 從而存在從而存在 ，)()(00zfzF 因此因此 是是 在在D內(nèi)的原函數(shù)。內(nèi)的原函數(shù)。 )(zF)(zf引理引理 2.3 設(shè)設(shè) 是在區(qū)域是在區(qū)域D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，并且在內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，并且在D)(zf內(nèi)有原函數(shù)內(nèi)有原函數(shù) 。如果。如果 , 并且并且C是是D內(nèi)連接內(nèi)連接 )(zFD , ,的一條曲線，那么的一條曲線，那么)

20、()()( FFdzzfC 注注1：此定理是牛頓此定理是牛頓-萊布尼茨公式的推廣。萊布尼茨公式的推廣。 注注2：上述積分值只與曲線的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)，上述積分值只與曲線的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)， 與路徑無(wú)關(guān)。與路徑無(wú)關(guān)。 注注3：此定理也適用于函數(shù)在此定理也適用于函數(shù)在D內(nèi)解析的情形。內(nèi)解析的情形。 引理引理2.2 設(shè)設(shè) 是凸區(qū)域是凸區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，那么內(nèi)的解析函數(shù)，那么( )f z( )f z 在在D內(nèi)有原函數(shù)。內(nèi)有原函數(shù)。證明：證明：若曲線是若曲線是光滑曲線光滑曲線 。 btatzzC : )(,)(bzaz，那么，那么 ( ).Cf z dzf z tzt dtFz tzt dt因?yàn)橐驗(yàn)?,并

21、且因?yàn)槲⒎e分基本并且因?yàn)槲⒎e分基本 tztzFtzFdtd 定理對(duì)實(shí)變函數(shù)復(fù)數(shù)值函數(shù)顯然成立，所以定理對(duì)實(shí)變函數(shù)復(fù)數(shù)值函數(shù)顯然成立，所以 )()()( FFazFbzFtzFdzzfbaC 若曲線是若曲線是分段光滑分段光滑的，那么把積分分成幾段計(jì)算，的，那么把積分分成幾段計(jì)算，然后求和，結(jié)果仍然成立。然后求和，結(jié)果仍然成立。 35柯西定理的證明柯西定理的證明先證先證1：在在C上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) ，可以作出圓盤(pán)，可以作出圓盤(pán) 0000 .Kz zD DC 因圓盤(pán)是凸區(qū)域，由引理因圓盤(pán)是凸區(qū)域，由引理2.2， 在在 內(nèi)有原函數(shù)內(nèi)有原函數(shù)( )f z0K0( )F z由由 C是緊集，可以找到有限個(gè)

22、圓盤(pán)覆蓋是緊集，可以找到有限個(gè)圓盤(pán)覆蓋C，把他們按，把他們按逆時(shí)針?lè)较蛞来闻帕袨槟鏁r(shí)針?lè)较蛞来闻帕袨?121,nKKK 并且用并且用 121( ),( ),( )nF z F zFz 表示表示 ，在各圓盤(pán)中原函數(shù)。，在各圓盤(pán)中原函數(shù)。( )f z3636DC取取1121232312111,nnnnnCKCKKCKKCKKCKK1 于是由引理于是由引理2.3，有，有11( )( )kknCkf z dzfd 11111,nkkkknnkFFFF 再由引理再由引理2.3，有，有11( )( )kknCkf z dzfd 因?yàn)橐驗(yàn)?構(gòu)成構(gòu)成D中一閉合折線，于中一閉合折線，于是由引理是由引理2.1的說(shuō)

23、明知（的說(shuō)明知（3.1）成立。）成立。1kk 37下證下證2： D分別內(nèi)接的兩條折線，分別內(nèi)接的兩條折線， 及及 ，使得，使得C 1C 設(shè)設(shè)C1是是D內(nèi)連接內(nèi)連接 及及 兩點(diǎn)的另一條簡(jiǎn)單曲線，兩點(diǎn)的另一條簡(jiǎn)單曲線，0zz z 0z 同同(1)的證明，可在內(nèi)作出連接的證明，可在內(nèi)作出連接 及及 ，并與，并與 及及0zzC1C11( )( ),( )( )CCCCfdfdfdfd由引理由引理2.1的說(shuō)明知，有的說(shuō)明知，有1( )( )CCfdfd C1C 38柯西定理柯西定理(1)的等價(jià)定理的等價(jià)定理( )0Cf z dz 柯西定理柯西定理 設(shè)設(shè)f (z)是單連通區(qū)域是單連通區(qū)域 D上的解析函數(shù)。

24、上的解析函數(shù)。(1) 設(shè)設(shè)C是是D內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉合曲線，那么內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉合曲線，那么這里沿這里沿C的積分是按反時(shí)針?lè)较蛉〉牡姆e分是按反時(shí)針?lè)较蛉〉?。?.1）定理定理3.1 設(shè)設(shè)C一條簡(jiǎn)單閉合曲線，一條簡(jiǎn)單閉合曲線，f (z)在以在以C為為邊界的有界閉區(qū)域上解析，那么邊界的有界閉區(qū)域上解析，那么( )0Cf z dz 這里沿這里沿C的積分是按反時(shí)針?lè)较蛉〉牡姆e分是按反時(shí)針?lè)较蛉〉摹?9定理定理3.2 設(shè)設(shè) f (z)是在單連通區(qū)域是在單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，內(nèi)的解析函數(shù)，那么那么f (z)在在D內(nèi)有原函數(shù)。內(nèi)有原函數(shù)。證明：證明：取定取定 。任取。任取 。由定理。由定理3.1 (2),

25、D zD ( )( )dzF zf 于是于是 是在是在D內(nèi)確定的函數(shù)。內(nèi)確定的函數(shù)。( )F z dfdfdfzFzFzzzz 00)()()()()(0D 0z z 取取 ，使其與，使其與 z 充分接近，充分接近，0zD 40于是于是 000000( )()() ()( )()zzzzF zF zzzf zfdf zdz dzffzz 00)(由于由于 在在 連續(xù)，故連續(xù)，故 使得使得 0, 0 0z)(zf .)()(,00 zfzfDzzzz于是于是 ,0)()()()(00000 zzzzzfzzzFzF ( )( ).Ff 與引理與引理2.2類(lèi)似可證明類(lèi)似可證明 從而存在從而存在 ，

26、)()(00zfzF 因此因此 是是 在在D內(nèi)的原函數(shù)。內(nèi)的原函數(shù)。 )(zF)(zf41結(jié)合定理結(jié)合定理3.2與引理與引理2.3，可見(jiàn)可用原函數(shù)求解析，可見(jiàn)可用原函數(shù)求解析函數(shù)的積分。函數(shù)的積分。注注:42例例1: 設(shè)設(shè)D是不含是不含 的一個(gè)單連通區(qū)域，并且的一個(gè)單連通區(qū)域，并且 ，那么，那么0, z zD 01101111zmmmzdmzz 其中其中m是不等于是不等于1的整數(shù)。的整數(shù)。另外，設(shè)另外，設(shè)D 在復(fù)平面沿從在復(fù)平面沿從 出發(fā)的任何射線割開(kāi)而得的區(qū)域，則有出發(fā)的任何射線割開(kāi)而得的區(qū)域，則有 00lnlnzzdzz 其中，對(duì)數(shù)應(yīng)理解為其中，對(duì)數(shù)應(yīng)理解為 在在 D 內(nèi)的一個(gè)解析分支在內(nèi)

27、的一個(gè)解析分支在 nLz 在在 及及 的值。其中積分曲線為簡(jiǎn)單曲線。的值。其中積分曲線為簡(jiǎn)單曲線。 0zz43柯西定理在多連通區(qū)域上的柯西定理在多連通區(qū)域上的 推廣推廣44DC1C3C2C定定 理理 (復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理) nkCCkdzzfdzzfi1)()() 設(shè)設(shè)C為多連通域?yàn)槎噙B通域D內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線，內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線， 是在是在C內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線，它們互不包含內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線，它們互不包含也也互不相交，并且以互不相交，并且以 為邊界的區(qū)域?yàn)檫吔绲膮^(qū)域全含于全含于D，如果，如果f(z)在在D內(nèi)解析，那么內(nèi)解析，那么nC,12,nC C CC,21CC 0)()dzzfii這里

28、這里C及及Ck均取正向，均取正向，為由為由C及及Ck（k=1,2, ,n）所組成）所組成的復(fù)合閉路（其方向是：的復(fù)合閉路（其方向是：C按按逆時(shí)針進(jìn)行，其余按順時(shí)針進(jìn)行）。逆時(shí)針進(jìn)行，其余按順時(shí)針進(jìn)行）。( )( )( )( )1nCCCf z dzf z dzf z dzf z dz0 1z 2z 3z 45定理定理3.1 設(shè)設(shè)C一條簡(jiǎn)單閉合曲線，一條簡(jiǎn)單閉合曲線， f (z)在以在以C為為邊界的有界閉區(qū)域上解析，那么邊界的有界閉區(qū)域上解析，那么( )0Cf z dz 這里沿這里沿C的積分是按反時(shí)針?lè)较蛉〉牡姆e分是按反時(shí)針?lè)较蛉〉摹６ǘ?理理 設(shè)有設(shè)有n+1條簡(jiǎn)單閉曲線條簡(jiǎn)單閉曲線C0， ，它

29、們，它們互不包含也互不相交，設(shè)互不包含也互不相交，設(shè)D是是 圍圍成的多連通區(qū)域，成的多連通區(qū)域，D及其邊界及其邊界 構(gòu)成構(gòu)成一個(gè)閉區(qū)域一個(gè)閉區(qū)域 。設(shè)。設(shè) f (z)在在 上解析，那么上解析，那么nC,012,nC C CC,21CC012,nC C CCDD( )0Cf z dz 其中其中C表示表示D的全部邊界。的全部邊界。46注注1：以后寫(xiě)出沿區(qū)域邊界的積分，除了特別說(shuō)明，以后寫(xiě)出沿區(qū)域邊界的積分，除了特別說(shuō)明，都是關(guān)于區(qū)域的正向取的。都是關(guān)于區(qū)域的正向取的。 注注2：以后寫(xiě)出沿簡(jiǎn)單閉曲線的積分，除了特別說(shuō)明，以后寫(xiě)出沿簡(jiǎn)單閉曲線的積分，除了特別說(shuō)明，都是按反時(shí)針?lè)较蛉〉?。都是按反時(shí)針?lè)较?/p>

30、取的。 47CDAA B BC EE FF AAEBAEBdzzf0)( BFABFAAdzzf0)(=( )d( )d( )d( )dEBBEA Af zzf zzf zzf zz( )d( )d( )d( )dFAAFB Bf zzf zzf zzf zz= 0 Cdzzf)( 0 0 0 dzzfC )( Cdzzf)(dzzfC )(C1CDC 49復(fù)合閉路定理的證明復(fù)合閉路定理的證明 C1C2C5050多連通區(qū)域內(nèi)的不定積分多連通區(qū)域內(nèi)的不定積分DC1C多連通區(qū)域內(nèi)，多連通區(qū)域內(nèi)， 0( )( )dzzF zf 是多值函數(shù)。是多值函數(shù)。 z 設(shè)設(shè) 是包含是包含 z 的一個(gè)單連通區(qū)域，

31、取曲線如下：的一個(gè)單連通區(qū)域，取曲線如下： 從從 沿一固定的簡(jiǎn)單曲線到沿一固定的簡(jiǎn)單曲線到 內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn) ，然后從，然后從 沿沿在在 內(nèi)的任一簡(jiǎn)單曲線到內(nèi)的任一簡(jiǎn)單曲線到 z。 0z1z1z沿這種曲線取積分所得的函數(shù)沿這種曲線取積分所得的函數(shù)0( )( )dzzF zf 是是 內(nèi)的單值解析函數(shù)。內(nèi)的單值解析函數(shù)。 改變從改變從 到到 的曲線，得到不同的曲線，得到不同的解析函數(shù)，它們是的解析函數(shù)，它們是F(x)在在 內(nèi)內(nèi)的不同解析分支。的不同解析分支。 0z1z 1z 0z 51例例2:在圓環(huán)在圓環(huán) 內(nèi)，內(nèi)， 12120,Dz RzRR R 1f zz 解析。解析。 yOxD在在D內(nèi)取定兩點(diǎn)內(nèi)取

32、定兩點(diǎn) 及及 。作連接此兩點(diǎn)的兩條曲線。作連接此兩點(diǎn)的兩條曲線 及及 。 0z1z1C2C1z 0z 1C2C取定取定 在在 的值為的值為 。 Argz0argz0z當(dāng)當(dāng)z沿沿C1從從 連續(xù)變動(dòng)到連續(xù)變動(dòng)到 時(shí)，時(shí)，z的的 0z1z幅角從幅角從 連續(xù)變動(dòng)到連續(xù)變動(dòng)到 。 0argz1argz于是當(dāng)于是當(dāng)z沿沿C2從從 連續(xù)變動(dòng)到連續(xù)變動(dòng)到 時(shí)，時(shí)，0z1zz的的幅角從幅角從 連續(xù)變動(dòng)到連續(xù)變動(dòng)到 。 0argz1arg2z 52iide di e d yOxD1z 0z 1C2C從而從而 111CCCddid 現(xiàn)求現(xiàn)求 沿沿 的積分。令的積分。令 ，則，則 1 1Cie 1010lnlnarg

33、argzzizz 10lnlnzz 同樣求得同樣求得 210lnln2Cdzzi 這樣，在含這樣，在含 的一個(gè)單連通區(qū)域的一個(gè)單連通區(qū)域 (在在D內(nèi)內(nèi))內(nèi)內(nèi)，相應(yīng)于，相應(yīng)于1z 及及 ，多值函數(shù)，多值函數(shù) 有兩個(gè)不同的解析分支有兩個(gè)不同的解析分支1C2C 0zzdF z 1110lnln21.kzzCzzdddzzki z 1,2k 3.2 3.2 柯西公式柯西公式534 4 柯西公式柯西公式5 5 莫雷拉定理莫雷拉定理為邊界的閉圓盤(pán)上解析。為邊界的閉圓盤(pán)上解析。由于由于 在曲線在曲線C 上上0( )f zzz 54但但I(xiàn) 的值不一定等于零。的值不一定等于零。C00( )( )CCf zf z

34、dzdzzzzz 0z 設(shè)設(shè)f (z)在以圓在以圓 0000,Cz zz連續(xù)所以下述積分存在連續(xù)所以下述積分存在, 0( )Cf zIdzzz 作以作以 為心，為心， 為半徑的圓為半徑的圓 。0z 00C C 55 Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 因?yàn)橐驗(yàn)閒 (z) 在在 z0 連續(xù)連續(xù), , 故故 上函數(shù)上函數(shù) f (z)0zz 的值將隨著的值將隨著 的減小而接近的減小而接近0().f z因此因此, 隨著隨著 的減小的減小, 應(yīng)該有應(yīng)該有而而接近于接近于dzzzzfC 0)( Cdzzzzf00)( Czzzzfizf.d)(21)( 00定定 理理 為邊界的

35、閉圓盤(pán)上解析。則為邊界的閉圓盤(pán)上解析。則設(shè)設(shè)f (z)在以圓在以圓 0000,Cz zz定定 理理4.1 設(shè)設(shè)D是以有限條簡(jiǎn)單閉曲線是以有限條簡(jiǎn)單閉曲線C (如圖如圖C為為及及 組成組成)為邊界的有界區(qū)域。為邊界的有界區(qū)域。1C2C上解析，那么在上解析，那么在 D內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn) z ,1( ) ( )d .2Cff ziz D fz設(shè)設(shè) 在在D及及 C 所所組成的閉區(qū)域組成的閉區(qū)域 Cauchy公式公式0z C1C2Cz 0CD57證明證明0000()( )()ddCCf zf zf zzzzzzz 000( )()2()d .Cf zf zif zzzz 57C0 作以作以 為心，為心，

36、為半徑的圓為半徑的圓 。0z 00C 0z C 00( )( )CCf zf zdzdzzzzz 00( )()dCf zf zzzz 5800( )()dCf zf zszz d2 .Cs 積分值值與積分值值與 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān), 所以由所以由 的任意性的任意性, 可知可知根據(jù)根據(jù)00( )()d0.Cf zf zzzz 0( )().f zf z f (z)在在z0連續(xù)連續(xù), 則則 0, 0, 存在存在 0 , 0 , 使得使得當(dāng)當(dāng) 0 時(shí)時(shí)0, zC 證明證明設(shè)設(shè) 。顯然，函數(shù)。顯然，函數(shù) 在滿(mǎn)足在滿(mǎn)足 zD fz ( )( )CCffddzz 1C2Cz 0C,Dz的點(diǎn)的點(diǎn) 處解析。處解析。

37、以以z為心作一包含在為心作一包含在 D 內(nèi)的閉圓盤(pán)，設(shè)其半徑為內(nèi)的閉圓盤(pán)，設(shè)其半徑為 ，邊界為圓，邊界為圓 。在。在 C 上，挖去以上，挖去以 為邊界的圓盤(pán)，余下的點(diǎn)集是一為邊界的圓盤(pán)，余下的點(diǎn)集是一DC 閉區(qū)域閉區(qū)域 。在。在 上，上， 以及以及D D f fz 解析，于是解析，于是 其中沿其中沿C 的積分按關(guān)于的積分按關(guān)于D 的正向取，的正向取，沿沿 的積分按反時(shí)針?lè)较蛉?。的積分按反時(shí)針?lè)较蛉　 C 2 i f z 601!( )( ),(1,2,)2()nnCnffzdniz 高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式定定 理理 4. 2 設(shè)設(shè)D是以有限條簡(jiǎn)單閉曲線是以有限條簡(jiǎn)單閉曲線C (如圖如圖C為為及及 組成組成)為邊界的有界區(qū)域。為邊界的有界區(qū)域。1C2C fz設(shè)設(shè) 在在D及及 CD所所組成的閉區(qū)域組成的閉區(qū)域 意階導(dǎo)數(shù)，并且在意階導(dǎo)數(shù)，并且在 D內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn) z ,上解析，那么上解析，那么 在在 D內(nèi)有任內(nèi)有任 f z1C2Cz 0C1( )()d .2Cff zhizh +61 可知可知Dz Czh 所以應(yīng)用所以應(yīng)用證明證明 首先考慮首先考慮n=1的情形的情形. 因?yàn)橐驗(yàn)?,故當(dāng)故當(dāng) |