1、角平分線性質（2）【目標導航】掌握角平分線性質判定的應用【預習引領】1、三角形的三條 的交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。2、在證明三角形的三條角平分線交于一點時，我們應先假設三角形的 條角平分線交于一點，再證明 也經(jīng)過這一點，這樣就間接證明了三角形的三條角平分線交于一點。3、如圖，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有（ ）。A、一處 B、二處 C、三處 D、四處【要點梳理】探究：如圖，已知AOB，PEOA于E，PFOB于F，若PE=PF，則P點有何位置特征。分析：由于PEOA于E，PE的長表示P到OA的距離，同理由于PF 于 ，PF

2、的長表示P到 的距離。又PE=PF，即P到 和 的距離相等，聯(lián)想到，角平分線上點到角的兩邊距離相等，因而想到連結OP，想一想，此時P點在AOB的角平分線上嗎？ （填在或不在），為什么？（請寫出證明過程）25例1已知，如圖，AB=CD，PAB和PCD面積相等，求證：OP平分AOC。例2：如圖，ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等，且P點在BAC的角平分線上。分析：由于已知BM平分 ，從而可知P到邊 、邊 距離相等，因而必須作PDAB于D，PEBC于E，得線段 =線段 。同理：已知 平分 ，從而可知P到邊 、邊 距離相等，因此必作PFAC于F。得線段 =

3、線段 。線段 =線段 =線段 。追問：（1）P也在BAC的角平分線上嗎？ 。（2）三角形的三條角平分線交于形內(nèi) 點，這點到三邊 相等。例3：已知如圖，BE平分ABC，CE平分ACD，且交BE于點E。求證：AE平分FAC。思路分析 只需證明E點到FAC兩邊距離相等即可。（如果用定義證，難以湊效）。而已知條件中有角平分線BE、CE，應考慮用角平分線的性質來證E點到FAC兩邊的距離相等?？偨Y 證明點在角平分線上，關鍵是要證明這個點到角的兩邊距離相等，即證明線段相等，常用的方法有：利用全等三角形、角平分線的性質和利用面積相等，但要特別注意的是點到角的兩邊的距離。例4：三角形三條角平分線交于一點，且這點

4、到三角形三邊距離相等。方法規(guī)律 該結論的證明揭示了三線共點的證明。思路：先設其中的兩線交于一點，再證明該點在第三線上。例5：某考古隊為進行考古研究，尋找一座古城遺跡，根據(jù)史料記載，這座古城在古戰(zhàn)道與河流之間且到古戰(zhàn)道與河流距離相等，在鳳凰山附近且距離雁塔有2000，考古隊員很快找到了這座古城的的遺址，你能用學過的知識在圖中合理標出古城遺址嗎？（比例尺為1：10000如圖所示）思路分析 設古戰(zhàn)道與河流交于點O，OA表示河流，OB表示古戰(zhàn)道，點C表示雁塔，點D表示鳳凰山。以尺規(guī)作出AOB的平分線OP。以點C為圓心，2長為半徑作圓探求M點?！菊n堂操練】1、已知ABC，在ABC內(nèi)求作一點P，使它到AB

5、C三邊的距離相等。2、如圖，AB=AC，BEAC于E，CFAB于F，BE、CF交于點D，則（1）ABEACF。（2）BDFCDE。（3）D點在BAC的平分線上，以上結論正確的是（ ）。A 只有（1） B 只有（2）C 只有（1）（2） D 只有（1）（2）（3）26【課后鞏固】1、如圖，等邊三角形的三條角平分線交于點I，點I到三個頂點的距離 。2、觀察上圖，可以發(fā)現(xiàn)等邊三角形三條角平分線、三條高、三條中線 ，并且三條角平分線的交點到三邊距離與到三頂點的距離之比是 。3、已知，如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，ABBC，ADDC，求證，點C在DAB的平分線上。4、如圖，PCOA于C，PDOB

6、于D，PC=PD，Q是OP上一點，QEOA于E，QFOB于F，求證：QE=QF。5、已知，如圖，B=C=90，M是BC中點，DM平分ADC，MEAD。求證：（1）MB=ME。（2）AM平分DAB。6、如圖，點P在ABC的平分線上，PAAB，PCCB，D為BP上一動點，則AD=CD，ADB=CDB，為什么？7、已知BP、CP是ABC的外角平分線，則點P必在BAC的平分線上。8、如圖，在ABC中，D是BC邊上的中點，DEBC交BAC的平分線于點E，EFAB于F，EGAC的延長線于G，則BF=CG，為什么？9、如圖，在ABC中，ABC=60，BAC、BCA的平分線相交于點O，求證：OE=OF。2710、如圖，四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE則B與ADC互補，為什么？11、如圖，AM是ABC的邊BC邊上的中線，ME，MF分別平分AMB、AMC，你能判斷BE+CF與EF的大小關系嗎？為什么？12、如圖，在ABC中，B=90，AB=7，BC=24，AC=25，ABC內(nèi)存在一點P到三邊距離相等，這個距離為 。13、如圖，BD=CD，BF AC于F，CE AB于E，求證：D在BAC的平分線上。【課外拓展】14、如圖所示，EG、FG分別是MEF