1、第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（共2課時）（第1課時）本節(jié)內(nèi)容是普通高中課程標準實驗教科書（人民教育出版社A版教材）高中數(shù)學必修5第三章第一節(jié)不等關系與不等式第2課時的內(nèi)容，主要講解不等關系及不等式的性質(zhì)及其運用；現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，數(shù)學中，我們用不等式來表示不等關系。不等式的性質(zhì)是解決不等式問題的基本依據(jù)，凡是不等式的變形、運算都要嚴格按照不等式的性質(zhì)進行。因此，不等式的性質(zhì)是學習本章后續(xù)內(nèi)容和選修4-5不等式選講的重要保障；本節(jié)通過類比等式的性質(zhì)，猜想并證明不等式的性質(zhì)，并用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式，是體會化歸與轉化，類比等數(shù)學思想，和

2、培養(yǎng)學生數(shù)學運算能力，邏輯推理能力的良好素材。在高中數(shù)學中，不等式的地位不僅特殊，而且重要，它與高中數(shù)學幾乎所有章節(jié)都有聯(lián)系，尤其與函數(shù)、方程等聯(lián)系緊密，因此，不等式才成為高考中經(jīng)久不衰的熱點、重點，有時也是難點課程目標學科素養(yǎng)A.通過具體情景，讓學生感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在的不等關系，理解和掌握列不等式的步驟； B.能靈活用作差法比較兩個數(shù)與式的大小，提高數(shù)學運算能力；C. 培養(yǎng)學生觀察、類比、辨析、運用的綜合思維能力，體會化歸與轉化、類比等數(shù)學思想，提高學生數(shù)學運算和邏輯推理能力；1.數(shù)學抽象：在實際問題中發(fā)現(xiàn)不等關系，并表示出不等關系；2.邏輯推理：作差法的原理；3.數(shù)學運算：用作

3、差法比較大?。?.直觀想象：在幾何圖形中發(fā)現(xiàn)不等式；5.數(shù)學建模：能夠在實際問題中構建不等關系，解決問題；1.教學重點：將不等關系用不等式表示出來，用作差法比較兩個式子大?。?.教學難點： 在實際情景中建立不等式(組)，準確用作差法比較大小；多媒體教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標情景引入，溫故知新（一）、情境導學1.購買火車票有一項規(guī)定：隨同成人旅行，身高超過1.1 m(含1.1 m)而不超過1.5 m的兒童，享受半價客票、加快票和空調(diào)票(簡稱兒童票)，超1.5 m時應買全價票每一成人旅客可免費攜帶一名身高不足1.1米的兒童，超過一名時，超過的人數(shù)應買兒童票從數(shù)學的角度，應如何理解和表示“不超

4、過”“超過”呢？2.展示新聞報道：明天白天廣州的最低溫度為18，白天最高溫度為30。師：明天白天廣州的溫度t滿足怎樣的不等關系？生：t大于或等于18小于或等于30老師引出課題板書：不等關系與不等式師：常見的不等號有？生：大于（），小于（），大于或等于（），小于或等于（），不等于（）。老師總結板書：不等式的定義：用不等號(,)表示不等關系的式子叫做不等式。1.師：你能用數(shù)學表達式表示情景中的不等關系嗎？2.師：兩個指示標志分別表示什么意思？ 生：速度大于或等于80，高度小于或等于4.53.師：在這兩則報道中，同學們都準確的描述出蘊含的不等關系。師：你能舉出生活中含有不等關系的例子嗎？生： 師：不

5、等關系用什么表示？生：不等式（二）、探索新知探究一 用不等式表示不等關系例1.某鋼鐵廠要把長度為4 000 mm的鋼管截成500 mm和600 mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600 mm鋼管的數(shù)量不能超過500 mm鋼管的3倍試寫出滿足上述所有不等關系的不等式教師引導學生共同：分析應先設出相應變量，找出其中的不等關系，即兩種鋼管的總長度不能超過4 000 mm；截得600 mm鋼管的數(shù)量不能超過500 mm鋼管數(shù)量的3倍；兩種鋼管的數(shù)量都不能為負于是可列不等式組表示上述不等關系解析設截得500 mm的鋼管x根，截得600 mm的鋼管y根，依題意，可得不等式組：eq blc(avs4alco1(50

6、0 x600y4 000,3xy,x0,y0)，即eq blc(avs4alco1(5x6y40,3xy,x0,y0).歸納總結;用不等式(組)表示實際問題中不等關系的步驟：審題通讀題目，分清楚已知量和待求量，設出待求量找出體現(xiàn)不等關系的關鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等列不等式組：分析題意，找出已知量和待求量之間的約束條件，將各約束條件用不等式表示跟蹤訓練：1.某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本根據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2 000本，若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元？2某工廠

7、在招標會上，購得甲材料x t，乙材料y t，若維持工廠正常生產(chǎn)，甲、乙兩種材料總量至少需要120 t，則x、y應滿足的不等關系是()Axy120 BxyNBMNCM0，MN，故選A2.比較x2y21與2(xy1)的大小；3.設aR且a0，比較a與eq f(1,a)的大小解析2. x2y212(xy1)x22x1y22y2(x1)2(y1)210，x2y212(xy1)3.由aeq f(1,a)eq f(a1a1,a)當a1時，aeq f(1,a)；當1a0或a1時，aeq f(1,a)；當a1或0a1時，aeq f(1,a).通過生活中熟悉的情景，引導學生發(fā)現(xiàn)不等關系，并學會運用不等式（組）表

8、示不等關系；培養(yǎng)學生數(shù)學建模的核心素養(yǎng)；由典型問題的分析解決，體會建立不等式（組）的一般方法和難點所在；培養(yǎng)和提升學生運用數(shù)學眼光分析表達問題的能力，發(fā)展數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)用數(shù)學語言表示不等關系。通過練習鞏固分析表達不等關系，教會學生解決和研究問題，提升數(shù)學抽象能力。復習作差比較法，代數(shù)式大小的方法，理解作差法的原理，通過練習達到靈活運用；通過練習鞏固作差法，發(fā)展學生數(shù)學運算素養(yǎng)，提供運算的準確性、靈活性和速度。三、達標檢測1.完成一項裝修工程,請木工需付工資每人500元,請瓦工需付工資每人400元,現(xiàn)有工人工資預算20 000元,設木工x(x0)人,瓦工y(y0)人,則關于工資x,

9、y滿足的不等關系是()A.5x+4yBB.A0,所以AB,故選A.【答案】A3.已知甲、乙兩種食物的維生素A,B含量如下表:設用x kg的甲種食物與y kg的乙種食物配成混合食物,并使混合食物內(nèi)至少含有56 000單位的維生素A和63 000 單位的維生素B.試用不等式組表示x,y所滿足的不等關系.【解析】由題意知x kg的甲種食物中含有維生素A 600 x單位,含有維生素B 800 x單位,y kg的乙種食物中含有維生素A 700y單位,含有維生素B 400y單位,則x kg的甲種食物與y kg的乙種食物配成的混合食物總共含有維生素A(600 x+700y)單位,含有維生素B (800 x+

10、400y)單位,則有600 x+700y56 000,800 x+400y63 000,x0,y0,即6x+7y560,4x+2y315,x0,y0.4.將一個三邊長度分別為5,12,13的三角形的各邊都縮短x,構成一個鈍角三角形,試用不等式(組)表示x應滿足的不等關系. 【解析】各邊都縮短x后,長度仍然為正數(shù),只要最短邊大于零即可,因此5-x0.而要構成三角形,還要滿足(5-x)+(12-x)13-x.當三角形是鈍角三角形時,應使最大角是鈍角,此時只需最長邊所對的角是鈍角即可,因此(5-x)2+(12-x)20,(5-x)+(12-x)13-x,(5-x)2+(12-x)20,所以2x2+3

11、x+2.(2)(a+2)-31-a=(a+2)(1-a)-31-a=-a2-a-11-a=a2+a+1a-1.由于a2+a+1=a+122+34340,所以當a1時,a2+a+1a-10,即a+231-a;當a1時,a2+a+1a-10,即a+21時,a+231-a; 當a1時,a+2,b，那么ab是 ；如果ab_abbb,a-b0.由正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù),得-(a-b)0.即b-a0,ba.同理可證,如果bb.跟蹤訓練.1.與m(n-2)2等價的是().A.m(n-2)2 B.(n-2)2m C.(n-2)2m D.(n-2)2b,bcac變形ab,bcac; ab,bcaba+cb+c變形a

12、ba+c0,a+cb+c.(4)乘法法則 文字語言不等式的兩邊都乘同一個正數(shù)時,不等號的方向不變;都乘同一個負數(shù)時,不等號的方向一定要改變.符號語言ab,c0acbcab,c0ac0acbc；ab,c0acbca0acbc；ab,cbcab,c0acbc；ab,cb,a-b0.根據(jù)同號相乘得正,異號相乘得負,得當c0時,(a-b)c0,即acbc;當c0時,(a-b)c0,即acbc ab.2.acbcab,c0或ab,cb,cda+cb+d變形ab,cda+cba+cb+ccdb+cb+da+cb+d.歸納總結：1 .此性質(zhì)可以推廣到任意有限個同向不等式的兩邊分別相加,即兩個或兩個以上的同向

13、不等式兩邊分別相加,所得不等式與原不等式同向.2.兩個同向不等式只能兩邊同時分別相加,而不能兩邊同時分別相減.3.該性質(zhì)不能逆推,如a+cb+d ab,cd.(6)乘法單調(diào)性 文字語言兩邊都是正數(shù)的兩個同向不等式相乘,所得的不等式與原不等式同向.符號語言ab0,cd0acbd作用兩個不等式相乘的變形證明:ab0,c0,acbc.cd0,b0,bcbd.acbd.歸納總結：1. 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘,這就是說,兩個或更多個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘,所得不等式與原不等式同向.2.ab0,cd0acbd;ab0,cdbd.3.該性質(zhì)不能逆推,如

14、acbd ab,cd.(7)正值不等式可乘方 文字語言當不等式的兩邊都是正數(shù)時,不等式兩邊同時乘方所得的不等式與原不等式同向.符號語言ab0anbn(nN,且n1)作用不等式兩邊的乘方變形性質(zhì)(7)可看作性質(zhì)(6)的推廣:當n是正奇數(shù)時,由ab可得anbn.跟蹤訓練：1. 給出下列結論：若acbc，則ab；若ab，則ac2bc2；若eq f(1,a)eq f(1,b)b；若ab，cd，則acbd；若ab，cd，則acbd.其中正確結論的序號是_.解析當c0時，由acbcab，當cbcab，故錯當c0時，由abac2bc2，當c0時，由ab eq o(,/) ac2bc2，故錯eq f(1,a)

15、eq f(1,b)0，a0，b0，eq f(1,a)abeq f(1,b)ab，即bb，故正確cd，cb，兩不等式不等號的方向不同，不能相加，acbd錯誤eq blc rc(avs4alco1(ab0,cd0)acbd，eq blc rc(avs4alco1(0ab,0cd)acb0,0cd) eq o(,/) acbd，eq blc rc(avs4alco1(0ab,cd0) eq o(,/) acbd.反思利用不等式性質(zhì)判斷不等式是否成立的方法:(1)運用不等式的性質(zhì)判斷.要注意不等式成立的條件,不要弱化條件,尤其是不能憑想象捏造性質(zhì).(2)特殊值法.取特殊值時,要遵循如下原則:一是滿足題

16、設條件;二是取值要簡單,便于驗證計算.典例解析：用不等式的性質(zhì)證明不等式例1已知ab0，cd0，eeq f(e,bd).解析cdd0，又ab0，a(c)b(d)0，即acbd0，0eq f(1,ac)eq f(1,bd)，又eeq f(e,bd).跟蹤訓練：1若bcad0，bd0，求證：eq f(ab,b)eq f(cd,d).解析：bcad0，adbc，adbdbcbd，bd0，eq f(1,bd)0，eq f(adbd,bd)eq f(bcbd,bd)，eq f(ab,b)eq f(cd,d).歸納總結：利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式解決

17、此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準確地加以應用(2)應用不等式的性質(zhì)進行推導時，應注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質(zhì)與法則典例解析：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍例2已知eq f(,2)eq f(,2)，求eq f(,2)，eq f(,2)的范圍解析eq f(,2)eq f(,2)，eq f(,4)eq f(,2)eq f(,4)，eq f(,4)eq f(,2)eq f(,4).兩式相加，得eq f(,2)eq f(,2)eq f(,2).eq f(,4)eq f(,2)eq f(,4)，eq f(,4)eq f(,

18、2)eq f(,4)，eq f(,2)eq f(,2)eq f(,2).又，eq f(,2)0.eq f(,2)eq f(,2)0.規(guī)律總結：求取值范圍的問題要注意解題方法是否符合不等式的性質(zhì)，是否使范圍擴大或縮小跟蹤訓練1.已知1a2,3b4，求下列各式的取值范圍：(1)2ab；(2)ab；(3)eq f(a,b).解析(1)1a2，22a4，3b4，52ab8；(2)3b4，4b3，又1a2，3ab1；(3)3b4，eq f(1,4)eq f(1,b)eq f(1,3)，又1a2，eq f(1,4)eq f(a,b)eq f(2,3).通過學生熟悉的等式性質(zhì)出發(fā)，設問，引導學生類比發(fā)現(xiàn)不等

19、的性質(zhì)，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)；用數(shù)學語言表示不等式的性質(zhì)。由不等式七個性質(zhì)的分析與證明，體會證明不等式的基本方法；培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)及時歸納總結，引導學生準確理解和運用不等式的性質(zhì)，培養(yǎng)思維的嚴謹性；通過練習鞏固不等式的性質(zhì)，發(fā)展學生邏輯推理，提高思維的靈活性和速度。通過典型例題的解析和跟蹤練習，讓學生明確問題模型，發(fā)展數(shù)學建模核心素養(yǎng)。三、達標檢測1已知ab0，cd0，那么下列判斷中正確的是()AacbdC.eq f(a,d)bc解析：根據(jù)不等式的同向同正的可乘性知，B正確答案：B2若a、b、cR，且ab，則下列不等式中一定成立的是()Aabbc BacbcC.eq f(c2,ab)0 D(ab)c20