1、31.2函數(shù)的表示法(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)的三種表示法及各自的優(yōu)缺點(diǎn).2.掌握求函數(shù)解析式的常見(jiàn)方法.3.嘗試作圖并從圖象上獲取有用的信息知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的表示方法思考函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點(diǎn)？答案1任何一個(gè)函數(shù)都可以用解析法表示()2任何一個(gè)函數(shù)都可以用圖象法表示()3函數(shù)f(x)2x1不能用列表法表示()4函數(shù)的圖象一定是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)()一、函數(shù)的表示方法例1某商場(chǎng)新進(jìn)了10臺(tái)彩電，每臺(tái)售價(jià)3 000元，試求售出臺(tái)數(shù)x(x為正整數(shù))與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來(lái)解(1)列表法：x/臺(tái)12345678910y/元3 0006 0009 00012 00015

2、 00018 00021 00024 00027 00030 000(2)圖象法：如圖所示(3)解析法：y3 000 x，x1,2,3，10反思感悟應(yīng)用函數(shù)三種表示方法應(yīng)注意以下三點(diǎn)(1)解析法必須注明函數(shù)的定義域；(2)列表法必須羅列出所有的自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(3)圖象法必須清楚函數(shù)圖象是“點(diǎn)”還是“線(xiàn)”跟蹤訓(xùn)練1由下表給出函數(shù)yf(x)，則f(f(1)等于()x12345y45321A.1 B2 C4 D5答案B解析由題中表格可知f(1)4，所以f(f(1)f(4)2.二、求函數(shù)解析式例2求下列函數(shù)的解析式：(1)已知函數(shù)f(eq r(x)1)x2eq r(x)，求f(x)；(2)

3、已知函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，且f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)解(1)方法一(換元法)設(shè)teq r(x)1，則x(t1)2(t1)f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21，f(x)x21(x1)方法二(配湊法)x2eq r(x)(eq r(x)22eq r(x)11(eq r(x)1)21，f(eq r(x)1)(eq r(x)1)21(eq r(x)11)，f(x)x21(x1)(2)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)f(0)1，c1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，整理，得2ax(ab)2x.由恒等式的性質(zhì)，知上式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相

4、等，eq blcrc (avs4alco1(2a2，,ab0，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1，)f(x)x2x1.反思感悟求函數(shù)解析式的常用方法(1)換元法(有時(shí)可用“配湊法”)：已知函數(shù)f(g(x)的解析式求f(x)的解析式可用換元法(或“配湊法”)，即令g(x)t，反解出x，然后代入f(g(x)中求出f(t)，從而求出f(x)(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類(lèi)型，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類(lèi)型設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件列方程(組)，通過(guò)解方程(組)求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式跟蹤訓(xùn)練2(1)已知f(x22)x44x2，則f(x)的解析式為_(kāi)答案f(x)x24

5、(x2)解析因?yàn)閒(x22)x44x2(x22)24，令tx22(t2)，則f(t)t24(t2)，所以f(x)x24(x2)(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x)4x1，則f(x)_.答案2xeq f(1,3)或2x1解析因?yàn)閒(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)axb(a0)，則f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb.又因?yàn)閒(f(x)4x1，所以a2xabb4x1.所以eq blcrc (avs4alco1(a24，,abb1，)解得eq blcrc (avs4alco1(a2，,bf(1,3)或eq blcrc (avs4alco1(a2，,b1.)所以f(x)2xeq f(

6、1,3)或f(x)2x1.三、函數(shù)的圖象例3作出下列函數(shù)的圖象(1)y2x1，x0,2；(2)yeq f(2,x)，x2，)；(3)yx22x，x2,2解(1)當(dāng)x0,2時(shí)，圖象是直線(xiàn)y2x1的一部分(2)當(dāng)x2，)時(shí)，圖象是反比例函數(shù)yeq f(2,x)的一部分(3)當(dāng)2x2時(shí)，圖象是拋物線(xiàn)yx22x的一部分延伸探究根據(jù)作出的函數(shù)圖象求其值域解觀察圖象可知：(1)中函數(shù)的值域?yàn)?,5(2)中函數(shù)的值域?yàn)?0,1(3)中函數(shù)的值域?yàn)?,8反思感悟作函數(shù)yf(x)圖象的方法(1)若yf(x)是已學(xué)過(guò)的函數(shù)，則描出圖象上的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，直接畫(huà)出圖象即可，有些可能需要根據(jù)定義域進(jìn)行取舍(2)若yf(x

7、)不是所學(xué)過(guò)的函數(shù)之一，則要按：列表；描點(diǎn)；連線(xiàn)三個(gè)基本步驟作出yf(x)的圖象跟蹤訓(xùn)練3作出下列函數(shù)的圖象：(1)y1x(xZ)；(2)yx24x3，x1,3解(1)因?yàn)閤Z，所以圖象為直線(xiàn)y1x上的孤立點(diǎn)，其圖象如圖所示(2)yx24x3(x2)21，當(dāng)x1,3時(shí)，y0；當(dāng)x2時(shí)，y1，其圖象如圖所示函數(shù)圖象的應(yīng)用典例(1)已知f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的定義域?yàn)開(kāi)，值域?yàn)開(kāi)考點(diǎn)函數(shù)圖象題點(diǎn)函數(shù)圖象的應(yīng)用答案2,45,84,3解析函數(shù)的定義域?qū)?yīng)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值集合，值域?qū)?yīng)縱坐標(biāo)的取值集合(2)若函數(shù)f(x)x24x3(x0)的圖象與ym有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍考點(diǎn)

8、函數(shù)圖象題點(diǎn)函數(shù)圖象的應(yīng)用解f(x)x24x3(x0)的圖象如圖，f(x)的圖象與直線(xiàn)ym有2個(gè)不同交點(diǎn)，由圖易知10，t為不超過(guò)t的最大整數(shù)，則從甲市到乙市5.5 min的電話(huà)費(fèi)為()A5.04元 B5.43元 C5.83元 D5.38元答案A解析依題意知g(5.5)1.06(0.7551)5.0355.04，故選A.4如果f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq f(x,1x)，則當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)等于()A.eq f(1,x) B.eq f(1,x1) C.eq f(1,1x) D.eq f(1,x)1考點(diǎn)求函數(shù)的解析式題點(diǎn)換元法求函數(shù)解析式答案B解析令eq f

9、(1,x)t，則xeq f(1,t)，代入f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq f(x,1x)，則有f(t)eq f(f(1,t),1f(1,t)eq f(1,t1)，故f(x)eq f(1,x1).故選B.5函數(shù)yeq f(x,1x)的大致圖象是()考點(diǎn)函數(shù)圖象題點(diǎn)求作或判斷函數(shù)的圖象答案A解析方法一yeq f(x,1x)的定義域?yàn)閤|x1，排除C，D，當(dāng)x0時(shí)，y0，排除B.方法二yeq f(x,1x)1eq f(1,x1)，由函數(shù)的平移性質(zhì)可知A正確6已知函數(shù)f(x)xeq f(m,x)，且此函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(5,4)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)答案5解析將點(diǎn)(5,4)代入f

10、(x)xeq f(m,x)，得m5.7某航空公司規(guī)定，乘客所攜帶行李的重量x(kg)與其運(yùn)費(fèi)y(元)由如圖的一次函數(shù)圖象確定，那么乘客可免費(fèi)攜帶行李的最大重量為_(kāi)kg.答案19解析設(shè)一次函數(shù)解析式為yaxb(a0)，代入點(diǎn)(30,330)與點(diǎn)(40,630)得eq blcrc (avs4alco1(33030ab，,63040ab，)解得eq blcrc (avs4alco1(a30，,b570.)即y30 x570，若要免費(fèi)，則y0，所以x19.8已知a，b為常數(shù)，若f(x)x24x3，f(axb)x210 x24，則5ab_.答案2解析f(x)x24x3，f(axb)(axb)24(axb

11、)3a2x2(2ab4a)xb24b3x210 x24，eq blcrc (avs4alco1(a21，,2ab4a10，,b24b324，)eq blcrc (avs4alco1(a1，,b3)或eq blcrc (avs4alco1(a1，,b7.)5ab2.9.如圖所示，有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮，將其四角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形，然后折成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，寫(xiě)出此盒子的體積V以x為自變量的函數(shù)式，并指明這個(gè)函數(shù)的定義域解由題意可知該盒子的底面是邊長(zhǎng)為(a2x)的正方形，高為x，所以此盒子的體積V(a2x)2xx(a2x)2，其中自變量x應(yīng)滿(mǎn)足eq blcrc (avs4alco1(a2

12、x0，,x0，)即0 xeq f(a,2).所以此盒子的體積V以x為自變量的函數(shù)式為Vx(a2x)2，定義域?yàn)閑q blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2).10畫(huà)出函數(shù)f(x)x22x3的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：(1)比較f(0)，f(1)，f(3)的大小；(2)若x1x21，比較f(x1)與f(x2)的大??；(3)求函數(shù)f(x)的值域考點(diǎn)函數(shù)圖象題點(diǎn)函數(shù)圖象的應(yīng)用解函數(shù)f(x)x22x3的定義域?yàn)镽，列表：x1013y0340描點(diǎn)，連線(xiàn)，得函數(shù)圖象如圖：(1)根據(jù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)f(0)3，f(1)4，f(3)0，所以f(3)f(0)f(1)(2)根據(jù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)x1x

13、21時(shí)，有f(x1)f(x2)(3)根據(jù)圖象，可以看出函數(shù)的圖象是以(1,4)為頂點(diǎn)，開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，因此，函數(shù)的值域?yàn)?，411若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,6)和B(2,8)，則該函數(shù)的圖象還經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，5) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，4)C(1,3) D(2,1)答案A解析設(shè)一次函數(shù)的解析式為ykxb(k0)，則該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,6)和B(2,8)，得eq blcrc (avs4alco1(kb6，,2kb8，)解得eq blcrc (avs4alco1(k2，,b4，)所以此

14、函數(shù)的解析式為y2x4，只有A選項(xiàng)的坐標(biāo)符合此函數(shù)的解析式故選A.12設(shè)函數(shù)f eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,x)2x1，則f(x)的表達(dá)式為()A.eq f(1x,1x)(x1) B.eq f(1x,x1)(x1)C.eq f(1x,1x)(x1) D.eq f(2x,x1)(x1)答案B解析令1eq f(1,x)t，則t1，xeq f(1,t1)，t1，f(t)eq f(2,t1)1eq f(1t,t1)，t1，f(x)eq f(1x,x1)(x1)，故選B.13已知函數(shù)F(x)f(x)g(x)，其中f(x)是x的正比例函數(shù)，g(x)是x的反比例函數(shù)，且Feq blc

15、(rc)(avs4alco1(f(1,3)16，F(xiàn)(1)8，則F(x)的解析式為_(kāi)答案F(x)3xeq f(5,x)(x0)解析設(shè)f(x)kx(k0)，g(x)eq f(m,x)(m0，且x0)，則F(x)kxeq f(m,x).由Feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)16，F(xiàn)(1)8，得eq blcrc (avs4alco1(f(1,3)k3m16，,km8，)解得eq blcrc (avs4alco1(k3，,m5，)所以F(x)3xeq f(5,x)(x0)14已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出：則滿(mǎn)足f(g(x)g(f(x)的x的值為_(kāi).x1234f(x)131

16、3g(x)3232考點(diǎn)函數(shù)的表示法題點(diǎn)函數(shù)的表示法答案2或4解析當(dāng)x1時(shí)，f(g(1)f(3)1，g(f(1)g(1)3.當(dāng)x2時(shí)，f(g(2)f(2)3，g(f(2)g(3)3.當(dāng)x3時(shí)，f(g(3)f(3)1，g(f(3)g(1)3.當(dāng)x4時(shí)，f(g(4)f(2)3，g(f(4)g(3)3.滿(mǎn)足f(g(x)g(f(x)的x的值只有2或4.15已知f(x)3f(x)2x1，則f(x)的解析式是_考點(diǎn)求函數(shù)的解析式題點(diǎn)方程組法求函數(shù)解析式答案f(x)xeq f(1,4)解析因?yàn)閒(x)3f(x)2x1，所以把中的x換成x，得f(x)3f(x)2x1.由解得f(x)xeq f(1,4).16某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品時(shí)的能耗y與產(chǎn)品件數(shù)x之間的關(guān)系式為yaxeq f(b,x).且當(dāng)x2時(shí)，y100；當(dāng)x7時(shí)，y35.且此產(chǎn)品生產(chǎn)件數(shù)不超過(guò)20件(1)寫(xiě)出函數(shù)y關(guān)于x的解析式；(2)用列表法表示此函數(shù)，并畫(huà)出圖象解(1)將eq blcrc (avs4alco1(x2，,y100)與eq blcrc (avs4alco1(x7，,y35)代入yaxeq f(b,x)中，得eq blcrc (avs4alco1(2af(b,2)100，,7af(b