1、第一講 微分中值定理內(nèi)容提要 1.羅爾定理； 2.拉格朗日中值定理； 3.柯西中值定理。教學要求 1.深刻理解羅爾定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理； 2.熟練掌握用羅爾定理和拉格朗日中值定理證明等式或不等式解題方法。一、羅爾定理例如,羅爾（Rolle）定理 如果函數(shù) 滿足條件：（1）在閉區(qū)間 上連續(xù), （2）在開區(qū)間 內(nèi)可導, （羅爾：法國數(shù)學家）AB羅爾定理的幾何解釋：如圖所示:下列函數(shù)在指定區(qū)間上是否滿足羅爾定理條件？解(1)解(2)解(3)練習指出：若羅爾定理中的三個條件有任何一個不滿足，就不能保證定理的結論成立.例如，下列三個函數(shù)由圖可知，上分別不滿足羅爾定理中的條件它們的圖像

2、都沒有水平切線.這三個函數(shù)在指定的區(qū)間用羅爾定理證明曲線例在區(qū)間內(nèi)有水平切線.證明:在閉區(qū)間上連續(xù) .在所以內(nèi)處處可導.并且由羅爾定理，在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點二、拉格朗日中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函數(shù) 滿足條件：（1）在閉區(qū)間 上連續(xù), （2）在開區(qū)間 內(nèi)可導, 那末至少有一點使得（拉格朗日：法國數(shù)學家）拉格朗日中值定理幾何解釋:證(分析:弦AB方程為至少存在一點拉格朗日定理2. 如果在拉格朗日中值定理中加上條件那么就成為羅爾定理.故拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣.說明：例3拉格 朗日中值定理.解 練習解 拉格朗日定理有以下兩個推論:推論1證明:推論2證明:由推論1知

3、三、柯西中值定理柯西（Cauchy）中值定理 如果函數(shù) 及 滿足條件：（1）在閉區(qū)間 上連續(xù), （2）在開區(qū)間 內(nèi)可導, 那末至少存在一點 使得作為拉格朗日中值定理的推廣，有如下的定理即得拉格朗日中值定理.（柯西: 法國數(shù)學家）成立例4:,)1,0(,1,0)(xf證明內(nèi)可導在上連續(xù)在設函數(shù)證分析:結論可變形為小結Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關系；練 習 前者是后者的特殊情形,1、函數(shù) 在區(qū)間1,2上滿足拉格朗日中值定理則= 一、填空題 2、設函數(shù) 個根，它們分別在區(qū)間 上(1,2),(2,3),(3,4)3、羅爾定理

4、與拉格朗日定理之間的關系是 羅爾在數(shù)學上的成就主要是在代數(shù)方面。任意次方程的一個解法的證明的論述中指出了：在多項式方程多年后，即并把此命題名為羅爾定理。一新生事物還存在邏輯上的缺陷，從而遭受多方面的非議，羅爾。羅爾 生平簡介且結婚過早，年輕時貧困潦倒，靠充當公證人與律師抄錄員的微薄收入養(yǎng)家糊口，他利用業(yè)余時間刻苦自學代數(shù)家奧扎南提出的一個數(shù)論難題，受到了學術界的好評，從而聲名雀起，也使他的生活有了轉機，此后擔任初等數(shù)學教師和陸軍部行政官員。1685 年進入法國科學院，擔任低級職務，到1699年才獲得科學院發(fā)給的固定薪水.此后他一直在科學院供職，1719年因中風去世。羅爾是法國數(shù)學家。羅爾出生于

5、小店主家庭，只受過初等教育，羅爾于1691年在題為的兩個相鄰的實根之間，方程 至少有一個根。一百1846年，尤斯托伯拉維提斯將這一定理推廣到可微函數(shù)。羅爾所處的時代正當牛頓、萊布尼茲的微積分誕生不久，由于這其中也包括（1652.4.211719.11.8）拉格朗日（1736.1.251813.4.10）生平簡介拉格朗日是法國數(shù)學家，他的父親是陸軍騎兵里的一名會計官，后又經(jīng)商。拉格朗日兄弟姐妹11人，他的父親希望他能當一名律師，他14歲考入中學時，逐漸對物理學和幾何學感興趣，特別對幾何學更熱愛。17歲時，當他讀到英國天文學家哈雷撰寫的介紹牛頓微積分成就的一篇短文之后，對分析產(chǎn)生了濃厚的興趣，而分

6、析在當時是迅速發(fā)展的一個數(shù)學領域。1754年，18歲的拉格朗日給出了二個函數(shù)積的高階導數(shù)公式，他將這一發(fā)現(xiàn)告訴了當時的幾何學家泥尼亞諾、數(shù)學家歐拉。后來得知這一結果早在半個世紀以前就被萊布尼茲所發(fā)現(xiàn)，他生怕別人誤認為他是剽竊者和科學騙子。但這一挫折并沒有使他喪失信心，1755年8月12日，拉格朗日給歐拉寫了一封信，在這封信中，他對求積分極值問題的純分析方法做了系統(tǒng)的總結，這是變分法研究的一個重大進展，也是他在數(shù)學研究中最杰出的成就之一。拉格朗日在數(shù)學的許多領域都留下了足跡，他的工作總結了18世紀的數(shù)學成果，同時開辟了19世紀數(shù)學研究的道路。1813年4月10日，拉格朗日與世長辭，人們爭相悼念他

7、，在法國科學院、意大利各大學都舉行了追悼會?？挛鳎?789.8.211857.5.23）生平簡介柯西是法國數(shù)學家、力學家?？挛鞯母赣H是法國波旁王朝的官員,幼年時，他的父親常帶領他到法國參議院的辦公室，并在那里指導他進行學習，因此他有機會遇到參議員拉普拉斯和拉格朗日兩位大數(shù)學家。他們對他的才能十分賞識，拉格朗日認為他將來必定會成為大數(shù)學家?？挛饔?805年考入綜合工科學校，在那里主要學習數(shù)學和力學，1807年考入橋梁公路學校，1810年以優(yōu)異成績畢業(yè)。前往瑟堡參加海港建設工程。他在業(yè)余時間悉心攻讀有關數(shù)學各分支從數(shù)論到天文學方面的書籍。柯西最有首創(chuàng)性的工作是有關復變函數(shù)論，他對數(shù)學的最大貢獻是在微積分中引進了清晰和嚴格的表述于證明方法，在這方面他寫了三部專著分析教程、無窮小計算教程、微分計算教程。柯西還是數(shù)理