1、關(guān)于光的電磁理論基礎(chǔ)第一張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月因此本課程的結(jié)構(gòu)安排主要突出了以下幾點(diǎn)： 光的電磁理論基礎(chǔ)波動方程，光波在無界空間(真空及無限大均勻各向同性介質(zhì))中的傳播，光波在界面上(介質(zhì)及金屬)的反射和折射特性，光波在有界空間(波導(dǎo))中的傳播，光波在各向異性介質(zhì)空間(晶體)中的傳播，光波場的疊加與相干性，光子特性等。上述內(nèi)容基本上包含了現(xiàn)代光學(xué)各個分支的基礎(chǔ)內(nèi)容。希望本課程在強(qiáng)調(diào)光學(xué)的系統(tǒng)性、簡潔性、時代性及應(yīng)用性的同時，能夠以全新的概念給同學(xué)建立起一個從經(jīng)典光學(xué)到現(xiàn)代光學(xué)的簡明的系統(tǒng)理論構(gòu)架。為后續(xù)的相關(guān)課程，奠定必要的理論基礎(chǔ)。第二張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022

2、年6月教材及學(xué)生必讀參考資料：1教材： 趙建林，高等光學(xué)，國防工業(yè)出版社 季家镕，高等光學(xué)教程，科學(xué)出版社 M.波恩、E.沃耳夫，光學(xué)原理，科學(xué)出版社2參考書籍、資料： 謝建平，近代光學(xué)基礎(chǔ)，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社 蘇顯渝、李繼陶，信息光學(xué)，科學(xué)出版社 朱自強(qiáng)等，現(xiàn)代光學(xué)教程，四川大學(xué)出版社 鐘錫華，現(xiàn)代光學(xué)基礎(chǔ)，北京大學(xué)出版社第三張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月第1章 光的電磁理論基礎(chǔ) 按照經(jīng)典物理學(xué)觀點(diǎn)，光是一種波長極短的電磁波。光的傳播與電磁波的傳播服從同一規(guī)律。光與物質(zhì)相互作用現(xiàn)象實際上就是電磁場與物質(zhì)相互作用的結(jié)果。也就是說，一切經(jīng)典的光現(xiàn)象，如干涉、衍射、偏振、反射、折射

3、、色散、成像等，均可以由電磁場理論給以解釋。所以，討論光的經(jīng)典傳播問題時，都以電磁場理論為其基礎(chǔ)，而電磁場理論又以麥克斯韋（Maxwell)方程組為基礎(chǔ)，故麥克斯韋方程組是研究光波傳播規(guī)律的基礎(chǔ)之基礎(chǔ)。本章將從麥克斯韋方程組出發(fā)，建立自由空間光波場所滿足的波動方程。第四張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.1電磁場的基本方程111麥克斯韋方程組 眾知，描述電磁場的主要特征量是電場強(qiáng)度矢量E、電位移矢量D、磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B及磁場強(qiáng)度矢量H。其中E和B為基本特征量， D 和H 為輔助量（所有矢量均以粗體表示）。電場與磁場之間由麥克斯韋方程組相聯(lián)系，其積分形式包括如下4個方程：第五張，PPT

4、共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 方程組第1式來自法拉第(Faraday)電磁感應(yīng)定律，其實質(zhì)即變化的磁場產(chǎn)生變化的電場。微分式(112a)的意義是電場強(qiáng)度矢量的旋度等于磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間的變化率(負(fù)值)。對上述積分應(yīng)用斯托克斯公式和高斯公式：可得到微分形式的麥克斯韋方程組:第六張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月方程組第2式來自安培(Ampere)環(huán)路定律，其實質(zhì)即由電流場或變化的電場產(chǎn)生變化的磁場。其中積分式(111b)的意義是磁場強(qiáng)度沿閉合環(huán)路的積分等于該環(huán)路所包圍的電流強(qiáng)度之代數(shù)和。這些電流包括傳導(dǎo)電流和位移電流兩部分，前者代表穩(wěn)恒電流場，后者代表變化的電場。微分式(112b)的意

5、義是磁場強(qiáng)度之旋度等于引起該磁場的傳導(dǎo)電流密度和位移電流密度之和。方程組第3式來自電場的高斯(Gauss)定理。其中積分式(111c)的意義是穿過閉合曲面的電位移通量等于該曲面所包圍空間體積內(nèi)的自由電荷的代數(shù)和。微分式(112c)的意義是電位移矢量的散度等于空間同一處的自由電荷密度。方程組第4式來自磁場的高斯定理。其中積分式(111d)的意義是穿過任一閉合曲面的磁感應(yīng)通量等于0。微分式(112d)的意義是磁場中任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度之散度恒等于0。第七張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月可以看出：由麥克斯韋方程組給出的4個場量中1）電場強(qiáng)度矢量E是一個渦旋場，相應(yīng)的電位移矢量D則是一個有源場

6、，這與靜電場不同。2）磁場強(qiáng)度矢量H 與磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B均是一個有旋無源場。 可以證明，4個方程式中只有2個是獨(dú)立的。 分別對(112a)式和(112b)式取散度，可得：顯然，由（1.1.3)式直接可得出(1.1.2d)式；由（1.1.4)式并利用電荷守恒定律即可得出(1.1.2c)式。第八張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月綜上所述，僅由麥克斯韋方程組給出的這4個方程還不足以求解出描述電磁場的4個場量E 、 D 、 B和H 。為此，還需給出4個場量之間的關(guān)系。一般地，電場強(qiáng)度矢量E與電位移矢量D 、磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B與磁場強(qiáng)度矢量H 之間的關(guān)系與電磁場所處的空間介質(zhì)有關(guān)，因而稱這些關(guān)系為

7、電磁場的物質(zhì)方程或介質(zhì)的電磁性質(zhì)方程。1.1.2 電磁場的物質(zhì)方程 (1)真空中式中 分別稱為真空介電常數(shù)和真空磁導(dǎo)率。第九張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 (2)均勻各向同性介質(zhì)中 進(jìn)入某種介質(zhì)的電磁場將與該介質(zhì)發(fā)生相互作用，最終導(dǎo)致介質(zhì)被極化。當(dāng)這種極化僅取決于作用場強(qiáng)大小，而與場量的作用方向及位置無關(guān)時，則稱這種介質(zhì)為均勻各向同性介質(zhì)。極化特性與作用場頻率無關(guān)的介質(zhì)稱為無色散介質(zhì)，與作用場頻率有關(guān)的介質(zhì)稱為色散介質(zhì)。式中 和 分別稱為介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率， 分別稱為介質(zhì)的相對介電常數(shù)和相對磁導(dǎo)率。 在線性極化條件下，對于均勻各向同性的無色散介質(zhì)，電磁場的物質(zhì)方程可表示為：第十

8、張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 對于均勻各向同性的色散介質(zhì)，介電常數(shù)和磁導(dǎo)率一般是電磁場頻率的函數(shù)。此時，上述物質(zhì)方程只對單個頻率成立(場量僅對應(yīng)單個頻率成分)，即：(1.1.8a)(1.1.8b)第十一張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 對于一個具有各種頻率成分的非正弦變化的電磁場:物質(zhì)方程不再成立。 對于一般非磁性介質(zhì): 對于導(dǎo)電介質(zhì)(導(dǎo)體)，還有如下方程： (119)此即歐姆定律的微分式，其中 稱為導(dǎo)體的電導(dǎo)率。第十二張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 (3)非均勻各向同性介質(zhì)中 非均勻各向同性介質(zhì)中，電磁場的極化與方向無關(guān)，但與作用位置及場強(qiáng)大小有關(guān)。因而其

9、介電常數(shù)和磁導(dǎo)率都是位置矢量的函數(shù)，于是有：第十三張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月(4)均勻各向異性介質(zhì)中 均勻各向異性介質(zhì)的特點(diǎn)是：電磁場的極化與作用位置無關(guān)，但與方向有關(guān)。因而電位移矢量與電場強(qiáng)度矢量之間的關(guān)系較為復(fù)雜，一般可表示為：式中 為二階張量，稱為介電張量。一般情況下，介電張量由9個非0元素構(gòu)成，即：若選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)方向，如以晶體的介電主軸為坐標(biāo)軸(簡稱主坐標(biāo)系)，則介電張量可簡化為一個只有3個非0元素的對角張量，即： (1.1.11)第十四張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月對于雙軸晶體，其在主坐標(biāo)系的3個介電張量元素互不相等。為便于討論，一般按大小順序確定其角標(biāo)

10、，即 或 。前者稱為正晶體，后者稱為負(fù)晶體。對于單軸晶體，其在主坐標(biāo)系的介電張量元素 ，因而介電張量還可進(jìn)一步簡化為：第十五張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 綜上所述，電磁場的物質(zhì)方程反映了所處介質(zhì)的宏觀電磁性質(zhì)。 在真空以及各向同性介質(zhì)中，電位移矢量D與電場強(qiáng)度矢量E之間、磁感應(yīng)強(qiáng)度B與磁場強(qiáng)度H之間均呈現(xiàn)線性關(guān)系，且方向一致； 在各向異性介質(zhì)中， D與E及B與H之間仍呈現(xiàn)線性關(guān)系，但方向卻一般不同。 然而必須注意，上述給出的D與E及B與H之間的線性關(guān)系只在一般的弱電磁場中成立。在強(qiáng)電磁場作用下，許多介質(zhì)會呈現(xiàn)更為復(fù)雜的非線性關(guān)系。亦即D 不僅與E的一次方有關(guān)，而且還與E的二次、三

11、次甚至更高次方有關(guān)。在鐵磁物質(zhì)中， B與H的關(guān)系也呈現(xiàn)非線性特征。此外，近年來發(fā)現(xiàn)的各種光折變介質(zhì)中，盡管作用光場很弱，但卻同樣呈現(xiàn)非線性特征。所有這些內(nèi)容均屬于非線性光學(xué)范疇。第十六張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月113電磁場的邊值關(guān)系 當(dāng)電磁場穿越兩種介質(zhì)的分界面時，一般來講，會在分界面上引起束縛面電荷和電流分布，從而使分界面兩側(cè)電磁場量發(fā)生躍變而不連續(xù)。因此，研究電磁場在有界空間的特性時，有必要先確定出分界面兩側(cè)電磁場量與分界面上電荷、電流分布的關(guān)系。這一關(guān)系可由積分形式的麥克斯韋方程組給出，即：式中n為界面法線方向單位矢量， 為界面上的傳導(dǎo)電流線密度， 為自由電荷體密度。當(dāng)不

12、存在自由電荷、電流分布時，(1115)式可簡化為：第十七張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月式中n、t分別表示場的法向和切向分量。上式表明，當(dāng)界面上不存在自由電荷、電流分布時，電場強(qiáng)度矢量和磁場強(qiáng)度矢量在切線方向連續(xù)，電位移矢量和磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量在法線方向連續(xù)。第十八張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.2 無源空間中的電磁波動方程 當(dāng)空間無自由電荷、傳導(dǎo)電流分布時，即 時，則麥克斯韋方程組可簡化為如下形式： 可見，在無源空間中，磁場與電場的分布具有類似的形式，且麥克斯韋方程組為齊次形式。第十九張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.2.1 空間為真空 取上述齊次麥克斯韋方程

13、組中(121a)式的旋度并利用物質(zhì)方程(117)式，可得：分別將(121b)式和(121c)式代入(122)式的右、左端，并利用物質(zhì)方程(116)式得：由此得到電場所滿足的波動方程為：第二十張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月取常數(shù)：則波動方程式(123a)和(113b)可化簡為：顯然，這對方程給出了一組在真空中隨時間和空間作周期性變化的電磁波動。式中的常數(shù)c正是該波動在真空中的傳播速度，它等于真空介電常數(shù) 與真空磁導(dǎo)率 兩者乘積開方的倒數(shù)。第二十一張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月表示電磁場在介質(zhì)中的傳播速度，其中最后一個等號成立于非磁性物質(zhì)中。1.2.2 空間為無色散的均勻各

14、向同性介質(zhì) 對于均勻各向同性的無色散介質(zhì)，其介電常數(shù) 和磁導(dǎo)率 與電磁場的頻率 無關(guān)，于是有：(1.2.6)其中：(1.2.7)第二十二張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.2.3 空間為有色散的均勻各向同性介質(zhì) 對于色散介質(zhì)，其介電常數(shù) 和磁導(dǎo)率 都是電磁場頻率 的函數(shù)。這樣，一個具有各種頻率成分的非正弦變化的電磁場(非定態(tài)場)，其場量E(t)和D(t)、B(t)和H(t)之間不再具有物質(zhì)方程所確定的簡單線性關(guān)系，因而在此類介質(zhì)中電場強(qiáng)度矢量E(t)和磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B(t)不再滿足由(1.2.6)式所確定的波動方程。然而，按照線性疊加原理，一個隨時間任意變化的非定態(tài)波場可以看成是由各

15、種具有恒定頻率成分的簡諧波場(定態(tài)波場或單色波場)的線性疊加。假設(shè)某一定態(tài)電磁波場的圓頻率為 ，其電場強(qiáng)度矢量和磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量分別表示為：(1.2.8)第二十三張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月則一個非定態(tài)場的電場強(qiáng)度矢量和磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量可分別表示為：(1.2.9)單色波的波動方程應(yīng)具有與(1.2.6)式相同的形式，即：(1.2.10)第二十四張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月所不同的是(1.2.10)式中的速度只對應(yīng)于圓頻率為 的單色波場。將(1.2.8)式代入(1.2.10)式并消去時間因子，可得：此即一定頻率的電磁波所滿足的基本方程定態(tài)波動方程，通常稱之為亥姆霍茲(Hel

16、mholtz)方程。亥姆霍茲方程的解E(r)、B(r)表征了給定頻率的電磁波場在空間的分布情況，每一種可能的形式稱為電磁波的一種模式或波型。式中k表示圓頻率為 的單色波的(角)波數(shù)。其值為：(1.2.10)(1.2.11)第二十五張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月注意: 由于在導(dǎo)出方程式(1211)的過程中曾利用了條件 和 ，而亥姆霍茲方程本身的解并不能保證 和 成立，故亥姆霍茲方程的解必須再加上條件 和 ，才代表電磁波場的解。其次，求解定態(tài)波動方程時，實際上只需要求解其中的一個場量(E或B)方程，而另一個場量則可以直接根據(jù)麥克斯韋方程組導(dǎo)出。 如若已知E (或B)矢量的解，則將其代入

17、麥克斯韋方程組，便可得B(或E)矢量的解為：第二十六張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.2.4 空間為無色散的非均勻各向同性介質(zhì)對于無色散的非均勻各向同性介質(zhì)，代入麥克斯韋方程組第3式得：再取麥克斯韋方程組第1式的旋度并將上式代入，得：第二十七張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月同樣，由麥克斯韋方程組第4式得： 對麥克斯韋方程組第2式取旋度并將上式代入，得：第二十八張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月即：因此，對于無色散的非均勻各向同性介質(zhì)，波動方程為：第二十九張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.3 有源空間中的電磁波動方程第三十張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于20

18、22年6月1.3.1 電磁場的矢勢與標(biāo)勢 麥克斯韋方程組第4式表明，無論對穩(wěn)恒場還是迅變場，磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B的散度始終等于0，因此，磁場是一個有旋無源場。由矢量分析理論可知，散度等于0的矢量可以看作是某個矢量A的旋度，故可將磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B表示為：(1.3.1)這里定義矢量A為電磁場的矢勢。 在靜電場中，電場是一保守場，故電場強(qiáng)度可用一個標(biāo)量函數(shù)即電勢來描述。在迅變場中，電場不僅由電荷激發(fā)，而且也可能由變化的磁場激發(fā)，因而不再是一個保守場，但也不是一個有旋無源場。這樣，電場就不能用一個單一的標(biāo)量或矢量來描述。將上式代入麥克斯韋方程組第1式得：第三十一張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月顯

19、然， 為一無旋場，故可表示為某一標(biāo)量場的梯度，即：與矢勢A對應(yīng)，這里定義函數(shù) 為電磁場的標(biāo)勢。1.3.2 洛倫茲規(guī)范與庫侖規(guī)范 標(biāo)勢 的引入僅僅是為了簡化電磁場問題的求解，并不具有電勢能的意義，因為這里的電場E并非保守場。在變化著的電磁場中，電場和磁場是相互作用的整體，故需把矢勢和標(biāo)勢也作為一個整體來描述電磁場。然而必須注意，用矢勢A和標(biāo)勢 可以替代電場E和磁場B描述電磁場，但這種代替并不是唯一的，即給定E和B并不對應(yīng)唯一的A和 。這是因為當(dāng)(1.3.2)式成立時，若給其加上任意一個滿足 的矢量函數(shù) 時，同樣有：第三十二張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月故仍然不能解出一個確定的E。 因

20、此，需要對矢勢A加上一個約束條件，或曰規(guī)范。常用的規(guī)范條件有兩種，即洛倫茲規(guī)范和庫侖(Coulomb)規(guī)范，分別表示為：在這種規(guī)范下，矢勢A為無源場，因而(1.3.4)式中第2項( )也為無源場，而第1項( )為無旋場。前者對應(yīng)于感應(yīng)電場，即變化磁場產(chǎn)生的渦旋電場，而后者則對應(yīng)于庫侖場。第三十三張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月顯然，由(1.3.6)式和(1.3.7)式給出的不同規(guī)范條件對應(yīng)著不同的一組矢勢和標(biāo)勢解(A， )，但卻對應(yīng)著同一組電場E和磁場B。這說明用勢函數(shù)描述電磁場時，可以有不同的規(guī)范選擇。但無論對勢函數(shù)取何種規(guī)范，所描述的物理量和物理規(guī)律都應(yīng)保持不變，這種不變性稱為規(guī)

21、范不變性。 從數(shù)學(xué)上也可以這樣來理解這種規(guī)范變換的自由性：在引入矢勢A時只給出了其旋度而沒有給出其散度，而僅有旋度是不足以確定一個矢量場的。為了確定矢勢A，必須再給出其散度。而電磁場E和B本身對A的散度并沒有任何限制。因此作為確定矢勢A的輔助條件，我們可以取其散度為任意值，每一種選擇就對應(yīng)一種規(guī)范，但不同規(guī)范又都對應(yīng)著同一組E和B。至于實際中究竟選取哪一種規(guī)范，要視所求解問題的方便而定。第三十四張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 矢勢A和標(biāo)勢 的引入并采取適當(dāng)?shù)囊?guī)范條件可使基本方程的求解得到簡化。滿足洛倫茲規(guī)范條件的矢勢A和標(biāo)勢 稱為洛倫茲規(guī)范下的矢勢和標(biāo)勢。將洛倫茲規(guī)范分別代入麥克斯

22、韋方程組的第2和第3式，并利用物質(zhì)方程，可分別得到A和 滿足的波動方程:1.3.3 達(dá)朗貝爾方程這樣，由電場強(qiáng)度矢量E和磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B所滿足的波動方程便簡化為矢勢A和標(biāo)勢 所滿足的波動方程。通常將這組方程稱為達(dá)朗貝爾(dAlembert)方程。由達(dá)朗貝爾方程求出矢勢A和標(biāo)勢 ，便可進(jìn)一步由其定義(1.3.4)式和(1.3.1)式分別求出電場強(qiáng)度矢量E和磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B的表達(dá)式。第三十五張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.4 電磁場的能量和能流 通常用能量密度和能流密度分別描述電磁場的儲能和能量的傳播性質(zhì)。第三十六張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月能量密度定義為單位體積內(nèi)的電磁場能量，用w表示，一般情況下w 是空間位置和時間