1、第5章 頻率響應(yīng)法 本章研究內(nèi)容： 頻率特性及表示法、典型環(huán)節(jié)的頻率特性、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制、 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)、穩(wěn)定裕量及計算。（1）頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實驗的方法來確定，這對于難以列寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來說，具有重要的實際意義。（2）主要利用開環(huán)頻率特性圖的特點對閉環(huán)系統(tǒng)性能進行分析，因而具有形象直觀和計算量少的特點。（3）頻率響應(yīng)法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞函數(shù)不是有理數(shù)的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。頻率特性的特點：5.1 頻率特性的基本概念定義：頻率特性又稱頻率響應(yīng)，它是線性定常系統(tǒng)（環(huán)節(jié)或元件），在不同頻率的正弦信號作用下，響應(yīng)到達

2、穩(wěn)態(tài)時，輸出與輸入的復(fù)數(shù)比。 定義表達式為理解：因為線性定常系統(tǒng)滿足疊加性和齊次性，因此當(dāng)其輸入端施加一正弦信號，系統(tǒng)響應(yīng)到達穩(wěn)態(tài)時必為一與輸入信號同頻率的正弦信號，且輸出響應(yīng)的幅值和相位均為輸入信號頻率的函數(shù)。3設(shè)系統(tǒng)輸入信號為證明：其中，Ci、B、D均為待定系數(shù)。響應(yīng)到達穩(wěn)態(tài)時其暫態(tài)分量為： 其穩(wěn)態(tài)分量為： 由于:所以:（歐拉公式）用圖形表示為G(s)R(s)C(s)G(s)r(t)Arc(t)Ac()c()G(j)R(j)C(j)設(shè)：則有：用復(fù)數(shù)形式表示為：意義：頻率特性反映了系統(tǒng)對于正弦信號幅值和相位的改變情況。定義： 為幅頻特性，即系統(tǒng)輸出與輸入的幅值之比。為相頻特性，即系統(tǒng)輸出與輸

3、入的相位之差。系統(tǒng)模型間的關(guān)系三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系輸出響應(yīng)到達穩(wěn)態(tài)時有： t s=+j j G(j)=G(s)|s= j頻率特性的表示形式 代數(shù)形式： G(j)=P()+jQ() 幅相 (極坐標(biāo))式：G(j)=| G(j) | G(j) 指數(shù)式 ： G(j)=A()e j()實頻特性虛頻特性 正弦式 ：G(j)=A()cos()+j sin ()四種表達式之間的關(guān)系圖5.1 復(fù)數(shù)的表示 幅相頻率特性曲線（奈奎斯特Nyquist曲線,又稱奈氏圖）的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化，其端點在復(fù)平面上移動的軌跡稱為乃氏圖。也稱為極坐標(biāo)圖。定義：當(dāng)輸入信號的頻率 變化時，向量頻率特性的幾何圖示法 特點：

4、 是一種復(fù)平面中的極坐標(biāo)圖。 一般為繞坐標(biāo)原點順時針轉(zhuǎn)動的一條曲線。 曲線上面必須表明的方向。 A()()作用：主要用于判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性乃氏穩(wěn)定判據(jù)圖5.2 乃氏圖的特點 對數(shù)頻率特性曲線對數(shù)坐標(biāo)圖-Bode圖特點：兩條曲線繪在同一坐標(biāo)系中。 橫坐標(biāo)/ s-1：按10倍頻程（dec）即lg 分度。縱坐標(biāo)按線性分度L()/dB：0，20，40，60等。()： 0 ，90 ，180等。作用：用實驗法求系統(tǒng)傳函，進行系統(tǒng)的性能校正。0.1 1 10 102 103 10-4 /s-1( -1 0 1 2 3 4 lg)L()/dB () 270 60 180 40 90 20 0 0 - 90 -2

5、0-180 -40-270 -60注意(1) 橫坐標(biāo)每10倍頻程段刻度是相同的，每10倍頻程內(nèi)刻度由稀到密。 (2) 斜率- 20dB/dec 表示每增加10倍頻程，幅值L()下降20分貝。- 40dB/dec- 20dB/dec-40dB/dec(3) 根據(jù)直線斜率的定義有:-40=-tan=-L() / lg(2 / 1 )則: L()= 40 lg(2 / 1 )1 2 L()圖5.3 對數(shù)坐標(biāo)系的表示L()/dB () 0 0.30 0.48 0.70 0.85 0.95 0.60 0.78 0.90 1 lg圖5.4 十倍頻程的表示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10/s-5.

6、2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 乃氏圖的繪制 “三點法” 起點：0，A(0),(0)終點： ，A(),()與負實軸的交點：令() =-180 x 則交點為A(g)，-180G(j)= A()ej() A()：起止位置 () ：起止方向相位截止頻率或相位剪切頻率注意：由(0) ()的變化范圍可判斷乃氏圖所在 的象限。一、 頻率特性的概略繪制 Bode圖的繪制 “兩段一點法” 低頻段漸近線：0， L(0)； (0)高頻段漸近線： ， L()； ()轉(zhuǎn)折點：高低頻段漸近線的交點。 令L(0)= L() 0 交點0， L(0)G(j)= A()ej() L()=20lgA()()對于相頻特性就是對稱點二、典型

7、環(huán)節(jié)(8個)的頻率特性1. 比例環(huán)節(jié)圖5.5 比例環(huán)節(jié)乃氏圖（K，0）（1）乃氏圖與無關(guān)，是正實軸上的一個點（K，0） 。（2）Bode圖L()=20lgK ()=0是與無關(guān)的兩條水平線 。圖5.6 比例環(huán)節(jié)的Bode圖作用：比例環(huán)節(jié)只改變原系統(tǒng)的幅值（K1，降低；K 1，抬高），不改變原系統(tǒng)的相位。2. 積分環(huán)節(jié)（1）乃氏圖圖5.7 積分環(huán)節(jié)乃氏圖起點：, -90；終點： 0, -90特點：是一條與負虛軸重合并指向坐標(biāo)原點的直線。圖5.8 積分、微分環(huán)節(jié)Bode圖積分環(huán)節(jié)（2）Bode圖 L()= - 20lg是一條斜率為-20dB/dec，并過（1，0）點的直線。 ()=-90， 是一條與

8、無關(guān)的- 90直線。-20dB/dec3. 純微分環(huán)節(jié)圖5.9 微分環(huán)節(jié)乃氏圖（1）乃氏圖起點：0, 90；終點： , 90是一條與正虛軸重合，由坐標(biāo)原點指向的直線。注意： Bode圖與積分環(huán)節(jié)以軸為鏡像對稱。傳遞函數(shù)與積分環(huán)節(jié)互為倒數(shù)（2）Bode圖L()= 20lg，是一條斜率為20dB/dec，并過（1，0）點的直線。 ()=90，是一條與無關(guān)的+90直線。圖5.8 積分、微分環(huán)節(jié)Bode圖積分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)4. 慣性環(huán)節(jié)（1）乃氏圖 起點：（1, 0） 終點： （0, -90） 特點：慣性環(huán)節(jié)的乃氏圖是位于第四象限的半圓。圖5.10 慣性環(huán)節(jié)的乃氏圖（1, 0）Re0Im（2）Bode圖

9、聯(lián)立消去可以得到實部和虛部 的關(guān)系式：故，慣性環(huán)節(jié)的乃氏圖是圓心為點（0.5，j0）上，半徑為0.5的半園（=0）。證明：實頻特性和虛頻特性為低頻段：0L()0dB，幅頻特性是一條0dB的直線。() 0，相頻特性是一條0的直線。高頻段：L()-20lgT = -20lg -20lgT 幅頻特性是一條斜率為-20dB/dec的直線() -90 相頻特性是一條-90的直線轉(zhuǎn)折點：令-20lgT =0dB或令-arctan T =- 45 可得轉(zhuǎn)折頻率=1/T 轉(zhuǎn)折點的實際幅頻值： L(1/T)=-20lg - 3dB 轉(zhuǎn)折點的相位： (1/T) - 45低頻漸近線 高頻漸近線 精確曲線 Asymp

10、tote Asymptote Corner frequency：n=1/T =10Exact curve精確曲線 Exact curve圖5.11 慣性環(huán)節(jié)的Bode圖 圖5.12 慣性環(huán)節(jié)對數(shù)頻率響應(yīng)的誤差曲線5. 一階微分環(huán)節(jié)圖5.13 一階微分環(huán)節(jié)乃氏圖（1）乃氏圖 起點：（1, 0） 終點： （, 90） 特點：一階微分環(huán)節(jié)的乃氏圖是位于第象限（ 0 90 ）的垂線。傳遞函數(shù)與慣性環(huán)節(jié)互為倒數(shù)。（2）Bode圖轉(zhuǎn)折點：令20lgT =0dB或令arctan T =45 可得轉(zhuǎn)折頻率=1/T，與慣性環(huán)節(jié)相同，特性曲線與慣性環(huán)節(jié)以軸為鏡像對稱。低頻段：0L()0dB() 0低頻段與慣性環(huán)節(jié)

11、相同高頻段：L()20lgT() 90 高頻段與慣性環(huán)節(jié)互為相反數(shù)，即以軸為鏡像對稱。Bode Diagram of G(jw)=jwT+1) T=0.1Frequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)051015202510010110204590圖5.14 一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖 316. 振蕩環(huán)節(jié)（1）乃氏圖起點：（1, 0）終點： （0, -180）圖5.15 振蕩環(huán)節(jié)的乃氏圖 =r特點：振蕩環(huán)節(jié)的乃氏圖是位于第、 象限（ 0 180 ），隨變化的一簇曲線。與負虛軸的交點： 令()=-90 得：=n=1/T， A(n)=1/2 有諧振：低頻段：

12、0L()0dB() 0低頻段與一階環(huán)節(jié)相同（2）Bode圖高頻段：L()- 40lgT 幅頻特性是一條斜率為-40dB/dec的直線。() -180相頻特性是一條-180的直線。 轉(zhuǎn)折點：令- 40lgT =0dB或令arctan T =-90 可得轉(zhuǎn)折頻率= n=1/T，與一階環(huán)節(jié)相同。 L (n)=-20lg1/2， (n)= -90諧振點： = L(r)=-20lgA (r)=-20lgMr=特點：振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖是隨變化的一簇曲線。當(dāng)值在一定范圍內(nèi)時，其相應(yīng)的精確曲線都有峰值，漸近線誤差隨不同而不同，在附近為最大，并且值越小，誤差越大。圖5.16 振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖n圖5.17

13、振蕩環(huán)節(jié)的誤差修正曲線7. 二階微分環(huán)節(jié)圖5.18 二階微分環(huán)節(jié)的乃氏圖（1）乃氏圖（2）Bode圖 與振蕩環(huán)節(jié)以軸為鏡像對稱。8. 延遲環(huán)節(jié)圖5.19 延遲環(huán)節(jié)的乃氏圖Re0Im1-1（1）乃氏圖延遲環(huán)節(jié)的乃氏圖是一單位園。圖5.20 延遲環(huán)節(jié)的Bode圖（2）Bode圖= -0 1 K j 1比例2積分3微分4慣性5一階微分6振蕩7二階微分8滯后結(jié)論：零點環(huán)節(jié)（三種微分環(huán)節(jié)），相位為正，乃氏圖位于上半平面；無零點環(huán)節(jié)（積分、慣性、振蕩）相位為負，乃氏圖位于下半平面；比例環(huán)節(jié)乃氏圖為正實軸上的（K,0）點；滯后環(huán)節(jié)乃氏圖為單位圓。典型環(huán)節(jié)乃氏圖小結(jié)（1）比例環(huán)節(jié)：相頻Bode圖為0線 ；幅頻Bode圖為20lgKdB線。（2）零點環(huán)節(jié)（三種微分環(huán)節(jié)）： 相頻Bode圖相位分別為：