1、專題22內(nèi)切球與外接球的解題策略一【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握球的表面積體積公式2掌握恢復(fù)長(zhǎng)方體法求球的表面積及體積3掌握多面體與球問(wèn)題4掌握外接球與內(nèi)切球的解法二【典例分析及訓(xùn)練】（一）球相關(guān)問(wèn)題例1已知A，B，C是球面上三點(diǎn)，且，球心O到平面ABC的距離等于該球半徑的，則此球的表面積為ABCD【答案】D【解析】求出三角形ABC的外心，利用球心到ABC所在平面的距離為球半徑的，求出球的半徑，即可求出球的表面積【詳解】由題意AB6，BC8，AC10，62+82102，可知三角形是直角三角形，三角形的外心是AC的中點(diǎn)，球心到截面的距離就是球心與三角形外心的距離，設(shè)球的半徑為R，球心到ABC所在平面的距離為

2、球半徑的，所以R2（R）2+52，解得R2，R球的表面積為42故選：D【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積的計(jì)算，考查球的截面的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.練習(xí)1.已知球是正三棱錐（底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，點(diǎn)在線段AB【答案】B上，且C，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（）D【解析】先利用等邊三角形中心的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理計(jì)算得球的半徑，過(guò)的最大截面是經(jīng)過(guò)球心的截面，可由球的半徑計(jì)算得出.過(guò)最小的截面是和垂直的截面，先計(jì)算得的長(zhǎng)度，利用勾股定理計(jì)算得這個(gè)截面圓的半徑，由此計(jì)算得最小截面的面積.【詳解】畫(huà)出圖象如下圖所示，其中是球心，是等邊三角形的中心.根據(jù)等邊三角形中心的

3、性質(zhì)有，即，設(shè)球的半徑為，在三角形，解得，故最大的截面面積為中，由勾股定理得.在三角形中，由余弦定理得.在三角形中，,過(guò)且垂直的截面圓的半徑，故最小的截面面積為.綜上所述，本小題選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球的問(wèn)題，考查過(guò)一點(diǎn)球的截面面積的最大值和最小值問(wèn)題，屬于中檔題練習(xí)2.一平面截一球得到直徑為6cm的圓面，球心到這個(gè)圓面的距離是4cm，則該球的體積是()Acm3Bcm3Ccm3Dcm3【答案】C【解析】設(shè)球心為，截面圓心為，連結(jié)，由球的截面圓性質(zhì)和勾股定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出球半徑，再利用球的表面積和體積公式即可算出答案.如圖，設(shè)四個(gè)球的球心分別為A、B、C、D，則AD=AC=B

4、D=BC=5，AB=6，CD=4.設(shè)AB中點(diǎn)為E、CD中點(diǎn)為F，連接EFeqoac(,.)在ABF中求得BF=，在EBF中求得EF=.由于對(duì)稱性可得第五個(gè)球的球心O在EF上，連接OA、OD設(shè)第五個(gè)球的半徑為r，則OA=r+3，OD=r+2，于是OE=掉），故答案為.，OF=，OE+OF=EF，平方整理再平方得，解得或（舍點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)分析球心的位置，根據(jù)它們構(gòu)成的幾何體特征，轉(zhuǎn)化成平面幾何中三角形邊角關(guān)系，利用方程思想得解（三）多面體的最值與球問(wèn)題例3.點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球的球面上，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為（）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，結(jié)合

5、三角形面積及四面積體積的最值，判斷頂點(diǎn)D的位置；然后利用勾股定理及球中的線段關(guān)系即可求得球的半徑，進(jìn)而求得球的面積?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，畫(huà)出示意圖如下圖所示因?yàn)?，所以三角形ABC為直角三角形，面積為，其所在圓面的小圓圓心在斜邊AC的中點(diǎn)處，設(shè)該小圓的圓心為Q因?yàn)槿切蜛BC的面積是定值，所以當(dāng)四面體ABCD體積取得最大值時(shí)，高取得最大值即當(dāng)DQ平面ABC時(shí)體積最大所以所以設(shè)球心為O，球的半徑為R，則即解方程得所以球的表面積為所以選D【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的外接球面積的求法，主要根據(jù)題意，正確畫(huà)出圖形并判斷點(diǎn)的位置，屬于難題。練習(xí)1.三棱錐PABC中，PA,PB,PC互相垂直，M是線段BC上

6、一動(dòng)點(diǎn)，若直線AM與平面PBC所成角的正切的最大值是62，則三棱錐PABC的外接球的表面積是（）此時(shí)AP，PM，在直角PBC中，A2B4C8D16【答案】B【解析】M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PA,PB,PC互相垂直，AMP就是直線AM與平面PBC所成角，當(dāng)PM最短時(shí)，即PMBC時(shí)直線AM與平面PBC所成角的正切的最大66PM23三棱錐PABC擴(kuò)充為長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，三棱錐PABC的外接球的半徑為R1，三棱錐PABC的外接球的表面積為4R24選B.點(diǎn)睛:空間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形

7、與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解(2)若球面上四點(diǎn)P,A,B,C構(gòu)成的三條線段PA,PB,PC兩兩互相垂直，且，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用（四）多面體放入球中求球的表面積和體積求解例4.側(cè)棱和底面垂直的三棱柱ABC-A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，C1C=，則球O的表面積為A【答案】DBCD【解析】根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征，現(xiàn)求得三棱柱的底面正三角形的外接圓的半徑，在利用勾股定理求得外接球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.【點(diǎn)睛】本題考查了有關(guān)球的組合體問(wèn)題，以及三棱錐的體積的求法，解答時(shí)要認(rèn)真審題，注意球的性質(zhì)的合理運(yùn)用，求解球的組合體問(wèn)題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）利用球的截面的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列出方程求解球的半徑練習(xí)1.某棱錐的三視圖如下圖所示,則該棱錐的外接球的表面積為（）ABCD【答案】A【解析】分析：由三視圖可知該幾何體是如圖所示的三棱錐外接球球心在過(guò)中點(diǎn)且垂直于平面的直線上，可知是直線與面的交點(diǎn)，也是直線與直線外接球的表面積的交