1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2020屆甘肅省第一次高考診斷考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1已知，則（ ）ABCD【答案】D【解析】分別解出集合然后求并集.【詳解】解：， 故選：D【點(diǎn)睛】考查集合的并集運(yùn)算，基礎(chǔ)題.2已知，則（ ）A5BC13D【答案】C【解析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求，最后求即可.【詳解】解：，故選：C【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.3已知平面向量，滿足，且，則（ ）A3BCD5【答案】B【解析】先求出，再利用求出，再求.【詳解】解：由，所以，故選：B【點(diǎn)睛】考查向量的數(shù)量積及向量模的運(yùn)

2、算，是基礎(chǔ)題.4已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)為，則直線的斜率為（ ）ABCD【答案】A【解析】先求出，再求焦點(diǎn)坐標(biāo)，最后求的斜率【詳解】解：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故選：A【點(diǎn)睛】考查拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)及斜率的運(yùn)算公式，基礎(chǔ)題.5函數(shù)的部分圖象大致為（ ）ABCD【答案】A【解析】顯然是偶函數(shù)，排除B C，即可判斷.【詳解】解：是偶函數(shù)，排除B C，又，排除D，故選：A.【點(diǎn)睛】考查函數(shù)的基本性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.6已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)圓的圓心，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD2【答案】B【解析】求出圓心，代入漸近線方程，找到的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：，一條漸近線，故選：B【點(diǎn)睛】利用的關(guān)系求雙曲線的離心率

3、，是基礎(chǔ)題.7網(wǎng)絡(luò)是一種先進(jìn)的高頻傳輸技術(shù)，我國(guó)的技術(shù)發(fā)展迅速，已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款手機(jī)，現(xiàn)調(diào)查得到該款手機(jī)上市時(shí)間和市場(chǎng)占有率（單位：%）的幾組相關(guān)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù).如圖所示的折線圖中，橫軸1代表2019年8月，2代表2019年9月，5代表2019年12月，根據(jù)數(shù)據(jù)得出關(guān)于的線性回歸方程為.若用此方程分析并預(yù)測(cè)該款手機(jī)市場(chǎng)占有率的變化趨勢(shì)，則最早何時(shí)該款手機(jī)市場(chǎng)占有率能超過(guò)0.5%（精確到月）（ ）A2020年6月B2020年7月C2020年8月D2020年9月【答案】C【解析】根據(jù)圖形，計(jì)算出，然后解不等式即可.【詳解】解：，點(diǎn)在直線上，令因?yàn)闄M軸1代表2019年8月

4、，所以橫軸13代表2020年8月，故選：C【點(diǎn)睛】考查如何確定線性回歸直線中的系數(shù)以及線性回歸方程的實(shí)際應(yīng)用，基礎(chǔ)題.8設(shè)，是空間兩條不同的直線，是空間兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：若，則；若，則；若，則；若，則.其中正確的是（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解：、也可能相交或異面，故錯(cuò)：因?yàn)?，所以或，因?yàn)椋?，故?duì)：或，故錯(cuò)：如圖因?yàn)?，在?nèi)過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，則直線，又因?yàn)?，設(shè)經(jīng)過(guò)和相交的平面與交于直線，則又，所以因?yàn)椋?所以，所以，故對(duì).故選：C【點(diǎn)睛】考查線面平行或垂直的判斷，基礎(chǔ)題.9定義在上的偶函數(shù)，對(duì)，且，有成立，已知，則，的大小

5、關(guān)系為（ ）ABCD【答案】A【解析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對(duì)，且，有在上遞增因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因?yàn)?，所以故選：A【點(diǎn)睛】考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.10將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（ ）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式，然后將四個(gè)選項(xiàng)代入逐一判斷即可.【詳解】解：圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,得到再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，故選：D【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì)，基礎(chǔ)題.11若的展開(kāi)式中二

6、項(xiàng)式系數(shù)和為256，則二項(xiàng)式展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為（ ）A85B84C57D56【答案】A【解析】先求，再確定展開(kāi)式中的有理項(xiàng)，最后求系數(shù)之和.【詳解】解：的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256故，要求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)，則則二項(xiàng)式展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為：故選：A【點(diǎn)睛】考查二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)及展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)的確定，基礎(chǔ)題.12若函數(shù)有且只有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】由是偶函數(shù)，則只需在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)即可.【詳解】解：顯然是偶函數(shù)所以只需時(shí)，有且只有2個(gè)零點(diǎn)即可令，則令，遞減，且遞增，且時(shí)，有且只有2個(gè)零點(diǎn)，只需故選：B【點(diǎn)睛】考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及根

7、據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，基礎(chǔ)題.二、填空題13實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為_(kāi).【答案】10【解析】畫(huà)出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)截距可求.【詳解】解：作出可行域如下：由得，平移直線，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，截距最小，最大解得的最大值為10故答案為：10【點(diǎn)睛】考查可行域的畫(huà)法及目標(biāo)函數(shù)最大值的求法，基礎(chǔ)題.14某班星期一共八節(jié)課（上午、下午各四節(jié)，其中下午最后兩節(jié)為社團(tuán)活動(dòng)），排課要求為：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、物理、化學(xué)各排一節(jié)，從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié).若數(shù)學(xué)必須安排在上午且與外語(yǔ)不相鄰（上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法有_種.【答案】1344【解析】分四種情況討論即可【詳解

8、】解：數(shù)學(xué)排在第一節(jié)時(shí)有：數(shù)學(xué)排在第二節(jié)時(shí)有：數(shù)學(xué)排在第三節(jié)時(shí)有：數(shù)學(xué)排在第四節(jié)時(shí)有： 所以共有1344種故答案為：1344【點(diǎn)睛】考查排列、組合的應(yīng)用，注意分類討論，做到不重不漏；基礎(chǔ)題.15在中，角，的對(duì)邊分別為，.若；且，則周長(zhǎng)的范圍為_(kāi).【答案】【解析】先求角，再用余弦定理找到邊的關(guān)系，再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解：所以三角形周長(zhǎng)故答案為：【點(diǎn)睛】考查正余弦定理、基本不等式的應(yīng)用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件；基礎(chǔ)題.三、雙空題161611年，約翰內(nèi)斯開(kāi)普勒提出了“沒(méi)有任何裝球方式的密度比面心立方與六方最密堆積要高”的猜想.簡(jiǎn)單地說(shuō)，開(kāi)普勒猜想就是對(duì)空間中如何堆積最密圓球的解答

9、.2017年，由匹茲堡大學(xué)數(shù)學(xué)系教授托馬斯黑爾斯（Thomas Hales）帶領(lǐng)的團(tuán)隊(duì)發(fā)表了關(guān)于開(kāi)普勒猜想證明的論文，給這個(gè)超過(guò)三百年的歷史難題提交了一份正式的答案.現(xiàn)有大小形狀都相同的若干排球，按照下面圖片中的方式擺放（底層形狀為等邊三角形，每邊4個(gè)球，共4層），這些排球共_個(gè)，最上面球的球頂距離地面的高度約為_(kāi)（排球的直徑約為）【答案】20 【解析】（1）從下往上，各層球的個(gè)數(shù)依次是：10、6、3、1，所以共有20個(gè)（2）連接位于四個(gè)頂點(diǎn)的球的球心得到一個(gè)棱長(zhǎng)為63的正四面體，易求該四面體的高，然后加上21即可.【詳解】解：（1）從下往上，各層球的個(gè)數(shù)依次是：10、6、3、1，所以共有20

10、個(gè)（2）連接位于四個(gè)頂點(diǎn)的球的球心得到一個(gè)棱長(zhǎng)為63的正四面體，如圖：取的中點(diǎn)，的重心，連接,則平面，所以最上面球的球頂距離地面的高度約為.故答案為：20；【點(diǎn)睛】考查把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力、空間想象能力以及運(yùn)算求解能力；較難題.四、解答題17數(shù)列滿足，是與的等差中項(xiàng).（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）見(jiàn)解析，（2）【解析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)的定義得，然后構(gòu)造新等比數(shù)列，寫(xiě)出的通項(xiàng)即可求（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，分組求和即可【詳解】解：（1）由已知可得，即，可化為，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.即有，所以.（2）由（1）知，數(shù)列的

11、通項(xiàng)為：，故.【點(diǎn)睛】考查等差中項(xiàng)的定義和分組求和的方法；中檔題.18如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，為棱的中點(diǎn).（1）面出過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的平面，標(biāo)出該平面與正方體各個(gè)面的交線（不必說(shuō)明畫(huà)法及理由）；（2）求與該平面所成角的正弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）.【解析】（1）與平面垂直，過(guò)點(diǎn)作與平面平行的平面即可（2）建立空間直角坐標(biāo)系求線面角正弦值【詳解】解：（1）截面如下圖所示：其中，分別為邊，的中點(diǎn)，則垂直于平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則.不妨取，則，所以與該平面所成角的正弦值為.（若將作為該平面法向量，需證明與該平面垂直）【點(diǎn)睛】考查確定平面的方

12、法以及線面角的求法，中檔題.19某健身館為響應(yīng)十九屆四中全會(huì)提出的“聚焦增強(qiáng)人民體質(zhì)，健全促進(jìn)全民健身制度性舉措”，提高廣大市民對(duì)全民健身運(yùn)動(dòng)的參與程度，推出了健身促銷活動(dòng)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：健身時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元（不足l小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨(dú)立地來(lái)該健身館健身，設(shè)甲、乙健身時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)的概率分別為，健身時(shí)間1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率分別為，且兩人健身時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí).（1）設(shè)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和為隨機(jī)變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）此促銷活動(dòng)推出后，健身館預(yù)計(jì)每天約有300人來(lái)參與健身活動(dòng)，以這兩

13、人健身費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，預(yù)測(cè)此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營(yíng)業(yè)額.【答案】（1）見(jiàn)解析，40元（2）6000元【解析】（1）甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用都是0元、20元、40元三種情況，因此甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和共有9種情況，分情況計(jì)算即可（2）根據(jù)（1）結(jié)果求均值.【詳解】解：（1）由題設(shè)知可能取值為0，20，40，60，80，則；.故的分布列為：020406080所以數(shù)學(xué)期望（元）（2）此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營(yíng)業(yè)額預(yù)計(jì)為：（元）【點(diǎn)睛】考查離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的求法，中檔題.20橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率不

14、為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）最大值.【解析】（1）根據(jù)通徑和即可求（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓，利用，用含的式子表示出，用換元，可得，最后用均值不等式求解.【詳解】解：（1）依題意有，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.所以，.所以.令，則，所以，因，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，即四邊形面積的最大值.【點(diǎn)睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法，是難題.21已知函數(shù).（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論單調(diào)性（2）欲證

15、，只需證，構(gòu)造函數(shù)，證明，這時(shí)需研究的單調(diào)性，求其最大值即可【詳解】解：（1）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，由得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由得，由，得，或，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，或，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，欲證，只需證，令，則，因存在，使得成立，即有，使得成立.當(dāng)變化時(shí)，的變化如下：0單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以.因?yàn)?，所以，所?即，所以當(dāng)時(shí)，成立.【點(diǎn)睛】考查求函數(shù)單調(diào)性的方法和用函數(shù)的最值證明不等式的方法，難題.22在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，求取得最大值時(shí)直線的直角坐標(biāo)方程.【答案】（1）曲線，曲線.（2）.【解析】（1）用和消去參數(shù)即得的極坐標(biāo)方程；將兩邊同時(shí)乘以，然后由解得直角坐標(biāo)方程.（2）過(guò)極點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為，代入到和：中，表示出即可求解.【詳解】解：由和，得，化簡(jiǎn)得故：將兩邊同時(shí)乘以，得因?yàn)椋缘玫闹苯亲鴺?biāo)方程.（2）設(shè)直線的極坐標(biāo)方程由，得，由，得故當(dāng)時(shí)，取得最大值此時(shí)直線的極坐標(biāo)方程為：，其直角坐標(biāo)方程為：.