1、抽象函數(shù)專題1適用學科高中數(shù)學適用年級高中三年級適用區(qū)域人教B版課時時長（分鐘）60知識點抽象函數(shù)的定義域、值域，抽象函數(shù)的解析式；解決求值問題教學目標抽象函數(shù)的定義域、值域、解析式求解；解決求值問題；會應用代特殊值法教學重點會求抽象函數(shù)的定義域、值域、解析式；解決求值問題會應用代特殊值法教學難點會求抽象函數(shù)的定義域、值域、解析式；解決求值問題教學(jio xu)過程一、課堂(ktng)導入抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)(txin)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一。二、復習(fx)預習特殊模型抽象函數(shù)正比例函數(shù)f

2、(x)=kx (k0)f(x+y)=f(x)+f(y)冪函數(shù) f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y) 或指數(shù)函數(shù) f(x)=ax (a0且a1)f(x+y)=f(x)f(y) 對數(shù)函數(shù) f(x)=logax (a0且a1)f(xy)=f(x)+f(y) 正、余弦函數(shù) f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函數(shù) f(x)=tanx余切函數(shù) f(x)=cotx常見的特殊(tsh)模型:三、知識(zh shi)講解考點(ko din)1定義域問題(wnt)多為簡單(jindn)函數(shù)與復合函數(shù)的定義域互求（1）已知f(x)的定義域是A，求的定義域問題，相當于解內(nèi)函數(shù)的不等

3、式問題。（2）已知函數(shù)的定義域是A，求函數(shù)f(x)的定義域。相當于求內(nèi)函數(shù)的值域。常考類型，將（2）（1）結合，先（2）后（1）求解，是學生易錯之處?？键c(ko din)2求值問題(wnt)抽象函數(shù)(hnsh)的性質是用條件恒等式給出的，可通過賦特殊值法使問題得以解決考點3值域問題參照函數(shù)值(shz)域求法 在處理(chl)抽象函數(shù)的問題時，通常情況下，給某些變量適當賦值，使之在關系中“消失”，進而保留一個變量，是實現(xiàn)這種轉化(zhunhu)的重要策略?？键c(ko din)4求解析(ji x)式問題換元法，解方程組，待定系數(shù)(xsh)法，遞推法換元法：表達式中形如f(x)和f(x表達式)這樣的

4、形式同時出現(xiàn)時，把x和x表達式分別看作兩個變量，實現(xiàn)由兩個變量向一個變量的轉化是解題關鍵。常與解方程組方法結合。解方程組：通過解方程組的方法可求表達式，通常，給某些變量適當賦值，使之在關系中“消失”，進而保留一個變量，是實現(xiàn)這種轉化的重要策略。待定系數(shù)法：如果抽象函數(shù)的類型是確定的，則可用待定系數(shù)法來解答有關抽象函數(shù)的問題。遞推法：對于定義在正整數(shù)集N*上的抽象函數(shù),用數(shù)列中的遞推法來探究，如果給出的關系式具有遞推性，也常用遞推法來求解.四、例題(lt)精析例1 【題干】若函數(shù)(hnsh)y = f（x）的定義域是2，2，則函數(shù)y = f（x+1）+f（x1）的定義域為 。【規(guī)范(gufn)解

5、答】f(x)的定義域是，意思是凡被f作用(zuyng)的對象都在 中。 所以-2x+12,-2x-12, 所以-3x1,-1x3,交集得-1x1【總結與反思(fn s)】已知f(x)的定義域是A，求的定義域問題，相當于解內(nèi)函數(shù)的不等式問題例2 【題干】已知函數(shù)(hnsh)的定義域為3，11，求函數(shù)f(x)的定義域 。【規(guī)范(gufn)解答】已知函數(shù)(hnsh)的定義域是A，求函數(shù)f(x)的定義域。相當于求內(nèi)函數(shù)的值域。 解得【總結與反思(fn s)】一般地，已知函數(shù)的定義域是A，求f（x）的定義域問題，相當于已知 中x的取值范圍為A，據(jù)此求的值域問題例3 【題干】對任意實數(shù)x,y，均滿足f(x

6、+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)0,則f(2001)=_.【規(guī)范(gufn)解答】 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f(1)2, 令x=y=0,得：f(0)=0,f(1)=,【總結與反思(fn s)】這種求較大(jio d)自變量對應的函數(shù)值，一般從找周期或遞推式著手，由于求的是f(2009)，可由y=f-1(x+2)求其反函數(shù)y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通過遞推可得f(2009)=-4918.例4 【題干】設函數(shù)f（x）定義于實數(shù)集上，對于任意實數(shù)x、y，總成立，且存在，使得，求函數(shù)的值域?！疽?guī)范(gufn)解答】 令x=0,

7、y=1,得f(0+12)=f(0)+2f(1)2, 令x=y=0,得：f(0)=0,f(1)=,【總結與反思(fn s)】令，得，即有或。 若，則，對任意(rny)均成立，這與存 在實數(shù)，使得成立矛盾，故，必有。 由于對任意均成立，因此，對任意， 有 下面來證明(zhngmng)，對任意 設存在(cnzi)，使得(sh de)，則 這與上面已證的矛盾，因此，對任意，所以 在處理抽象函數(shù)的問題時，往往需要對某些變量進行適當?shù)馁x值，這是一般向特殊轉化的必要手段。例5 【題干】設對滿足(mnz)x0,x1的所有實數(shù)(shsh)x，函數(shù)f(x)滿足, ,求f(x)的解析(ji x)式?！疽?guī)范(gufn

8、)解答】（2）（3）【總結與反思(fn s)】通過(tnggu)換元及解方程組的方法可求表達式。怎樣實現(xiàn)由兩個變量向一個變量的轉化是解題關鍵。通常，給某些變量適當賦值，使之在關系中“消失”，進而保留一個變量，是實現(xiàn)這種轉化的重要策略。五、課堂(ktng)運用【基礎(jch)】已知函數(shù)(hnsh)的定義域是1，2，求f（x）的定義域?！疽?guī)范(gufn)解答】的定義域是1，2，是指，所以(suy)中的滿足(mnz)，從而函數(shù)f（x）的定義域是1，42、已知定義域為的函數(shù)f（x），同時滿足下列條件：；，求f（3），f（9）的值?！疽?guī)范(gufn)解答】取，得 因為(yn wi)，所以(suy) 又取

9、，得 【鞏固(gngg)】1、R上的奇函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f-1(x),由y=f(x+1)與y=f-1(x+2)互為反函數(shù)，則f(2009)= .【規(guī)范(gufn)解答】由于(yuy)求的是f(2009)，可由y=f-1(x+2)求其反函數(shù)y=f(x)-2,所以(suy)f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通過遞推可得f(2009)=-4918.2已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)【規(guī)范(gufn)解答】令u=1+sinx,則sinx=u-1 (0u2),則f(u)=-u2+3u+1 (0u2)故f(x)=-x2+3x+1 (0u2)【解析(ji

10、x)】：換元法包括顯性換元法和隱性換元法，它是解答抽象函數(shù)(hnsh)問題的基本方法.【拔高(b o)】1、設的定義域為自然數(shù)集，且滿足條件,及=1,求【規(guī)范(gufn)解答】的定義域為N，取=1,則有 =1,=+2, 以上(yshng)各式相加，有=1+2+3+=2、已知是定義(dngy)在R上的不恒為零的函數(shù)(hnsh),且對于任意的都滿足(mnz): . (1)求的值; (2)判斷的奇偶性,并證明你的結論; (3)若,求數(shù)列的前項和.【規(guī)范(gufn)解答】（1）解：令，則 令，則 （2）證明(zhngmng)：令，則， 令，則 是奇函數(shù)。 （3）當時，令，則 故，所以(suy)，故課程(kchng)小結這節(jié)課講解(jingji)了抽象函數(shù)的定義域 、求值問題(wnt) 、值域問題、解析式問題及其方法抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一.抽象性較強，靈活性大,解抽象函數(shù)重要的一點要抓住函數(shù)中的某些性質，通過局部性質或圖象的局部特征，利用常規(guī)數(shù)學思想方法（如