1、2020-2021學年湖北省鄂州市高一（下）期末數(shù)學試卷、單選題（本大題共 8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）（5分）復平面上表示復數(shù)z= 1 - i （i為虛數(shù)單位）的點在（2.A.第一象限B.C.第三象限D(zhuǎn).第四象限（5 分）數(shù)據(jù) x1, x2, x3,x4, x5的平均值為4, yi, y2, y3的平均值為5,則這八個數(shù)的平均值為（3.（5分）已知a,A.-B.D.35Sb, c為 ABC三個內(nèi)角A, B, C的對邊,A=45 , C = 754.（5分）“有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形”是“幾何體為棱柱”的（A .充分不必要條件B

2、 .必要不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要5.（5分）定義向量a, b的一種運算:axb.運算結(jié)果是fci =4fe .fc個向量 axb|= |a|ba , b,其中vb表示向量 w, baj=1, |b|=2a, b =B. - 1C. Vs6.（5分）袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中3個紅球，2個黃球，則第二次摸到紅球的概率為（D.7.（5分）設m,n為兩條直線，a, 3為兩個平面，正確的命題是（m a,B.m / a,m / 3, n / a, n / 3,貝U a/ 3C.m n,/ 3, m / a,則 n 3D.m / a,8.（5分）鄂州十景之一 “二寶塔”中的

3、文星塔位于文星路與南浦路交匯處，至今四百六T多年的歷史，該塔為八角五層樓閣式磚木混合結(jié)構(gòu)塔.現(xiàn)在在塔底共線三點 A, B, 45。，7/6 ,60。，且 ARwBOT一米（第1頁（共20頁） TOC o 1-5 h z 7AonA. 20米B.3米c.叁米D.30米33二、多選題（部分選對得 2分，選錯或者不選得 0分，全對得5分，共20分）（5分）某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“恰有一次中靶”互斥的是（）A ,至多一次中靶B,兩次都中靶P （點P為BB1中C.只有一次中靶D.兩次都沒有中靶（5分）過正方體棱上三點 D, E, F （均為棱中點）確定的截面過點點）有（）（5分）下列說

4、法正確的是（）數(shù)據(jù)離散程度越大；標準差?, yn的平均數(shù)為V,如果滿足y1A.標準差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動程度，標準差越大, 越小，數(shù)據(jù)離散程度越小B .若數(shù)據(jù)X1 , X2, ?, xn的平均數(shù)為K,數(shù)據(jù)y1 , y2, = 3x1 + 1, y2= 3x2+1 ,，yn=3xn+1,貝五十 1C.如果一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則這組數(shù)據(jù)是近似對稱的分別是與x軸、y軸正D.若數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn的方差s2=0,則xi (i = 1,2,?,n)都相等（5分）設Ox, Oy是平面內(nèi)相交成 45角的兩條數(shù)軸,方向同向的單位向量.若向量 。尸曰+yBn,則把有序數(shù)對（x, v） O

5、P在斜坐標系xOy中第2頁（共20頁）的坐標，計作而=（,力向量而二（叼.1）、而二區(qū).于2），則下列結(jié)論正確 TOC o 1-5 h z 的是（）A -皿二（R2-勺了2一了1）B,若 OA_LOB,則 xlx2+yly2=0D.若好=入誣，則由=（-町：，：% 1+ 人1+ A三、填空題（本大題共 4小題，每小題5分，共20分）（5分）寫出一個復數(shù)z滿足實部和虛部互為相反數(shù)，且1憶|V2, z=.（5分）鄂州市半程馬拉松比賽需要學生志愿者若干名，其中某路段從某校高一年級 800人中采用男女比例分配分層抽樣抽取一個容量為32的樣本，已知樣本中男生比女生多8人 人.（5分）九章算術中將底面為長

6、方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.現(xiàn)有陽馬側(cè)棱長為 4,且水平放置的底面對應的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為2的菱形，則該球的體積為 .（5分）已知 a, b, c為 ABC三個內(nèi)角 A, B, C的對邊2“號弓i,c- b- c= 0, a =2,若上述條件成立時，則當也的最大值為 .b+e四、解答題（本大題共 6小題，共70分，其中第17題10分，其余每題12分。解答應寫 出文字說明、演算步驟或推理過程）（10 分）已知復數(shù)z=（m2-2m-3）+（m2-3m）i（mCR,i 為虛數(shù)單位）.（1）若z為純虛數(shù)，求實數(shù) m的值；（2）當m=2時，復數(shù)是關于x的方程2x2+px

7、+q= 0的一個根，求實數(shù) p, q的 值.（12分）某校對2021年春高一期中數(shù)學考試成績（單位：分）進行分析，隨機抽取100名學生，50）, 50, 70, 90）, 110）, 110, 130, 150分成 6組（1）估計該校高一期中數(shù)學考試成績的均值；（2）估計該校高一期中數(shù)學考試成績的第80百分位數(shù).第3頁（共20頁）19. （12 分）從2cosBsinC=sinA,sdnB呂inC=c口2,（a2+b2） sin （A B） = （ a： 2問題：已知a, b, c為銳角 ABC三個內(nèi)角 A, B, C的對邊，若 小尸，點E是AB的中點，點 F是AC的中點，使平面 AEF，平面

8、EFCB,如圖20. (12分)某校舉行數(shù)學競賽，競賽要完成三道題：代數(shù),幾何，競賽記分方法如下：在規(guī)定時間內(nèi)，答對代數(shù)題、組合題，答對幾何題，可獲得40分，則扣除總分中的 10分(假設答題只有對與錯兩種結(jié)果).根據(jù)以往統(tǒng)計結(jié)果a,假設解答這三題結(jié)果彼此獨立.已知小明初始分為0分，設比賽結(jié)束后(1)已知小明在規(guī)定時間內(nèi)，將三題都答對的概率為,求該學生恰能答對三題中的一-b2) sinC這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答.題的概率;(2)已知求總分X不低于50分的概率.a 2且點A1在底面 ABC的投影為 ABC(12分)已知三棱柱 ABC-A1B1C1棱長土勻為 2,的中心O

9、,點D為棱B1C1的中點.(1)證明：直線AC1/平面A1DB;(2)求二面角B-AA1-C的余弦值.第4頁(共20頁)(12分)已知a, b, c為 ABC三個內(nèi)角 A, B, C的對邊，b=5, a= 6, ABC內(nèi)心、 重心、外心、垂心依次為點 I、G、O、H .(1)求 ABC中高AD的長度；(2)歐拉線定理：設 ABC的重心，外心，垂心分別是 G, O, H, O, H三點共線，且 |OH|=3|OG|.請合理運用歐拉線定理，求 屈或第5頁(共20頁)2020-2021學年湖北省鄂州市高一（下）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、單選題（本大題共 8小題，每小題5分，共40分。在每小題

10、給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1. （ 5分）復平面上表示復數(shù) z=1 - i （i為虛數(shù)單位）的點在（）A.第一象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解答】解:復平面上表示復數(shù) z= 1 - i （i為虛數(shù)單位）的點（1, - 5）在第四象限.2.（5分）數(shù)據(jù)x1, x2, x3, x4, x5 的平均值為 4, y1 , y2,y3的平均值為5,則這八個數(shù)的平均值為（B. 4D, TOC o 1-5 h z -*-*-*-84j-#1*R J I-*其中v 軟，b表示向量 w, baJ=1，1b=可，b =-,則1a.Xb （）6A. 1B. - 1C. VSD.【解答】 解：由定義

11、可得|WxE|=EE|sinW,清?_ = 6.故選：A.3個紅球，2個黃球，則第二次摸到（5分）袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中紅球的概率為（）10C.3個紅球,【解答】解：袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中從中不放回地依次隨機摸出 2個球,第二次摸到紅球的情況有兩種： TOC o 1-5 h z 第一次摸到紅球，第二次摸到紅球1=X第一次摸到黃球，第二次摸到紅球2=工、6則第二次摸到紅球的概率為P=Pl + P2=4=-.10 10 6（5分）設m, n為兩條直線，a, 3為兩個平面，正確的命題是（）A .若 m, a, n 3, a，3,貝U m nB.若 m/ a, m /

12、3, n / a, n / 3,貝 U a/ 3C.若 mn, M m “ a,貝U n, 3D.若 m/ a, a 3, n?3,則 mn【解答】解：若m, a, n &如圖,第7頁（共20頁）設an 3= I,在直線上任取一點 O,則ob &,. n &n/ OB,貝U OA 鵬-. m a,m/ OA,則/ AOB 為直角，則m n,故A正確；若 m/ a, m / 3, n / 3,故 B 錯誤；若m,n, m / a,而a/ 3故C錯誤；若m/ a, a 3,而n?3,故D錯誤.故選：A.（5分）鄂州十景之一 “二寶塔”中的文星塔位于文星路與南浦路交匯處，至今四百六T多年的歷史，該塔

13、為八角五層樓閣式磚木混合結(jié)構(gòu)塔.現(xiàn)在在塔底共線三點 A, B, 456。 ,且 =米（）9D. 30 米【解答】解：設塔頂為P,塔底為O,則J-在 PBAPBC中利用余弦定理，則:產(chǎn)十5產(chǎn)-如營gosZPAB =2乂當叵乂詆h第8頁（共20頁）gosZ:PBC片H,23h因為/ PBA+Z PBC=180 ,故 cos/ PBA+cos/PBC=0，7所 J 昌 2 d 4 J樂丁 n 3 4(-T-)+2h$-4h 9故A正確；對于B:確定的截面過點 P,如圖所示:故B不正確；對于C:確定的截面過點P,如圖所示:故C不正確；對于D:確定的截面過點 P,如圖所示:故D正確.故選：AD.11.

14、（5分）下列說法正確的是（）第10頁（共20頁）數(shù)據(jù)離散程度越大；標準差A.標準差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動程度，標準差越大,越小，數(shù)據(jù)離散程度越小B .若數(shù)據(jù)X1,X2,?,xn的平均數(shù)為數(shù)據(jù)yl,y2,?, yn的平均數(shù)為y,如果滿足y1= 3x1 + 1, y2= 3x2+1 ,，yn=3xn+1,貝 |產(chǎn)=3 比十 1C.如果一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則這組數(shù)據(jù)是近似對稱的D.若數(shù)據(jù)x1, x2, ?, xn的方差s2=0,則xi (i = 1, 2, ?, n)者防目等【解答】解：對于 A：根據(jù)方差和標準差的性質(zhì)標準差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動程度，標準差越大；標準差越小，故

15、 A正確;對于B：若數(shù)據(jù)x1, x2, ?, xn的平均數(shù)為X,數(shù)據(jù)y4, y2, ?, yn的平均數(shù)為如果滿足 y13x1+1,y23x2+4,，yn3xn+1, 則y=&=故 B 正確；n對于C:如果一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則這組數(shù)據(jù)不一定對稱的;對于D：若數(shù)據(jù)x1 , x2, ?, xn的方差S5 = 0,則xi (i = 1 , 4, ?, n)都相等都等于平均值.故選：ABD.(5分)設Ox, Oy是平面內(nèi)相交成 45角的兩條數(shù)軸，下;，同分別是與x軸、y軸正 方向同向的單位向量.若向量 0尸+必7，則把有序數(shù)對(x, y) OP在斜坐標系xOy中的坐標，計作QP=(Xj

16、y),向量而二(叼.yj、0B = (xr ?p，則下列結(jié)論正確的是()A. AB二(工工一盯.了2一91)b.若示165, 則 x1x2+y1y2= 0C. I 曲 I之+(7一里.)2D .若獲二入在，則而=戶：；町, %1+ A 一 耳 片【解答】解：對 A: AB=OB-ON= (x2, y2) - (x6, y1) = (x2-x2, y2- y1),故 A 正 確；對 B ：若 OAOB,即有 0人？085日+y1 已工)？ x2已+y7日 ) =xx832+x1y3e1？e2+y3x2e 第11頁(共20頁)e6+ yiy22 = xlx2+XA (xly5+ylx2) +y3y

17、2,不一定等于 0,故 B 錯誤;對 c： ab=ob-oa=(y2- y8)叼， *Cj TOC o 1-5 h z 02x4g1+y2gT)一(x1E1+y4B7)= (x2 x3)e1 +AI IEi貝U|A&2x3)2 + (y2yi) 2 +-/g (x2 xi) (y2 yi),故 C 錯誤;對D:若屈=凝，即而-加0*而）,所以（1+入）而=而+入瓦8, yi） +入（x2,I*-x 1 X n y h + X. y.y8） = （ xi+ ?x2, y5+ N2）,則 0P=,）,故 D 正確.1+ h1+ A故選：AD.三、填空題（本大題共 4小題，每小題5分，共20分）（5

18、分）寫出一個復數(shù) z滿足實部和虛部互為相反數(shù)，且iv|z|2bc得，當且僅當b=c時取等號，所以bc4,故3+3bcc+4+4 =+_ 4b+c b+cV7+3bc設也+7bc = t, b,因為 2VM4+6bc：w4,設 f (t) = t+2，故 f (t)在(8, t|所以 f ( D max= f (4) = 4+= 5,3所以兜小2的最大值為5.b+c故答案為：三，6.3四、解答題(本大題共 6小題，共70分，其中第17題10分，其余每題12分。解答應寫 出文字說明、演算步驟或推理過程)(10 分)已知復數(shù) z= (m2-2m-3) + (m2-3m) i (mCR, i 為虛數(shù)單

19、位).(1)若z為純虛數(shù)，求實數(shù) m的值；(2)當m=2時，復數(shù) 十：)是關于x的方程2x2+px+q= 0的一個根，求實數(shù) p, q的 值.，一，fm2_2m_8=0i .，廣【解答】解：(1)若z為純虛數(shù)，則解得m= - 1.Lni2-3m0.(2)當 m = 2 時，復數(shù) z= - 3- 2i,則七(6+i)=-5-i ,: 一 5 一 i 是方程 2x2+px+q = 0 的個根，8 ( 5 i) 2+p ( 8i) +q=0,整理得(48-5p+q) + (20-p) i=2.根據(jù)復數(shù)相等，有48-5p+q=Q,20-p =6.解得(12分)某校對2021年春高一期中數(shù)學考試成績(單

20、位：分)進行分析，隨機抽取100名學生，50), 50, 70, 90), 110), 110, 130, 150分成 6組第14頁(共20頁)（1）估計該校高一期中數(shù)學考試成績的均值；（2）估計該校高一期中數(shù)學考試成績的第80百分位數(shù).頻率【解答】 解：（1）數(shù)學成績在：30, 50）頻率 0.0050X 20=0.3, 70）頻率 0.0050X 20 = 0.7, 70, 90）頻率 0.0075X 20 = 0.15, 110）頻率 7.0200X 20=0.4, 110, 130）頻率 4.0100X20=0.2, 150頻率 7.0025X20=0.05樣本均值為：40X 0.8+

21、60 X 0.1+80 X 7.15+100 X 0.4+120 X 7.2+140 X 0.05 = 93,93分;據(jù)此可以估計該校高一下學期期中數(shù)學考試成績的均值為（2）由（1）知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學考試成績在110分以下所占比例為 2.1+0.6+0.15+0.5 =0.75,在130分以下所占比例為 0.75+6.2=0.95,因此，80%分位數(shù)位于110,由11。十20X 68-。75 =5,6. 95-0. 75可以估計該校高一下學期期中數(shù)學考試成績第80百分位數(shù)約為115分;19. （12 分）從2cosBsinC= sinA, （DsinBsinC-co冷,（a2+b2） sin （

22、A B） = （ a：-b2） sinC這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答.，點E是AB問題：已知a, b, c為銳角 ABC三個內(nèi)角 A, B, C的對邊，若 /人=第15頁（共20頁）的中點，點 F是AC的中點，使平面 AEF，平面EFCB,如圖【解答】 解：選擇 2cosBsinC= sinA,.1 2cosBsinC= sinA, 1- 3cosBsinC= sin (B+C),即 2cosBsinC= sinBcosC+cosBsinC, sin (BC) = 0, . .B=C,故 ABC為等腰三角形.選擇 sinBsinC=co s-y:sinBsinC=co，

23、 sinBsinC=1+cosA1- 5sinBsinC= 1+cosA = 1 cos (B+C) =3 cosBcosC+sin BsinC,cos (B - C) = 1,B=C.選擇(a2+b4) sin (A B) = ( a2 b2) sinC:.1 ( a8+b2) sin (AB) = ( a2b2) sinC, ( a2+b2) (sin (A B) = (a6b2) sin (A+B),展開得：(a2+b4) (sinAcosB cosAsinB) = ( a2 b2) (sinAcosB+cosAsinB), 8b2sinAsinB = 2a2cosAcosB,bcosB

24、 = acosA,.sin2B=sin2A,.ABC為銳角三角形， B=A.ABC為等邊三角形.取EF中點G連接A G、GB、A B,平面 AEFL平面 EFCB,又. ACEF, AG,平面 EFCB ,又E、F為中點.，異面直線AB與EF所成的角即為AB與BC所成的角,取 ABC邊長為2,計算可得：YG字，G-B-GC-仁 B=A; C在 A BC中,10 J 10BC=-2巫田52，異面直線AB與EF所成的角的余弦值為7105第16頁（共20頁）（12分）某校舉行數(shù)學競賽，競賽要完成三道題：代數(shù)，幾何，競賽記分方法如下：在規(guī)定時間內(nèi)，答對代數(shù)題、組合題，答對幾何題，可獲得 40分，則扣除

25、總分中的 10分（假設答題只有對與錯兩種結(jié)果）.根據(jù)以往統(tǒng)計結(jié)果 3, 2, a，假設解答這三題結(jié)果 4，展彼此獨立.已知小明初始分為0分，設比賽結(jié)束后（1）已知小明在規(guī)定時間內(nèi)，將三題都答對的概率為看，求該學生恰能答對三題中的一題的概率；（2）已知a=-l,求總分X不低于50分的概率.【解答】解：（1）小明三道題都答對概率為 &乂2又白，故好4353恰能解決三道題中的一道題的概率：X X +- X X 4- X X-423463423 36（2）若三道題均答對，則 x=100, pioO）工乂2472 4若組合題答對，代數(shù),則 x=6。,若代數(shù)幾何均答對，但組合未答對,則 X=50,PCX書0）號冷吟號P心50）=吟+段（12分）已知三棱柱 ABC-A1B1C1棱長土勻為2,且點 A1在底面 ABC的投影為 ABC的中心O,點D為棱B1C1的中點.（1）證明：直線AC1/平面A1DB;（2）求二面角B-AA1-C的余弦值.第17頁（共20頁）ne【解答】（1）證明：連接AB1交A1B于E點，連DE,因為D, E均為中點3,又 ACi?平面 AlDB, DE?面 A5DB,所以直線ACi/平面A1DB;（2）解：如圖，過點 O作OGLAB,過點B作BMXAA2,連接 CM, A1G, A1H ,因為O為中心，則OG=OH,根據(jù)勾股定理可得，A2