1、第2章 確定信號(hào)分析2.1信號(hào)的正交分解與頻譜分析2.2能量信號(hào)與功率信號(hào) 2.3相關(guān)函數(shù)與功率譜密度函數(shù)2.4傅立葉變換的缺乏與信號(hào)的時(shí)-頻分析法2.5窄帶系統(tǒng)與窄帶信號(hào)分析2.6復(fù)數(shù)信號(hào)與時(shí)域希爾伯特(Hilbert)變換2.7計(jì)算機(jī)仿真的普通方法習(xí)題 2.1信號(hào)的正交分解與頻譜分析2.1.1信號(hào)的正交分解假設(shè)某信號(hào)x(t)在區(qū)間(t0, t0+T)內(nèi)是分段延續(xù)的，那么x(t)可以用該區(qū)間內(nèi)的正交函數(shù)系uk(t)=u0(t)， u1(t)，中的各分量來(lái)表示。這就是信號(hào)的正交展開(kāi)。所謂正交函數(shù)系, 是指uk(t)在(t0, t0+T)范圍內(nèi)滿足： (2.1)式中，假設(shè)C=1，那么稱(chēng)uk(t)

2、為規(guī)范正交函數(shù)系。x(t)用正交函數(shù)系uk(t)可展開(kāi)為 (2.2)式中， uk(t)是正交函數(shù)系uk(t)中序號(hào)為k的函數(shù)；ak是x(t)在uk(t)上展開(kāi)的特征向量，也稱(chēng)為展開(kāi)系數(shù)，即x(t)在分量uk(t)上投影的大小。可見(jiàn)，正交展開(kāi)就是把x(t)用在正交函數(shù)系各分量上的投影來(lái)描畫(huà)。利用式(2.1)和式(2.2)可以容易地求出系數(shù)ak。將式(2.2)兩邊乘以u(píng)l(t)，并在區(qū)間(t0, t0+T)內(nèi)積分，得: (2.3)所以 (2.4)當(dāng)C=1時(shí)，有： (2.5)當(dāng)對(duì)x(t)的展開(kāi)式(2.2)取有限項(xiàng)時(shí)，會(huì)帶來(lái)一定的誤差，假設(shè)取k=N有限項(xiàng)，那么截?cái)嗾归_(kāi)式 為 (2.6)這時(shí)x(t)與

3、的均方誤差Q為 (2.7)顯然，恒有Q0。設(shè)uk(t)為規(guī)范化正交函數(shù)系，那么 (2.8)因此得： (2.9)以上不等式對(duì)任何規(guī)范正交函數(shù)系都成立，稱(chēng)為貝塞爾(Bessel)不等式。這闡明任何函數(shù)x(t)的正交展開(kāi)式中的系數(shù)的平方和總是收斂的。顯然，隨著N值的添加， 是單調(diào)增大的。當(dāng)N取足夠大時(shí)，可以使 恣意逼近于 ,那么應(yīng)有: (2.10)在這種情況下，uk(t)是完備的正交函數(shù)系，這時(shí)不需求其他不屬于uk(t)的函數(shù)來(lái)補(bǔ)充參與x(t)的準(zhǔn)確展開(kāi)。 式(2.10)稱(chēng)為完備性關(guān)系，它是描畫(huà)x(t)總能量的關(guān)系式，稱(chēng)為信號(hào)的瑞利-帕斯瓦爾(Rayleigh-Parseval)定理。該定理指出：能

4、量信號(hào)的總能量等于它的正交展開(kāi)的各項(xiàng)分量的能量之和。2.1.2信號(hào)的頻譜分析信號(hào)的傅立葉分析就是對(duì)信號(hào)用完備正交的三角函數(shù)系展開(kāi)的分析方法。傅立葉分析又稱(chēng)為信號(hào)的頻譜分析，是分析確定信號(hào)的根本方法。在“信號(hào)與系統(tǒng)課程中已學(xué)過(guò)，對(duì)周期信號(hào)x(t)，可用傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為 (2.11) (2.12)式中， T為信號(hào)x(t)的周期; cn是信號(hào)x(t)展開(kāi)后n次諧波的系數(shù); 0=2/T, 為周期信號(hào)的基波角頻率。對(duì)于非周期信號(hào)x(t)，可用傅立葉變換求出信號(hào)的頻譜密度函數(shù)X()，即 (2.13) (2.14)x(t)與X()的關(guān)系常記為其中， 符號(hào)“ 表示傅立葉變換對(duì)。傅立葉變換提供了信號(hào)的時(shí)域表示與

5、頻域表示之間的變換工具。在通訊系統(tǒng)中，為了一致描畫(huà)周期信號(hào)和非周期信號(hào)，對(duì)周期信號(hào)也同樣采用頻譜密度函數(shù)來(lái)表示。周期信號(hào)x(t)的頻譜密度函數(shù)X()可經(jīng)過(guò)式(2.11)和式(2.13)求得，即 (2.15)由式(2.15)可以看出，周期信號(hào)的頻譜密度函數(shù)是由一系列沖激離散頻譜構(gòu)成的，這些沖激位于信號(hào)基頻(0=2/T)的各次諧波處，即n0(n=0，1，2，)。為了方便計(jì)算周期信號(hào)x(t)的頻譜密度函數(shù)X()，也可將x(t)在一個(gè)周期內(nèi)截?cái)?，得到信?hào)xT(t)，然后求出xT(t)的傅立葉變換XT()，再對(duì)得到的XT()的周期進(jìn)展延拓，從而求得X()。下面引見(jiàn)這種方法。設(shè)xT(t)為x(t)在一個(gè)周

6、期內(nèi)的截?cái)嘈盘?hào)，即 (2.16)而那么有： (2.17)比較式(2.15)與式(2.17)可得: (2.18)由此可見(jiàn)，由于引入了()函數(shù)，對(duì)周期信號(hào)和非周期信號(hào)都可一致用信號(hào)的傅立葉變換(即頻譜密度函數(shù))來(lái)表示?！纠?.1】設(shè)周期矩形信號(hào)x(t)如圖2.1(a) 所示，試求其頻譜密度函數(shù)X()。解：設(shè)xT(t)為x(t)在一個(gè)周期內(nèi)的截?cái)嘈盘?hào)，如圖2.1(b) 所示，那么有XT()如圖2.1(c)所示。由式(2.17)得:假設(shè)T=2，那么有:X()如圖2.1(d)所示。圖2.1周期矩形信號(hào)及其頻譜密度函數(shù)以上討論了周期信號(hào)和非周期信號(hào)的頻譜分析方法。然而，把確定信號(hào)分為周期信號(hào)和非周期信號(hào)有

7、一定的局限性，如在通訊系統(tǒng)中，常會(huì)遇到一類(lèi)非正規(guī)信號(hào)，它是一種確定信號(hào)，由于從實(shí)際上總能找到一種函數(shù)來(lái)近似表示它，但它既不是周期信號(hào)，也不是有始有終的非周期信號(hào)，如圖2.2所示。對(duì)這類(lèi)非正規(guī)信號(hào)應(yīng)如何描畫(huà)呢? 下面將進(jìn)一步研討。圖2.2非正規(guī)信號(hào) 2.2能量信號(hào)與功率信號(hào)2.2.1能量信號(hào)與能量譜密度函數(shù)能量信號(hào)x(t)是指一個(gè)在時(shí)域上有始有終、能量有限的信號(hào)，如圖2.3所示。設(shè)x2(t)是信號(hào)在單位負(fù)載(1 電阻)上產(chǎn)生的功率，那么在dt的時(shí)間內(nèi)信號(hào)的能量為x2(t)dt， x(t)在整個(gè)時(shí)域內(nèi)的能量E為 (2.19)由上式可見(jiàn)，能量信號(hào)在全時(shí)域(t)內(nèi)平均功率為0。圖2.3能量信號(hào)設(shè)能量信

8、號(hào)x(t)的頻譜密度函數(shù)為X()，信號(hào)的能量為 (2.20) 其中: G()=|X()|2 (2.21)為能量信號(hào)的能量譜密度函數(shù)，它表示單位頻帶上的信號(hào)能量，闡明信號(hào)的能量在頻率軸上的分布情況。式(2.21)闡明，能量信號(hào)x(t)的能量譜密度函數(shù)G()等于它的頻譜密度函數(shù)X()的模平方。 式(2.20)可重新寫(xiě)為 (2.22)或 (2.23)式(2.22)和式(2.23)闡明，信號(hào)x(t)的能量為能量譜在頻域內(nèi)的積分值。式(2.22)稱(chēng)為能量信號(hào)的帕斯瓦爾(Parseval)定理。2.2.2功率信號(hào)與功率譜密度函數(shù)功率信號(hào)是指信號(hào)x(t)在時(shí)域內(nèi)無(wú)始無(wú)終，信號(hào)的能量無(wú)限，即，但平均功率有限的

9、信號(hào)，如圖2.4(a)所示。圖2.4功率信號(hào)及其截?cái)嘈盘?hào)功率信號(hào)x(t)的平均功率定義為 (2.24)式中， xT(t)是x(t)在區(qū)間T/2, T/2內(nèi)的截?cái)嘈盘?hào)，為能量信號(hào)，如圖2.4(b)所示。式(2.24)闡明，功率信號(hào)x(t)的平均功率可用由截?cái)嘈盘?hào)xT(t)在區(qū)間T/2, T/2內(nèi)的平均功率求極限的方法得到。周期信號(hào)是無(wú)始無(wú)終的，它在整個(gè)時(shí)域內(nèi)能量無(wú)限，而功率有限，因此周期信號(hào)是典型的功率信號(hào)。設(shè)周期信號(hào)的周期為T(mén)0，那么其平均功率表示為 (2.25)式(2.25)闡明，周期信號(hào)的平均功率可在信號(hào)的一個(gè)周期內(nèi)求平均得到。功率信號(hào)常用信號(hào)的功率譜來(lái)描畫(huà)。設(shè)功率信號(hào)x(t)的截?cái)嘈盘?hào)x

10、T(t)的頻譜密度函數(shù)為XT()，由式(2.22)所示的能量信號(hào)的帕斯瓦爾定理, 有 (2.26)將式(2.26)代入式(2.24)，得功率信號(hào)x(t)的平均功率為 (2.27)其中: (2.28)為功率信號(hào)x(t)的功率譜，它為單位頻帶上的信號(hào)功率，表示信號(hào)功率在頻率軸上的分布情況。由式(2.27)得： (2.29)式(2.29)闡明，信號(hào)x(t)的功率為功率譜在頻域內(nèi)的積分值。對(duì)于功率信號(hào)中的典型信號(hào)周期信號(hào)，其功率譜可利用以上方法求得。設(shè)周期信號(hào)x(t)的周期為T(mén)0， xT(t)為x(t)的截?cái)嘈盘?hào)，其頻譜密度函數(shù)為XT()。 xT(t)可視為x(t)與矩形窗函數(shù)的乘積，即 (2.30)

11、 (2.31)根據(jù)頻域卷積定理，有： (2.32)式中， X()為x(t)的傅立葉變換， Frect()是窗函數(shù)rect()的傅立葉變換，分別為 (2.33) (2.34)式中， ，為周期信號(hào)x(t)的傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。將式(2.33)和式(2.34)代入式(2.32)中，得: (2.35)而 (2.36) 當(dāng)T時(shí)，有: (2.37)將式(2.37)代入式(2.36)得: (2.38)將式(2.38)代入式(2.28)，得信號(hào)的功率譜為 (2.39)由于，所以式(2.39)為 (2.40)可見(jiàn)，周期信號(hào)的功率譜密度函數(shù)是由一系列離散沖激組成的，它們分別出如今x(t)的基波分量的各次諧波上。假設(shè)

12、將P()在全頻域上積分，就可得到信號(hào)的功率，即 (2.41)式(2.41)稱(chēng)為功率信號(hào)的帕斯瓦爾(Parseval)定理。2.3相關(guān)函數(shù)與功率譜密度函數(shù)2.3.1能量信號(hào)的相關(guān)函數(shù)設(shè)信號(hào)x1(t)和x2(t)都為能量信號(hào)，那么定義它們的相互關(guān)函數(shù)R12()為 (2.42)假設(shè)x1(t)=x2(t)=x(t)，那么定義 (2.43)為x(t)的自相關(guān)函數(shù)。【例2.2】設(shè)x1(t)、 x2(t)如圖2.5(a)、(b)所示，試求兩信號(hào)的相互關(guān)函數(shù)R12()。解：由圖可見(jiàn)， x1(t)和x2(t)的表示式分別為根據(jù)相互關(guān)函數(shù)的計(jì)算式(2.42)， R12()為0時(shí)， x2(t+)是x2(t)在t軸上

13、向左移的結(jié)果。所以乘積x1(t)x2(t+)存在的積分區(qū)間為t=0到t=a，如圖2.5(c)所示，于是有：同理， 0時(shí)有：求解過(guò)程如圖2.5(d)所示。 x1(t)與x2(t)的相互關(guān)函數(shù)R12()在區(qū)間a, a上，結(jié)果如圖2.5(e)所示。圖2.5相互關(guān)函數(shù)的求解過(guò)程【例2.3】x(t)如圖2.6(a)所示，試求x(t)的自相關(guān)函數(shù)R()。 解：x(t)為一矩形脈沖，其表示式為 求解自相關(guān)函數(shù)R()的步驟與例2.2一樣，關(guān)鍵在于確定x(t)x(t+)的積分區(qū)間。0時(shí)有：0時(shí)有：R()的求解過(guò)程如圖2.6(b)、(c)所示， R()曲線如圖2.6(d)所示。圖2.6自相關(guān)函數(shù)的求解過(guò)程相關(guān)函數(shù)

14、的積分運(yùn)算與卷積積分運(yùn)算的主要區(qū)別如下：(1) 卷積運(yùn)算是無(wú)序的，即x1(t)*x2(t)=x2(t)*x1(t)；相關(guān)函數(shù)的積分運(yùn)算是有序的，即R12()R21()。由式(2.42)有: (2.44)(2) 對(duì)于同一個(gè)時(shí)間位移值，相關(guān)運(yùn)算與卷積運(yùn)算中位移函數(shù)的挪動(dòng)方向是相反的。(3) 卷積是求解信號(hào)經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)輸出的方法，而相關(guān)是信號(hào)檢測(cè)和提取的方法。這在以后章節(jié)中會(huì)進(jìn)一步討論。(4) 當(dāng)信號(hào)x(t)經(jīng)過(guò)一個(gè)線性系統(tǒng)時(shí)，假設(shè)系統(tǒng)的沖激呼應(yīng)h(t)=x(t)，那么系統(tǒng)對(duì)x(t)的輸出呼應(yīng)為x(t)*h(t)=R()，即系統(tǒng)的沖激呼應(yīng)是輸入信號(hào)x(t)的鏡像函數(shù)x(t)時(shí)，系統(tǒng)的輸出是輸入信號(hào)x

15、(t)的自相關(guān)函數(shù)R()。能量信號(hào)x(t)的自相關(guān)函數(shù)具有以下性質(zhì)：(1) 自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即R()=R()，由于：(2.45)(2) 當(dāng)=0時(shí)， R()就是信號(hào)的能量，即 由于R() =,令=0，顯然有。 此外， =0時(shí)，自相關(guān)函數(shù)R()取最大值，即R(0)R()，因此=0時(shí)自相關(guān)性最強(qiáng)。2.3.2能量信號(hào)的相關(guān)定理 假設(shè)能量信號(hào)x1(t)和x2(t)的頻譜分別是X1()和X2()，那么信號(hào)x1(t)和x2(t)的相互關(guān)函數(shù)R12()與X1()的共軛乘以X2()是傅立葉變換對(duì)，即 (2.46)式(2.46)稱(chēng)為能量信號(hào)的相關(guān)定理。它闡明兩個(gè)能量信號(hào)在時(shí)域內(nèi)相關(guān)，對(duì)應(yīng)頻域內(nèi)為一個(gè)信號(hào)頻譜的

16、共軛與另一信號(hào)的頻譜相乘。定理證明如下：假設(shè)x1(t)=x2(t)=x(t)，那么有FR()=X*()X()=|X()|2=G(), 即 (2.47)由式(2.47)可見(jiàn)，能量信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和能量譜密度函數(shù)是一對(duì)傅立葉變換。2.3.3功率信號(hào)的相關(guān)函數(shù)功率信號(hào)的相關(guān)函數(shù)依然用信號(hào)截?cái)嗪笄髽O限的方法得到。設(shè)x1(t)和x2(t)都為功率信號(hào)，那么它們的相互關(guān)函數(shù)定義為 (2.48)式中， T的含義與式(2.24)中一樣，為功率信號(hào)的截?cái)鄥^(qū)間。當(dāng)x1(t)=x2(t)=x(t)時(shí)，定義 (2.49)為功率信號(hào)x(t)的自相關(guān)函數(shù)。由式(2.49)可得到周期信號(hào)x(t)的自相關(guān)函數(shù)為 (2.50)

17、式中， T0為周期信號(hào)的周期?？梢钥吹?，周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)依然是周期的，且可以在一個(gè)周期內(nèi)計(jì)算得到。可以證明，功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對(duì)傅立葉變換，即 (2.51)證明：因故令t=t+，那么有:可見(jiàn), 自相關(guān)函數(shù)與功率譜是一對(duì)傅立葉變換，即 (2.52)【例2.4】試求周期信號(hào)x(t)=A cos(0t+)的功率譜。解：方法1 利用信號(hào)的傅立葉變換來(lái)求功率譜。由于由以上展開(kāi)式可知，系數(shù)Cn僅在n=1時(shí)存在，且。由式(2.40)得功率譜：方法2 利用相關(guān)函數(shù)求功率譜，周期信號(hào)的周期T0=2/0。由式(2.50)得：由式(2.52)可得：由此可見(jiàn)，兩種解法結(jié)果一樣。由可看出, 當(dāng)=0

18、時(shí), 就是周期信號(hào)x(t)的平均功率。2.4傅立葉變換的缺乏與信號(hào)的時(shí)-頻分析法假設(shè)想要了解該信號(hào)的頻率成分，即“在Hz處頻率分量的大小，那么可經(jīng)過(guò)傅立葉變換來(lái)實(shí)現(xiàn)，即式(2.13)和式(2.14)：式中，=2f, 單位為弧度/秒。將X()表示成|X()|ejj()的方式，即可得到|X()|和j()隨變化的曲線，分別稱(chēng)為x(t)的幅頻特性和相頻特性。分析式(2.13)，對(duì)給定的某一個(gè)頻率(如0)， 為求得該頻率處的傅立葉變換X(0)，該式對(duì)t的積分仍需求從到+，即需求整個(gè)x(t)的“信息；反之，假設(shè)要求出某一時(shí)辰(如t0處)的值x(t0)，由式(2.14)知，需求將X()對(duì)從至+作積分，同樣也

19、需求整個(gè)X()的“信息。實(shí)踐上，由式(2.13)所得到的傅立葉變換X()是信號(hào)x(t)在整個(gè)積分區(qū)間的時(shí)間范圍內(nèi)所具有的頻率特征的平均表示; 反之，式(2.14)也是如此。因此，傅立葉變換不具有時(shí)間和頻率的“定位功能?！纠?.5】設(shè)信號(hào)x(n)由三個(gè)不同頻率的正弦抽樣信號(hào)所組成，即 (2.53)式中， NN2N1, 321, 為抽樣信號(hào)圓周頻率(或角頻率)， =2f/fs， f是信號(hào)的實(shí)踐頻率， fs為抽樣頻率，所以的單位為弧度。角頻率變量用表示， =2f, 那么和的關(guān)系是： (2.54)x(n)的波形如圖2.7(a)所示， x(n)的傅立葉變換的幅頻特性|X(ej)|如圖2.7(b)所示。顯

20、然， |X(ej)|只給出了在1、2及3處有三個(gè)頻率分量以及這三個(gè)頻率分量的大小，但由此圖看不出x(n)在何時(shí)有頻率1，何時(shí)又有2及3，即傅立葉變換無(wú)時(shí)間定位功能。圖2.7(c)是用后面所討論的時(shí)-頻分析法求出的x(n)的結(jié)合時(shí)-頻分布。該圖是三維圖形的二維投影。在該圖中，一個(gè)軸是時(shí)間，另一個(gè)軸是頻率。由該圖可清楚地看出x(n)的時(shí)間-頻率關(guān)系。假設(shè)將圖2.7(c)畫(huà)成三維圖，那么如圖2.7(d)所示。 圖2.7信號(hào)的時(shí)-頻表示【例2.6】信號(hào):x(n)=exp(jn2)=exp(jnn)稱(chēng)做線性頻率調(diào)制信號(hào)，其頻率與時(shí)間序號(hào)n成正比。在雷達(dá)領(lǐng)域中，該信號(hào)又稱(chēng)做chirp信號(hào)。圖2.8(a)是

21、其時(shí)域波形， n=0127，圖2.8(b)是其頻譜。顯然，無(wú)論從時(shí)域波形還是從頻域波形，都很難看出該信號(hào)的調(diào)制類(lèi)型及其他特點(diǎn)。和圖2.7(c)一樣，圖2.8(c)也是x(n)的時(shí)-頻分布表示，由該圖可明顯看出，該信號(hào)的頻率與時(shí)間成正比，且信號(hào)x(n)的能量主要集中在時(shí)間-頻率平面的這一斜線上。圖2.8(d)是圖2.8(c)的立體表示。圖2.8chirp信號(hào)的時(shí)-頻表示頻率隨時(shí)間變化的信號(hào)稱(chēng)為時(shí)變信號(hào)，也稱(chēng)為“非平穩(wěn)信號(hào)；頻率不隨時(shí)間變化的信號(hào)稱(chēng)為“平穩(wěn)信號(hào)。此處的“平穩(wěn)和“不平穩(wěn)與隨機(jī)信號(hào)中的“平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)及“非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的意義不同。平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)是指該類(lèi)信號(hào)的一階及二階統(tǒng)計(jì)特征(均值與方差)

22、不隨時(shí)間變化，其自相關(guān)函數(shù)和察看的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，而非平穩(wěn)信號(hào)的均值、方差及自相關(guān)函數(shù)均與時(shí)間有關(guān)，是時(shí)變的。雖然這兩類(lèi)說(shuō)法的出發(fā)點(diǎn)不同，但本質(zhì)上非平穩(wěn)信號(hào)的頻率也是時(shí)變的，因此，把頻率隨時(shí)間變化的信號(hào)可統(tǒng)稱(chēng)為“非平穩(wěn)信號(hào)，但要說(shuō)一個(gè)信號(hào)是“平穩(wěn)信號(hào)，那么要詳細(xì)闡明所指的是頻率不隨時(shí)間變化的信號(hào)還是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。2.5窄帶系統(tǒng)與窄帶信號(hào)分析 在通訊系統(tǒng)中，為接納信號(hào)和濾除信號(hào)頻譜以外的噪聲干擾，經(jīng)常運(yùn)用帶通濾波器。假設(shè)帶通濾波器的帶寬f遠(yuǎn)小于濾波器(系統(tǒng))的中心頻率f0，即滿足ff0，那么稱(chēng)這樣的帶通濾波器為窄帶系統(tǒng)。窄帶系統(tǒng)的傳輸函數(shù)H()如圖2.9(a)所示。窄帶系統(tǒng)是通訊系統(tǒng)中廣泛運(yùn)用的線性系

23、統(tǒng)。圖2.9窄帶系統(tǒng)設(shè)窄帶系統(tǒng)的輸入信號(hào)為x(t)，沖激呼應(yīng)為h(t)，那么窄帶系統(tǒng)的輸出信號(hào)y(t)可按普通的方法從時(shí)域和頻域求解，如圖2.9(b)所示，即 (2.55)式中， Y()=X()H()為輸出信號(hào)y(t)的頻譜密度函數(shù)。2.5.1傅立葉反變換法 設(shè)知窄帶系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為H()，求解沖激呼應(yīng)h(t)的普通方法即為利用傅立葉反變換求解的方法。下面以一詳細(xì)例子來(lái)闡明?！纠?.7】知窄帶系統(tǒng)的傳輸函數(shù)H()如圖2.10(a)所示(圖中20=H0(ff0) (2.60)式中, H0(f)為H(f)的等效低通網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù), 如圖2.10(b)所示。將式(2.60)代入式(2.59)，并思索窄

24、帶系統(tǒng)的窄帶條件: H0(ff0)=0f10。要用模擬方法進(jìn)展頻譜分析，需求運(yùn)用快速傅立葉變換FFT方法。按照上面的分析可以直接調(diào)用f2t得到頻譜曲線。1. 實(shí)際分析信號(hào)的頻率 , 那么只在頻率 處有幅度為的頻譜。2. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2.14所示?？梢钥闯?，頻率中確實(shí)只需以為中心的頻率。圖2.14信號(hào)s(t)及其頻譜3. 誤差分析存在的誤差主要是采樣呵斥的。由采樣定理可知，采樣頻率fs2fmax。采樣間隔不能太小，否那么會(huì)存在頻譜混疊景象，如t=10 ms，但也不能太高，否那么會(huì)出現(xiàn)過(guò)采樣，如t=1 s(見(jiàn)圖2.15)。同時(shí)，由于截?cái)鄷?huì)呵斥頻率走漏，也使上面的結(jié)果與實(shí)際分析有差別。圖2.

25、15信號(hào)采樣誤差4. 代碼設(shè)計(jì)習(xí)題2-1試證明恣意函數(shù)f(t)總可以表示為偶函數(shù)fe(t)和奇函數(shù)fo(t)之和，即f(t)=fe(t)+fo(t)，并求函數(shù)U(t)、 et及ejt的奇偶分量。2-2證明一個(gè)偶周期性函數(shù)的指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)是實(shí)數(shù)，而一個(gè)奇周期函數(shù)的指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)是虛數(shù)。2-3證明：(1) f(t)的傅立葉變換可以表示為(2) 假設(shè)f(t)為t的偶函數(shù)，有:(3) 假設(shè)f(t)為t的奇函數(shù)，有:(4) 對(duì)普通的f(t) F()，有表E2.1所示的關(guān)系成立。2-4試分別用相關(guān)定理及卷積定理推導(dǎo)帕斯瓦爾(Parseval)定理： 2-5求圖E2.1所示的周期信號(hào)x(t)的頻譜密度函數(shù)X()及功率譜密度函數(shù)P()。圖E2.1習(xí)題2-5圖2-6試用圖解法求圖