1、-. z.數列專題復習一、等差數列的有關概念：1、等差數列的判斷方法：定義法或。如設是等差數列，求證：以bn=為通項公式的數列為等差數列。2、等差數列的通項：或。如(1)等差數列中，則通項答：；2首項為-24的等差數列，從第10項起開場為正數，則公差的取值*圍是_答：3、等差數列的前和：，。如1數列中，前n項和，則，答：，；2數列的前n項和，求數列的前項和答：.4、等差中項：假設成等差數列，則A叫做與的等差中項，且。提醒：1等差數列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、及，其中、稱作為根本元素。只要這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。2為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇

2、數個數成等差，可設為，公差為；偶數個數成等差，可設為，,公差為25、等差數列的性質：1當公差時，等差數列的通項公式是關于的一次函數，且斜率為公差；前和是關于的二次函數且常數項為0.2假設公差，則為遞增等差數列，假設公差，則為遞減等差數列，假設公差，則為常數列。3當時,則有，特別地，當時，則有.如1等差數列中，則_答：27； (4) 假設、是等差數列，則、 (、是非零常數)、，也成等差數列，而成等比數列；假設是等比數列，且，則是等差數列. 如等差數列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為。答：2255在等差數列中，當項數為偶數時，；項數為奇數時，這里即；。如1在等差數列中，S11

3、22，則_答：2；2項數為奇數的等差數列中，奇數項和為80，偶數項和為75，求此數列的中間項與項數答：5；31.6假設等差數列、的前和分別為、，且，則.如設與是兩個等差數列，它們的前項和分別為和，假設，則_答：(7)“首正的遞減等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和；“首負的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組確定出前多少項為非負或非正；法二：因等差數列前項是關于的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數列的特殊性。上述兩種方法是運用了哪種數學思想？函數思想，由此你能求一般數列中的最大或最小項嗎？如1等差數列中，問此數列前多少項和最大？并求此最大值。答：

4、前13項和最大，最大值為169；2假設是等差數列，首項，則使前n項和成立的最大正整數n是答：40063在等差數列中，且，是其前項和，則A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0C、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0答：B(8)如果兩等差數列有公共項，則由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數. 注意：公共項僅是公共的項，其項數不一定一樣，即研究.二、等比數列的有關概念：1、等比數列的判斷方法：定義法，其中或。如1一個等比數列共有項，奇數項之積為100，偶數項之積為120，則為_答：；2數列中，=4+1 ()且=1，假設，求證：數列是等

5、比數列。2、等比數列的通項：或。如等比數列中，前項和126，求和.答：，或23、等比數列的前和：當時，；當時，。如1等比數列中，2，S99=77，求答：44；2的值為_答：2046；特別提醒：等比數列前項和公式有兩種形式，為此在求等比數列前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比是否為1時，要對分和兩種情形討論求解。4、等比中項：假設成等比數列，則A叫做與的等比中項。提醒：不是任何兩數都有等比中項，只有同號兩數才存在等比中項，且有兩個。如兩個正數的等差中項為A，等比中項為B，則A與B的大小關系為_答：AB提醒：1等比數列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素

6、：、及，其中、稱作為根本元素。只要這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2；2為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等比，可設為，公比為；但偶數個數成等比時，不能設為，因公比不一定為正數，只有公比為正時才可如此設，且公比為。如有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個成等比數列，且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和為12，求此四個數。答：15，,9，3,1或0,4，8,165.等比數列的性質：1當時，則有，特別地，當時，則有.如1在等比數列中，公比q是整數，則=_答：512；2各項均為正數的等比數列中，假設，則答：10。(2) 假設是等比數列，則、成等比數列；

7、假設成等比數列，則、成等比數列；假設是等比數列，且公比，則數列，也是等比數列。當，且為偶數時，數列，是常數數列0，它不是等比數列.如1且，設數列滿足，且，則. 答：；2在等比數列中，為其前n項和，假設，則的值為_答：40(3)假設，則為遞增數列；假設, 則為遞減數列；假設，則為遞減數列；假設, 則為遞增數列；假設，則為擺動數列；假設，則為常數列.(4) 當時，這里，但，是等比數列前項和公式的一個特征，據此很容易根據，判斷數列是否為等比數列。如假設是等比數列，且，則答：1(5) .如設等比數列的公比為，前項和為，假設成等差數列，則的值為_答：2(6) 在等比數列中，當項數為偶數時，；項數為奇數時

8、，.(7)如果數列既成等差數列又成等比數列，則數列是非零常數數列，故常數數列僅是此數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件。如設數列的前項和為，關于數列有以下三個命題：假設，則既是等差數列又是等比數列；假設，則是等差數列；假設，則是等比數列。這些命題中，真命題的序號是答：三、數列通項公式的求法一、公式法；等差、等比數列公式.例 數列滿足，求數列的通項公式。評注：此題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，說明數列是等差數列，再直接利用等差數列的通項公式求出，進而求出數列的通項公式。二、累加法例 數列滿足，求數列的通項公式。評注：此題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。例

9、數列滿足，求數列的通項公式。評注：此題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。三、累乘法例 數列滿足，求數列的通項公式。評注：此題解題的關鍵是把遞推關系轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。四、取倒數法例 數列中，其中，且當n2時，求通項公式。解 將兩邊取倒數得：，這說明是一個等差數列，首項是，公差為2，所以，即.五、待定系數法例 數列滿足，求數列的通項公式。評注：此題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。例 數列滿足，求數列的通項公式。評注：此題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進

10、而求出數列的通項公式，最后再求數列的通項公式。六、對數變換法例 數列滿足，求數列的通項公式。評注：此題解題的關鍵是通過對數變換把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。七、迭代法例 數列滿足，求數列的通項公式。評注：此題還可綜合利用累乘法和對數變換法求數列的通項公式。即先將等式兩邊取常用對數得，即，再由累乘法可推知，從而。八、數學歸納法例數列滿足，求數列的通項公式。解：由及，得。由此可猜想，往下用數學歸納法證明這個結論。1當時，所以等式成立。2假設當時等式成立，即，則當時，。由此可知，當時等式也成立。根據1，2可知，等式對任何都成立。九、換元

11、法例數列滿足，求數列的通項公式。解：令，則故，代入得。即因為，故則，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數列，因此，則，即，得。十、構造等差、等比數列法；.例數列中，求數列的通項公式.【解析】【反思歸納】遞推關系形如“ 適用于待定系數法或特征根法：令； 在中令，；由得，.例數列中，求數列的通項公式.【解析】，令【反思歸納】遞推關系形如“通過適當變形可轉化為：“或“求解.十一、不動點法例 數列滿足，求數列的通項公式。解：令，得，則是函數的不動點。因為，所以。評注：此題解題的關鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關系式轉化形式，從而可知數列為等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項

12、公式。四、數列求和的根本方法和技巧一、利用常用求和公式求和等差數列求和公式：2、等比數列求和公式：前個正整數的和前個正整數的平方和前個正整數的立方和公式法求和考前須知1弄準求和項數的值；2等比數列公比未知時，運用前項和公式要分類。例 ，求的前n項和.例 設Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 當 ，即n8時，二、錯位相減法求和這種方法主要用于求數列anbn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數列和等比數列.求和時一般在和式的兩邊都乘以組成這個數列的等比數列的公比；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉化為同倍數的等比數列求和。例：2009全國卷理在數列中，I設，求數列的通項公式II求

13、數列的前項和分析：I由有利用累差迭加即可求出數列的通項公式:()II由I知,=而,又是一個典型的錯位相減法模型，易得=倒序相加法求和這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列反序，再把它與原數列相加，就可以得到n個.例求證：證明： 設四、分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，假設將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.例7 求數列的前n項和：，解：設當a1時，當時，例：2010全國卷2文18本小題總分值12分是各項均為正數的等比數列，且，求的通項公式；設，求數列的前項和。五、裂項法求和這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項通項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終到達求和的目的. 通項分解裂項如：1 23 45(6) 例 求數列的前n項和.則 例在數列an中，又，求數列bn的前n項的和.解： 六、合并法求