1、 第七章 數(shù) 列 第一講 等差數(shù)列(dn ch sh li)基礎(chǔ)知識(shí)1等差數(shù)列(shli)的定義：對于一個(gè)數(shù)列，如果從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)（(常數(shù)(chngsh)），那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差。2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；3等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：4等差數(shù)列的性質(zhì)： （1）若，則； （2）若為等差數(shù)列（其中），則也為等差數(shù)列； （3）在等差數(shù)列中，以下數(shù)列也是等差數(shù)列：，； ，；，； ， （4）（）；5判斷和證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法 （1）定義法：(常數(shù)) （2）通項(xiàng)公式法：數(shù)列是等差數(shù)列（為常數(shù)，）； （3）中項(xiàng)公式法：典型例題：題型一 五個(gè)基本量的

2、有關(guān)計(jì)算例1（1）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（ ）A B C D（2）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,則=（）ABCD2（3）【2015高考安徽文】已知數(shù)列中，（），則數(shù)列的前9項(xiàng)和等于 .練習(xí)(linx)1（1）等差數(shù)列(dn ch sh li)中，首項(xiàng)(shu xin)公差，若，則A B C D（2）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)的和，則的值為（）A6 B C D （3）【2015高考北京理】設(shè)是等差數(shù)列. 下列結(jié)論中正確的是（ ）A若，則 B若，則C若，則 D若，則（4）【2015高考新課標(biāo)1文】已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，若，則（ ） （A） （B） （C） （D）題型二 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

3、例2.（1）若等差數(shù)列滿足，則當(dāng)_時(shí)，的前項(xiàng)和最大 （2）【2015高考陜西文】中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為_（3）在等差數(shù)列中，公差為，前項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，則的取值范圍_.（4）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,則的最小值為_.練習(xí)2.（1）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A12 B18 C24 D30（2）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則等于（）A10B19C20D39（3）下面(xi mian)是關(guān)于公差的等差數(shù)列(dn ch sh li)的四個(gè)命題(mng t): 其中的真命題為（ ）(A) (B) (C) (D)（4）設(shè)等差數(shù)列的公差

4、為d，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（ ）A B C D（5）等差數(shù)列共有項(xiàng),其中奇數(shù)項(xiàng)之和為319，偶數(shù)項(xiàng)之和為290，則其中間項(xiàng)為_題型三 等差數(shù)列的判定或證明例4（1）已知正數(shù)數(shù)列中，則_ （2）已知數(shù)列中，則_ （3）設(shè)實(shí)數(shù)a0，函數(shù)有最小值1.（ = 1 * ROMAN * MERGEFORMAT I）求a的值；（ = 2 * ROMAN * MERGEFORMAT II）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，令，證明:數(shù)列是等差數(shù)列.練習(xí)4數(shù)列中，前項(xiàng)和，（ = 1 * ROMAN * MERGEFORMAT I）證明(zhngmng)數(shù)列是等差數(shù)列(dn ch sh li)；（ = 2 * ROMAN * M

5、ERGEFORMAT II）求關(guān)于(guny)的表達(dá)式；課后練習(xí)1等差數(shù)列-6，-1，4，9，中的第20項(xiàng)為（ ）A、89 B、 -101 C、101 D、-892在-9與3之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成和為-21的等差數(shù)列，則n為A、 4 B 5 C、 6 D、不存在3.在等差數(shù)列中,若，則的值等于（ ）A.45 B.75 C.180 D.3004.若成等差數(shù)列，則x的值等于（ ） A.0 B. C. 32 D.0或32 5.在等差數(shù)列中，則的值為（ ）A.84 B.72 C.60 . D.486.在等差數(shù)列中，前15項(xiàng)的和 ，為（ ）A.6 B.3 C.12 D.4 7.等差數(shù)列中,

6、,則此數(shù)列前20項(xiàng)的和等于A.160 B.180 C.200 D.220第二(d r)講 等比數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)1定義(dngy)：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比值是同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做(jiozu)等比數(shù)列。即（,為常數(shù)，且）為等比數(shù)列或?yàn)槌?shù)，且成等比數(shù)列2通項(xiàng)公式：3前項(xiàng)和4性質(zhì)：（1）與的等比中項(xiàng)（）（2）若則特別地，若則（3）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為 ()，則，等比數(shù)列，公比為5判定方法：（1）定義法：（，是常數(shù)）是等比數(shù)列；（2）中項(xiàng)法：()且是等比數(shù)列.（3）通項(xiàng)公式法：為常數(shù)為等比數(shù)列；（4）前項(xiàng)和法：為常數(shù)為等比數(shù)列。典型例題：題型一 等比數(shù)列的基本計(jì)算例1. （1）求

7、下列等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，通項(xiàng)1，3，9，2187 （2）已知，且成等比數(shù)列(dn b sh li)，則的值等于(dngy)( )A12 B6 C12或6 D9（3）已知等比數(shù)列(dn b sh li)的前三項(xiàng)依次為，則（ ）A B C D練習(xí)1.（1）已知數(shù)列滿足,則的前10項(xiàng)和等于(A) (B) (C) (D)（2）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列,且,則數(shù)列的通項(xiàng)公式_.（3）【2015高考廣東文】若三個(gè)正數(shù)，成等比數(shù)列，其中，則 （4）【2015高考新課標(biāo)1文】數(shù)列中為的前n項(xiàng)和，若，則 .題型二 等比數(shù)列的性質(zhì)例2（1）在等比數(shù)列，已知，求=_.（2）已知是等比數(shù)列，且，那么_.（3）在等比數(shù)

8、列(dn b sh li)中，求該數(shù)列(shli)前七項(xiàng)之積是_.（4）在正項(xiàng)(zhn xin)等比數(shù)列中,則滿足的最大正整數(shù) 的值為_.（5）已知為等比數(shù)列前項(xiàng)和，則 .練習(xí)2.（1）若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則 。（2）已知數(shù)列為等比數(shù)列,是它的前n項(xiàng)和，若,且與的等差中項(xiàng)為，則= ( )w_w*w.k_s_5 u.c*o*m A35 B33 C31 D29（3）【2015高考浙江文】已知是等差數(shù)列，公差不為零若，成等比數(shù)列，且，則 ， （4）【2015高考天津文】已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且,.（ = 1 * ROMAN I）求和的通項(xiàng)公式;（ = 2 * ROMAN

9、 II）設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.題型三：等比數(shù)列的判定與證明例3. （1）已知數(shù)列(shli)的首項(xiàng)(shu xin)，證明(zhngmng)：數(shù)列是等比數(shù)列； 練習(xí)3.設(shè)二次方程有兩個(gè)實(shí)根和，且滿足（1）試用表示；（2）求證：是等比數(shù)列；（3）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式課后練習(xí)(linx)1.已知等比數(shù)列(dn b sh li)中，且，則（ ）A. B. C. D. 2.已知等比數(shù)列(dn b sh li)的公比為正數(shù)，且=2，=1，則= ( )A. B. C. D.2 3. 在等比數(shù)列中,則( ) A. B. C. D.4. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，,則( )A.38 B.20 C.10 D

10、.95.設(shè)等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和為，若=3 ，則 = ( ) A.2 B. C. D.36. 已知是公差(gngch)不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等比數(shù)列(dn b sh li)，則等于(dngy)( ) A. 4 B. 6 C.8 D.107.等比數(shù)列的公比，其前項(xiàng)的和為，則與的大小關(guān)系是( )A.B. C. D.不確定第三講 遞推數(shù)列求通項(xiàng)基礎(chǔ)知識(shí)數(shù)列求通項(xiàng)的常用方法：1.公式法： 等差數(shù)列公式， 等比數(shù)列公式， 2.利用和的關(guān)系：3.累加法：已知關(guān)系式可利用累加法；4.累乘法：已知關(guān)系式，可利用累乘法.5.構(gòu)造新數(shù)列（1）遞推關(guān)系(gun x)形如“”，利用待定系數(shù)(xsh)法求解（2）

11、遞推關(guān)系(gun x)形如“，兩邊同除或待定系數(shù)法求解（3）遞推關(guān)系形如“”，利用待定系數(shù)法求解（4）遞推關(guān)系形如,兩邊同除以6.倒數(shù)法：遞推關(guān)系形如， 等，可以用倒數(shù)法將其變形為我們熟悉的形式來求通項(xiàng)公式。7.對數(shù)法：形如（其中為常數(shù)）等，等式兩邊分別取對數(shù)，進(jìn)行降次，再重新構(gòu)造數(shù)列進(jìn)行求解。典型例題：題型一 公式法求通項(xiàng)當(dāng)題中已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，在求其通項(xiàng)公式時(shí)我們就可以直接利用等差或等比數(shù)列的公式來求通項(xiàng)，只需求得首項(xiàng)及公差公比。例1.在公差為的等差數(shù)列中,已知,且成等比數(shù)列.求; 練習(xí)1.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,則_題型二 利用和的關(guān)系若已知數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式，求數(shù)列的通

12、項(xiàng)可用公式 求解。例2（2015全國1理）為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，（）求的通項(xiàng)公式：（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和練習(xí)(linx)2.【2015高考(o ko)四川理】設(shè)數(shù)列(shli)的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和，求得成立的n的最小值.題型三 累加法：已知關(guān)系式可利用累加法；例3.（1）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式. （2）已知數(shù)列(shli)滿足(mnz)，求數(shù)列(shli)的通項(xiàng)公式。練習(xí)3.（1）已知數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式.（2）【2015江蘇高考理】數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和為 題型四 累乘法一般(ybn)地對于形如“已知，且（

13、為可求積的數(shù)列(shli)）”的形式可通過累乘法(chngf)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即：；例4.在數(shù)列中，求的表達(dá)式。練習(xí)4.已知數(shù)列滿足：，求求數(shù)列的通項(xiàng)公式；題型五 構(gòu)造新數(shù)列1遞推關(guān)系形如“”，利用待定系數(shù)法求解例5已知數(shù)列中，求通項(xiàng)練習(xí)5.已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.遞推關(guān)系(gun x)形如“，兩邊(lingbin)同除或待定系數(shù)(xsh)法求解例6.，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.練習(xí)6.設(shè)為常數(shù)，且求數(shù)列的通項(xiàng)公式.3遞推關(guān)系形如“”，利用待定系數(shù)法求解把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，其中滿足例7.已知數(shù)列滿足，且,且滿足,求.練習(xí)7.數(shù)列中，若,且滿足,求.3遞推關(guān)系(gun x)形如,兩邊(lin

14、gbin)同除以例8.在數(shù)列(shli)中，并且對任意都有成立，令求數(shù)列的通項(xiàng)公式 ；練習(xí)8.已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.題型六 倒數(shù)法遞推關(guān)系形如， 等，可以用倒數(shù)法將其變形為我們熟悉的形式來求通項(xiàng)公式.例9已知數(shù)列滿足：，求的通項(xiàng)公式.練習(xí)(linx)9.已知，求.課后練習(xí)：1在等差數(shù)列(dn ch sh li)中，已知?jiǎng)t等于(dngy)（ ）A40 B42 C43 D45 2數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（ ）A1BCD3設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則( )A8 B7 C6 D 54已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差是( )A5 B4 C3 D 25一個(gè)等

15、比數(shù)列前項(xiàng)的和為48，前2項(xiàng)的和為60，則前3項(xiàng)的和為（ ）A83 B108 C75 D636等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，且（ ） A12 B10 C8 D2+7已知成等比數(shù)列，且曲線的頂點(diǎn)是，則等于（ ）A3 B2 C1 D8已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則等于（ ） A B C D 第四講 數(shù)列(shli)求和基礎(chǔ)知識(shí)數(shù)列求和的常用(chn yn)方法:1.公式(gngsh)法求和：對于求等差（比）數(shù)列的前項(xiàng)和，可以直接利用公式求和。2.裂項(xiàng)相消求和：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和。3.錯(cuò)位相減求和：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)

16、成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求和；4.倒序相加求和：如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求和5.分類重組求和：通過對求和的各項(xiàng)進(jìn)行分類、重組，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)列求和。典型例題：題型一 公式法求和例1.（1）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則= （2）已知等差數(shù)列(dn ch sh li)滿足(mnz)：，公差(gngch)，則 題型二 裂項(xiàng)相消求和例2.（1）數(shù)列的前項(xiàng)和等于10.則項(xiàng)數(shù)= . （2）數(shù)列的前5項(xiàng)和等于 .練習(xí)2.(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，為整數(shù)，且.（I）求的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

17、.題型三 錯(cuò)位相減求和例3.設(shè)是等差數(shù)列(dn ch sh li)，是各項(xiàng)都為正數(shù)(zhngsh)的等比數(shù)列，且，（）求，的通項(xiàng)公式(gngsh)；（）求數(shù)列的前n項(xiàng)和練習(xí)3.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為,且 (為常數(shù)).令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.題型四：倒序(do x)相加求和例4.（1）= （2）已知，則 練習(xí)(linx)4.已知函數(shù)（1）證明(zhngmng)：；（2）求的值.題型五 ：分類重組求和例5.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的前項(xiàng)和= 練習(xí)5.（1）已知的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的前20項(xiàng)和= （2）數(shù)列的通項(xiàng)公式,前項(xiàng)和為,則_.課后練習(xí)：1、等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和，則（ ）（A）9 （B）10 （C）11 （D）122、等差數(shù)列(dn ch sh li)an的前n項(xiàng)和為Sn，若（ ）（A）12（B）18