1、信號(hào)與系統(tǒng)（第二版）課后習(xí)題解析燕慶明主編高等教育出版社目 錄 TOC o 1-2 h z HYPERLINK l _Toc85464515 第1章習(xí)題解析 PAGEREF _Toc85464515 h 2 HYPERLINK l _Toc85464516 第2章習(xí)題解析 PAGEREF _Toc85464516 h 5 HYPERLINK l _Toc85464517 第3章習(xí)題解析 PAGEREF _Toc85464517 h 15 HYPERLINK l _Toc85464518 第4章習(xí)題解析 PAGEREF _Toc85464518 h 22 HYPERLINK l _Toc8546

2、4519 第5章習(xí)題解析 PAGEREF _Toc85464519 h 30 HYPERLINK l _Toc85464520 第6章習(xí)題解析 PAGEREF _Toc85464520 h 40 HYPERLINK l _Toc85464521 第7章習(xí)題解析 PAGEREF _Toc85464521 h 48 HYPERLINK l _Toc85464522 第8章習(xí)題解析 PAGEREF _Toc85464522 h 54第1章習(xí)題解析1-1 題1-1圖示信號(hào)中，哪些是連續(xù)信號(hào)？哪些是離散信號(hào)？哪些是周期信號(hào)？哪些是非周期信號(hào)？哪些是有始信號(hào)？ (c) (d)題1-1圖解 (a)、(c)、

3、(d)為連續(xù)信號(hào)；(b)為離散信號(hào)；(d)為周期信號(hào)；其余為非周期信號(hào)；(a)、(b)、(c)為有始（因果）信號(hào)。1-2 給定題1-2圖示信號(hào)f( t )，試畫出下列信號(hào)的波形。提示：f( 2t )表示將f( t )波形壓縮，f()表示將f( t )波形展寬。(a) 2 f( t 2 ) (b) f( 2t )(c) f( )(d) f( t +1 ) 題1-2圖解 以上各函數(shù)的波形如圖p1-2所示。圖p1-21-3 如圖1-3圖示，R、L、C元件可以看成以電流為輸入，電壓為響應(yīng)的簡(jiǎn)單線性系統(tǒng)SR、SL、SC，試寫出各系統(tǒng)響應(yīng)電壓與激勵(lì)電流函數(shù)關(guān)系的表達(dá)式。SRSLSC題1-3圖解 各系統(tǒng)響應(yīng)

4、與輸入的關(guān)系可分別表示為；1-4 如題1-4圖示系統(tǒng)由加法器、積分器和放大量為a的放大器三個(gè)子系統(tǒng)組成，系統(tǒng)屬于何種聯(lián)接形式？試寫出該系統(tǒng)的微分方程。題1-4圖解 系統(tǒng)為反饋聯(lián)接形式。設(shè)加法器的輸出為x( t )，由于且 故有 即 1-5 已知某系統(tǒng)的輸入f( t )與輸出y( t )的關(guān)系為y( t ) = | f( t )|，試判定該系統(tǒng)是否為線性時(shí)不變系統(tǒng)？解 設(shè)T為系統(tǒng)的運(yùn)算子，則可以表示為：不失一般性，設(shè)f( t ) = f1( t ) + f2( t )，則； 故有 顯然 即不滿足可加性，故為非線性時(shí)不變系統(tǒng)。1-6 判斷下列方程所表示的系統(tǒng)的性質(zhì)。(1) (2) (3) (4)

5、解 (1)線性；(2)線性時(shí)不變；(3)線性時(shí)變；(4)非線性時(shí)不變。1-7 試證明方程所描述的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。式中a為常量。證明 不失一般性，設(shè)輸入有兩個(gè)分量，且則有 相加得 即可見即滿足可加性，齊次性是顯然的。故系統(tǒng)為線性的。1-8 若有線性時(shí)不變系統(tǒng)的方程為若在非零f( t )作用下其響應(yīng)，試求方程的響應(yīng)。解 因?yàn)閒( t ) ，由線性關(guān)系，則由線性系統(tǒng)的微分特性，有故響應(yīng) 第2章習(xí)題解析2-1 如圖2-1所示系統(tǒng)，試以u(píng)C( t )為輸出列出其微分方程。題2-1圖解 由圖示，有又故從而得2-2 設(shè)有二階系統(tǒng)方程在某起始狀態(tài)下的0+起始值為試求零輸入響應(yīng)。解 由特征方程2 + 4 + 4

6、 =0得 1 = 2 = 2則零輸入響應(yīng)形式為由于yzi( 0+ ) = A1 = 12A1 + A2 = 2所以A2 = 4故有2-3 設(shè)有如下函數(shù)f( t )，試分別畫出它們的波形。(a) f( t ) = 2( t 1 ) 2( t 2 )(b) f( t ) = sint( t ) ( t 6 )解 (a)和(b)的波形如圖p2-3所示。圖p2-32-4 試用階躍函數(shù)的組合表示題2-4圖所示信號(hào)。題2-4圖解 (a) f( t ) = ( t ) 2( t 1 ) + ( t 2 ) (b) f( t ) = ( t ) + 2( t T ) + 3( t 2T )2-5 試計(jì)算下列結(jié)

7、果。(1) t( t 1 )(2) (3) (4) 解 (1) t( t 1 ) = ( t 1 )(2) (3) (4) 2-6 設(shè)有題2-6圖示信號(hào)f( t )，對(duì)(a)寫出f ( t )的表達(dá)式，對(duì)(b)寫出f ( t )的表達(dá)式，并分別畫出它們的波形。題2-6圖解 (a)f ( t ) = ( t 2 )， t = 22( t 4 )， t = 4 (b) f ( t ) = 2( t ) 2( t 1 ) 2( t 3 ) + 2( t 4 )圖p2-62-7 如題2-7圖一階系統(tǒng)，對(duì)(a)求沖激響應(yīng)i和uL，對(duì)(b)求沖激響應(yīng)uC和iC，并畫出它們的波形。題2-7圖解 由圖(a)有

8、即當(dāng)uS( t ) = ( t )，則沖激響應(yīng)則電壓沖激響應(yīng)對(duì)于圖(b)RC電路，有方程即當(dāng)iS = ( t )時(shí)，則同時(shí)，電流2-8 設(shè)有一階系統(tǒng)方程試求其沖激響應(yīng)h( t )和階躍響應(yīng)s( t )。解 因方程的特征根 = 3，故有當(dāng)h( t ) = ( t )時(shí)，則沖激響應(yīng)階躍響應(yīng)2-9 試求下列卷積。 (a) ( t + 3 ) * ( t 5 )(b) ( t ) * 2(c) tet( t ) * ( t )解 (a) 按定義( t + 3 ) * ( t 5 ) = 考慮到 t 5時(shí)，( t 5 ) = 0，故( t + 3 ) * ( t 5 ) =也可以利用遲延性質(zhì)計(jì)算該卷積。

9、因?yàn)? t ) * ( t ) = t( t )f1( t t1 ) * f2( t t2 ) = f( t t1 t2 )故對(duì)本題，有( t + 3 ) * ( t 5 ) = ( t + 3 5 )( t + 3 5 ) = ( t 2 )( t 2 )兩種方法結(jié)果一致。(b) 由( t )的特點(diǎn)，故( t ) * 2 = 2 (c) tet( t ) * ( t ) = tet( t ) = ( et tet )( t )2-10 對(duì)圖示信號(hào)，求f1( t ) * f2( t )。題2-10圖解 (a)先借用階躍信號(hào)表示f1( t )和f2( t )，即f1( t ) = 2( t )

10、2( t 1 )f2( t ) = ( t ) ( t 2 )故f1( t ) * f2( t ) = 2( t ) 2( t 1 ) * ( t ) ( t 2 )因?yàn)? t ) * ( t ) = = t( t )故有f1( t ) * f2( t ) = 2t( t ) 2( t 1 )( t 1 ) 2( t 2 )( t 2 ) + 2( t 3 )( t 3 )讀者也可以用圖形掃描法計(jì)算之。結(jié)果見圖p2-10(a)所示。(b)根據(jù) ( t )的特點(diǎn)，則f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) * ( t ) + ( t 2 ) + ( t + 2 ) = f1( t

11、) + f1( t 2 ) + f1( t + 2 )結(jié)果見圖p2-10(b)所示。圖p2-102-11 試求下列卷積。 (a) (b) 解 (a)因?yàn)?，?(b)因?yàn)?，?-12 設(shè)有二階系統(tǒng)方程試求零狀態(tài)響應(yīng)解 因系統(tǒng)的特征方程為2 + 3 + 2 =0解得特征根1 = 1， 2 = 2故特征函數(shù)零狀態(tài)響應(yīng) = 2-13 如圖系統(tǒng)，已知試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h( t )。題2-13圖解 由圖關(guān)系，有所以沖激響應(yīng)即該系統(tǒng)輸出一個(gè)方波。2-14 如圖系統(tǒng)，已知R1 = R2 =1，L = 1H，C = 1F。試求沖激響應(yīng)uC( t )。題2-14圖解 由KCL和KVL，可得電路方程為代入數(shù)據(jù)得特征

12、根1,2 = 1 j1故沖激響應(yīng)uC( t )為 2-15 一線性時(shí)不變系統(tǒng)，在某起始狀態(tài)下，已知當(dāng)輸入f( t ) = ( t )時(shí)，全響應(yīng)y1( t ) = 3e3t( t )；當(dāng)輸入f( t ) = ( t )時(shí)，全響應(yīng)y2( t ) = e3t( t )，試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h( t )。解 因?yàn)榱銧顟B(tài)響應(yīng)( t ) s( t )，( t ) s( t )故有y1( t ) = yzi( t ) + s( t ) = 3e3t( t )y2( t ) = yzi( t ) s( t ) = e3t( t )從而有y1( t ) y2( t ) = 2s( t ) = 2e3t( t )

13、即s( t ) = e3t( t )故沖激響應(yīng)h( t ) = s ( t ) = ( t ) 3e3t( t )2-16 若系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y( t ) = f( t ) * h( t )試證明：(1) (2) 利用(1)的結(jié)果，證明階躍響應(yīng)證 （1）因?yàn)閥( t ) = f( t ) h( t ) 由微分性質(zhì)，有y ( t ) = f ( t ) h( t ) 再由積分性質(zhì)，有（2）因?yàn)閟( t ) = ( t ) h( t ) 由（1）的結(jié)果，得 第3章習(xí)題解析3-1 求題3-1圖所示周期信號(hào)的三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示式。題3-1圖解 對(duì)于周期鋸齒波信號(hào)，在周期( 0，T )內(nèi)可表示為系

14、數(shù) 所以三角級(jí)數(shù)為3-2 求周期沖激序列信號(hào)的指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示式，它是否具有收斂性？解 沖激串信號(hào)的復(fù)系數(shù)為所以因Fn為常數(shù)，故無收斂性。3-3 設(shè)有周期方波信號(hào)f( t )，其脈沖寬度 = 1ms，問該信號(hào)的頻帶寬度（帶寬）為多少？若壓縮為0.2ms，其帶寬又為多少？解 對(duì)方波信號(hào)，其帶寬為Hz，當(dāng)1 = 1ms時(shí)，則當(dāng)2 = 0.2ms時(shí)，則3-4 求題3-4圖示信號(hào)的傅里葉變換。題3-4圖解 (a)因?yàn)閒( t ) = 為奇函數(shù)，故或用微分定理求解亦可。(b) f( t )為奇函數(shù)，故 若用微分-積分定理求解，可先求出f ( t )，即f ( t ) = ( t + ) + (

15、t ) 2( t )所以又因?yàn)镕1( 0 ) = 0，故3-5 試求下列信號(hào)的頻譜函數(shù)。(1) (2) 解 (1) (2) 3-6 對(duì)于如題3-6圖所示的三角波信號(hào)，試證明其頻譜函數(shù)為題3-6圖證 因?yàn)閒( t ) = 0，| t | 則 3-7 試求信號(hào)f( t ) = 1 + 2cost + 3cos3t的傅里葉變換。解 因?yàn)? 2() 2cost 2( 1) + ( + 1) 3cos3t 3( 3) + ( + 3) 故有F( ) = 2() + ( 1) + ( + 1) + 3( 3) + ( + 3) 3-8 試?yán)酶道锶~變換的性質(zhì)，求題3-8圖所示信號(hào)f2( t )的頻譜函數(shù)。

16、題3-8圖解 由于f1( t )的A = 2， = 2，故其變換根據(jù)尺度特性，有再由調(diào)制定理得3-9 試?yán)镁矸e定理求下列信號(hào)的頻譜函數(shù)。 (1) f( t ) = Acos(0t) ( t ) (2) f( t ) = Asin(0t)( t ) 解 （1）因?yàn)樗杂蓵r(shí)域卷積定理（2）因?yàn)橛深l域卷積定理3-10 設(shè)有信號(hào)f1( t ) = cos4tf2( t ) =試求f1( t ) f2( t )的頻譜函數(shù)。解 設(shè)f1( t ) F1()，由調(diào)制定理而故3-11 設(shè)有如下信號(hào)f( t )，分別求其頻譜函數(shù)。(1) (2) 解 (1) 因 故(2) 因 故3-12 設(shè)信號(hào)f1( t ) =

17、試求f2( t ) = f1( t )cos50t的頻譜函數(shù)，并大致畫出其幅度頻譜。解 因故幅度頻譜見圖p3-12。5050| F2() |圖p3-12第4章習(xí)題解析4-1 如題4-1圖示RC系統(tǒng)，輸入為方波u1( t )，試用卷積定理求響應(yīng)u2( t )。題4-1圖解 因?yàn)镽C電路的頻率響應(yīng)為而響應(yīng)u2( t ) = u1( t ) * h( t )故由卷積定理，得U2( ) = U1( ) * H( j )而已知，故反變換得4-2 一濾波器的頻率特性如題圖4-2所示，當(dāng)輸入為所示的f( t )信號(hào)時(shí)，求相應(yīng)的輸出y( t )。題4-2圖解 因?yàn)檩斎雈( t )為周期沖激信號(hào)，故所以f( t

18、 )的頻譜當(dāng)n = 0，1，2時(shí)，對(duì)應(yīng)H( j )才有輸出，故Y( ) = F( ) H( j )= 22() + ( 2) + ( + 2)反變換得y( t ) = 2( 1 + cos2t )4-3 設(shè)系統(tǒng)的頻率特性為試用頻域法求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)。解 沖激響應(yīng)，故而階躍響應(yīng)頻域函數(shù)應(yīng)為所以階躍響應(yīng)4-4 如題圖4-4所示是一個(gè)實(shí)際的信號(hào)加工系統(tǒng)，試寫出系統(tǒng)的頻率特性H( j )。題4-4圖解 由圖可知輸出取上式的傅氏變換，得故頻率特性4-5 設(shè)信號(hào)f( t )為包含0 m分量的頻帶有限信號(hào)，試確定f( 3t )的奈奎斯特采樣頻率。解 由尺度特性，有即f( 3t )的帶寬比f( t

19、)增加了3倍，即 = 3m。從而最低的抽樣頻率s = 6m 。故采樣周期和采樣頻率分別為4-6 若電視信號(hào)占有的頻帶為0 6MHz，電視臺(tái)每秒發(fā)送25幅圖像，每幅圖像又分為625條水平掃描線，問每條水平線至少要有多少個(gè)采樣點(diǎn)？解 設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)為x，則最低采樣頻率應(yīng)為所以4-7 設(shè)f( t )為調(diào)制信號(hào)，其頻譜F( )如題圖4-7所示，cos0t為高頻載波，則廣播發(fā)射的調(diào)幅信號(hào)x( t )可表示為x( t ) = A 1 + m f( t ) cos0t式中，m為調(diào)制系數(shù)。試求x( t )的頻譜，并大致畫出其圖形。F()題4-7圖解 因?yàn)檎{(diào)幅信號(hào)x( t ) = Acos0t + mA f( t

20、)cos0t故其變換式中，F(xiàn)( )為f( t )的頻譜。x( t )的頻譜圖如圖p4-7所示。X()圖p4-74-8 題4-8圖所示(a)和(b)分別為單邊帶通信中幅度調(diào)制與解調(diào)系統(tǒng)。已知輸入f(t)的頻譜和頻率特性H1( j )、H2( j )如圖所示，試畫出x(t)和y(t)的頻譜圖。F()題4-8圖題4-8圖解 由調(diào)制定理知而x(t)的頻譜又因?yàn)樗运鼈兊念l譜變化分別如圖p4-8所示，設(shè)C 2。F1()F2()X()Y()圖p4-84-9 如題4-9圖所示系統(tǒng)，設(shè)輸入信號(hào)f(t)的頻譜F( )和系統(tǒng)特性H1( j )、H2( j )均給定，試畫出y(t)的頻譜。F()H1(j)H2(j)

21、題4-9圖解 設(shè)，故由調(diào)制定理，得從而它僅在| | = ( 30 50 )內(nèi)有值。再設(shè)則即F3( )是F2( )的再頻移。進(jìn)而得響應(yīng)的頻譜為其結(jié)果僅截取 20 a0a3故系統(tǒng)穩(wěn)定。6-10 如題6-10圖示反饋系統(tǒng)，為使其穩(wěn)定，試確定K值。題6-10圖解 該系統(tǒng)的H( s )為從必要條件考慮，應(yīng)當(dāng)K 0，再由a1a2 a0a3考慮，應(yīng)滿足K 9，故當(dāng)0 K 9時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。也可以從勞斯陣列判定。因?yàn)殛嚵校簽槭沟谝涣性夭蛔兲?hào)，即應(yīng)即0 K 9時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。第7章習(xí)題解析7-1 試畫出下列離散信號(hào)的圖形。 (a) (b) (c) (d) 解 各信號(hào)的圖形分別如圖p7-1所示。圖p7-17-2 試畫出

22、下列序列的圖形。 (a) (b) (c) (d) 解 各序列的圖形分別如圖p7-2所示。圖p7-27-3 設(shè)有差分方程起始狀態(tài)。試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。解 系統(tǒng)的特征方程為2 + 3 + 2 = 0其特征根為1 = 1， 2 = 2則零輸入響應(yīng)的形式為由起始狀態(tài)y(1)和y(2)導(dǎo)出起始值y(0)和y(1)n = 0時(shí)，y(0) = 3y(1) 2y(2) = 1.5 2.5 = 1n = 1時(shí)，y(1) = 3y(0) 2y(1) = 3 + 1 = 4從而有解得K1 = 2， K2 = 3故7-4 設(shè)有離散系統(tǒng)的差分方程為試畫出其時(shí)域模擬圖。解 原方程可以寫為從而可得時(shí)域模擬圖p7-4，圖中

23、D為單位延時(shí)（位移）器。DDD圖p7-47-5 如圖所示為工程上常用的數(shù)字處理系統(tǒng)，是列出其差分方程。DDD題7-5圖解 由圖可得差分方程7-6 設(shè)有序列f1( n )和f2( n )，如圖7-6所示，試用二種方法求二者的卷積。題7-6圖解 方法一：用“乘法”2 1.5 1 1 1.5 2 1 1 1 12 1.5 1 1 1.5 22 1.5 1 1 1.5 22 1.5 1 1 1.5 22 1.5 1 1 1.5 22 3.5 4.5 5.5 5 5.5 4.5 3.5 2即有方法二：用單位序列表示各函數(shù)后卷積。因?yàn)閯t7-7 設(shè)有一階系統(tǒng)為試求單位響應(yīng)h( n )和階躍響應(yīng)s( n )，

24、并畫出s( n )的圖形。解 由方程知特征根 = 0.8，故階躍響應(yīng)為s( n )的圖形如圖p7-7所示。圖p7-77-8 設(shè)離散系統(tǒng)的單位響應(yīng)，輸入信號(hào)，試求零狀態(tài)響應(yīng)y( n )。解 由給定的f( n )和h( n )，得因?yàn)楣实?-9 試證明證明7-10 已知系統(tǒng)的單位響應(yīng)，輸入信號(hào)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解 因?yàn)槔脮r(shí)延性質(zhì)，則所以得第8章習(xí)題解析8-1 求下列離散信號(hào)的Z變換，并注明收斂域。(a) ( n 2 )(b) a-n( n )(c) 0.5n1( n 1 )(d) ( 0.5n + 0.25n )( n )解 (a) (b) (c) (d) 8-2 求下列F( z )的反變換

25、f( n )。(a) (b) (c) (d) (e) 解 (a) 因?yàn)楣式獾肒1 = 4，K2 = 3進(jìn)而所以(b) 所以(c) 由于故解得K1 = 2，K2 =2進(jìn)而所以(d) 由于故解得故有所以(e) 由于故解得K1 = 1， K11 = 1， K12 = 1從而有故得8-3 試用z變換的性質(zhì)求以下序列的z變換。(a) (b) 解 (a) 由時(shí)延性質(zhì)，有 (b) 8-4 試證明初值定理證明 因?yàn)楫?dāng)z時(shí)，則上式右邊除f(0)外均為零，故8-5 試用卷和定理證明以下關(guān)系：(a) (b) 證明 (a) 因由卷和定理而故得 (b) 因?yàn)槎?-6 已知，試求的Z變換。解 因由卷和定理而所以8-7 已知因果序列的Z變換為F( z )，試分別求下列原序列的初值f( 0 )。(1) (2)解 (1) 所以(2) 所以8-8 已知系統(tǒng)的差分方程、輸入和初始狀態(tài)如下，試用Z變換法求系統(tǒng)的完全響應(yīng)。解 對(duì)方程取Z變換，有即故所以8-9 設(shè)系統(tǒng)差分方程為起始狀態(tài)y( 1 ) = 3，y( 2 ) = 2