1、2.1 矩陣及其秩一、矩陣的概念二、矩陣的秩一 矩陣的概念如表:其記錄的是某公司各項物品的庫存量(單位:噸)： #1#2#3#4#51月份20101472142月份25321166413月份1243113500品名庫存量月份表中庫存量的數(shù)也可寫成如下數(shù)表:注意：上數(shù)表中的位置是不能互換的,每個位置具有不同的內(nèi)涵. 由 個數(shù)排成的 行 列的數(shù)表定義實際應(yīng)用：記錄線性方程組未知數(shù)的系數(shù).簡記為元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.這mn個數(shù)稱為矩陣的元素.注意：行列式表示一個數(shù)值(nn個元素) ，矩陣表示一個數(shù)表(mn個元素).例如是一個 實矩陣,是一個 復(fù)矩陣,是一個 矩陣,是

2、一個 矩陣,是一個 矩陣.如果A,B都是mn矩陣或同是n階方陣,就說A與B是同型的;如果m=n,則稱A為n階矩陣或n階方陣.幾種特殊形狀的矩陣:(1)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).稱為列矩陣(或列向量).(2)只有一列的矩陣:（3）形如 的方陣,不全為0若全為1若全為k 則稱這樣的矩陣為對角矩陣;這樣的矩陣稱為n階單位矩陣,記為En. 這樣的矩陣稱為數(shù)量矩陣, 為數(shù)字;所有的元素都是零的矩陣稱為零矩陣.二 矩 陣 的 秩 矩陣的秩是線性代數(shù)中的一個十分重要的概念, 它描述了矩陣的特征(以后說明),在以后討論線性方程組,二次型等問題中起重要的作用.例如，在34階矩陣 定義1 在矩陣Amn

3、中，任取k行, k列(kmin(m,n), 這些行列交叉處的元素按原來的順序組成一個k階行列式. 稱為矩陣Amn的k階子式.取第一,三行與第二,四兩列,就得到A的一個二階子式:矩陣Amn中k階子式共有CmkCnk個.定義2: 在mn矩陣A中,不為零的子式的最高階數(shù),稱為矩陣A的秩,記為R(A).2. 規(guī)定零矩陣的秩為零(零矩陣的各階子式全為零).注意3. 若A為n階方陣,當(dāng)R(A)=n時,稱A 為滿秩矩陣,否則稱A為降秩矩陣.例1 求矩陣的秩.解 左上角的二階子式A還有四個三階子式經(jīng)計算它們的值全部為零.根據(jù)定義知: R(A)=2.定理 mn 階矩陣A的秩為r的充分必要條件是A中至少有一個r階

4、子式不等于零,而所有的r+1階的子式都等于零.證 必要性(). 根據(jù)定義顯然成立; 充分性(). 只需說明A的k階子式(kr)全為零即可. 若A的所有r+1階子式都為零,由行列式的展開定理, A的所有r+2階子式均可由r+2個r+1階子式表出, 從而A的所有r+2階子式都為零, 因此A的所有高于r階的子式都為零, 又因為A 中至少又一個r階的子式不為零，由矩陣秩的定義. 必有R(A)=r. 解: A的左上角的三階子式不為零. 顯然A的所有四階子式全為零,故由以上定理可知R(A)=3.定理實際上給出了一個求矩陣秩的方法： 從低階到高階依次尋找不為零的子式,如果找到一個r階子式不等于零,而所有的r+1子式都等于零,則矩陣的秩就為r.例2 求下矩陣A的秩.練習(xí)解定義 設(shè)n階方陣:稱與此n階方陣相對應(yīng)的n階行列式:為方陣A的行列式,記為|A|或detA. 由矩陣秩的定義顯然可以得知