1、隨機(jī)(su j)過(guò)程的基本概念第二章共一百一十一頁(yè)隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度(md)典型的隨機(jī)過(guò)程本章(bn zhn)內(nèi)容共一百一十一頁(yè)2022/7/193第二章隨機(jī)(su j)過(guò)程的基本概念 2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的基本概念及定義共一百一十一頁(yè)自然界變化的過(guò)程可以分為確定過(guò)程和隨機(jī)過(guò)程兩大類。確定過(guò)程每次試驗(yàn)觀測(cè)所得結(jié)果都相同，都是時(shí)間t的一個(gè)確定的函數(shù)，具有確定的變化規(guī)律。隨機(jī)過(guò)程每次試驗(yàn)觀測(cè)所得結(jié)果都不同，都是時(shí)間t的不同函數(shù)，試驗(yàn)前又不能預(yù)知(y zh)觀測(cè)結(jié)果，沒(méi)有確定的變化規(guī)律。2.1 隨機(jī)(su

2、j)過(guò)程的基本概念及定義共一百一十一頁(yè)2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的基本概念及定義舉例(j l)2022/7/195正弦信號(hào)調(diào)制信號(hào)接收機(jī)噪聲鳥(niǎo)叫聲共一百一十一頁(yè)例2.1：隨機(jī)相位信號(hào) 其中(qzhng) 與 為常數(shù)， 為 上均勻分布的隨機(jī)變量 對(duì)于任意樣本值 ,有2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的基本概念及定義共一百一十一頁(yè)例2.2：接收機(jī)噪聲 用示波器來(lái)觀察記錄某個(gè)(mu )接收機(jī)輸出的噪聲電壓波形2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的基本概念及定義共一百一十一頁(yè)2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的基本概念及定義隨機(jī)(su j)過(guò)程定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn) 的樣本空間為 ，對(duì)其每一個(gè)元素 都以某種法則確定一個(gè)樣本函數(shù)

3、 ，由全部元素 所確定的一族樣本函數(shù) 稱為隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)記為 。隨機(jī)過(guò)程是一組樣本函數(shù)的集合。2022/7/198共一百一十一頁(yè)2.1 隨機(jī)過(guò)程(guchng)的基本概念及定義隨機(jī)過(guò)程定義(dngy)二設(shè)有一個(gè)過(guò)程 ，若對(duì)于每一個(gè)固定的時(shí)刻 ， 是一個(gè)隨機(jī)變量，則 稱為 隨機(jī)過(guò)程。 隨機(jī)過(guò)程是一組隨機(jī)變量的集合。2022/7/199共一百一十一頁(yè)2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的基本概念及定義 不同情況(qngkung)的意義：當(dāng) 固定， 固定時(shí)， 是一個(gè)確定值。當(dāng) 固定， 可變時(shí)， 是一個(gè)隨機(jī)變量。當(dāng) 可變， 固定時(shí)， 是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)。當(dāng) 可變， 可變時(shí)， 是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。2022/7/19

4、10共一百一十一頁(yè)隨機(jī)過(guò)程(guchng)的分類2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的基本概念及定義分類狀態(tài)時(shí)刻連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程連續(xù)連續(xù)連續(xù)隨機(jī)序列連續(xù)離散離散型隨機(jī)過(guò)程離散連續(xù)離散隨機(jī)序列離散離散共一百一十一頁(yè)2.1 隨機(jī)過(guò)程(guchng)的基本概念及定義例2.3：半二元傳輸信號(hào)用無(wú)數(shù)次投擲硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)定義一個(gè)(y )隨機(jī)過(guò)程2022/7/1912共一百一十一頁(yè)2.1 隨機(jī)過(guò)程(guchng)的基本概念及定義例2.4：隨機(jī)游動(dòng) 設(shè) 表示質(zhì)點(diǎn)在 時(shí)刻與原點(diǎn)的距離(jl)，如果 ，那么2022/7/191300 1 2 3 4 5 6 7共一百一十一頁(yè)偽隨機(jī)序列在實(shí)際中還有一類過(guò)程，它是按照確定(q

5、udng)的數(shù)學(xué)公式產(chǎn)生的時(shí)間序列，它是一個(gè)確定(qudng)性的時(shí)間序列，但它的變化過(guò)程表現(xiàn)出隨機(jī)序列的特征，我們把它稱為偽隨機(jī)序列，偽隨機(jī)序列可以用來(lái)模擬自然界實(shí)際的隨機(jī)過(guò)程。例2.5：2.1 隨機(jī)過(guò)程(guchng)的基本概念及定義共一百一十一頁(yè)2022/7/1915第二章隨機(jī)(su j)過(guò)程的基本概念 2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述共一百一十一頁(yè)2.2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的概率分布隨機(jī)過(guò)程的概率分布一維概率分布：若 的一階導(dǎo)數(shù)(do sh)存在，定義一維概率密度：隨機(jī)序列：2022/7/1916共一百一十一頁(yè)2.2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的概率分布例2.6:設(shè)隨機(jī)振幅信

6、號(hào) ，其中 是常數(shù)， 是均值為零，方差(fn ch)為1的正態(tài)隨機(jī)變量，求 時(shí)的概率密度。解法一：由 可知2022/7/1917共一百一十一頁(yè)2.2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的概率分布（續(xù)）2022/7/1918共一百一十一頁(yè)2.2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的概率分布（續(xù)）2022/7/1919一般而言, 如果(rgu) , 則共一百一十一頁(yè)2.2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的概率分布（續(xù)）如果(rgu) ，則2022/7/1920共一百一十一頁(yè)2.2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的概率分布解法(ji f)二若X是隨機(jī)變量，a,b 是任意確定實(shí)數(shù)，令 Y=aX+b，則共一百一十一頁(yè)2.2.1 隨機(jī)(

7、su j)過(guò)程的概率分布二維概率分布： 及 為同一(tngy)隨機(jī)過(guò)程上的隨機(jī)變量二維概率密度：2022/7/1922共一百一十一頁(yè)2.2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的概率分布多維分布(fnb)與二維類似N維概率分布：N維概率密度：2022/7/1923共一百一十一頁(yè)例2.7：設(shè)隨機(jī)相位信號(hào)其中 ，且取值概率各為1/2，求 ， 時(shí)的一維和二維概率分布。解：本題的隨機(jī)過(guò)程只有兩個(gè)樣本函數(shù), 且兩個(gè)樣本函數(shù)都具有確定的形式, 是一種(y zhn)可預(yù)測(cè)的隨機(jī)過(guò)程。2.2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的概率分布共一百一十一頁(yè)2.2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的概率分布（續(xù)）它的兩個(gè)樣本(yngbn)函數(shù)為2

8、022/7/1925這個(gè)過(guò)程在任意的時(shí)刻都只有兩個(gè)可能的取值，所以它是一個(gè)離散型隨機(jī)過(guò)程。對(duì)于離散型隨機(jī)過(guò)程，只要確定了它的概率分布列就可以確定它的概率密度(一串沖激函數(shù))。共一百一十一頁(yè)2.2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的概率分布（續(xù)）一維分布(fnb)列2022/7/1926X(0)1 0P(x,0)1/2 1/2X(10)-1 0P(x,10)1/2 1/20 1 -1 0時(shí)間不同,概率密度不同,概率密度是時(shí)間的函數(shù)共一百一十一頁(yè)（續(xù)）二維分布(fnb)列2.2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的概率分布 1 0-11/2 00 0 1/2共一百一十一頁(yè)2.2.1 隨機(jī)(su j)過(guò)程的概率分布（

9、續(xù)）二維概率密度二維概率分布2022/7/1928共一百一十一頁(yè)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征均值：方差：隨機(jī)過(guò)程的均值與方差都是時(shí)間的函數(shù)(hnsh)均值與方差的物理意義2.2.2 隨機(jī)過(guò)程(guchng)的數(shù)字特征表示消耗在單位電阻上的總的平均功率平均交流功率平均直流功率共一百一十一頁(yè)相關(guān)函數(shù)：反映兩個(gè)(lin )不同時(shí)刻狀態(tài)之間相關(guān)程度的數(shù)字特征舉例：兩個(gè)均值和方差大致相同的隨機(jī)過(guò)程，相關(guān)性差異很大2.2.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字(shz)特征共一百一十一頁(yè)2.2.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字(shz)特征協(xié)方差函數(shù)也是相關(guān)性的描述(mio sh)如果 ，則稱 和 不相關(guān)。如果 ，則稱 和 相互正交如果 ，則稱隨機(jī)

10、過(guò)程在 和 時(shí)刻是獨(dú)立的。2022/7/1931共一百一十一頁(yè)離散隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征均值方差自相關(guān)(xinggun)函數(shù)協(xié)方差函數(shù)2.2.2 隨機(jī)過(guò)程(guchng)的數(shù)字特征共一百一十一頁(yè)例2.8：求隨機(jī)(su j)相位信號(hào) 的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)，其中 與 為常數(shù)， 為 上均勻分布的隨機(jī)(su j)變量。解：2.2.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字(shz)特征共一百一十一頁(yè)2.2.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字(shz)特征（續(xù)）2022/7/1934共一百一十一頁(yè)2.2.2 隨機(jī)(su j)過(guò)程的數(shù)字特征（續(xù)）2022/7/1935共一百一十一頁(yè)2.2.2 隨機(jī)(su j)過(guò)程的數(shù)字特征例2.9：設(shè)有一個(gè)隨機(jī)過(guò)

11、程X(t)由4條樣本函數(shù)組成，而且每條樣本函數(shù)出現(xiàn)的概率相等(xingdng)， X(t)在t1， t2的取值如表所示，求自相關(guān)函數(shù)。2022/7/1936 2 6 35 4 2 1t1 t2x1(t) x2 (t) x3 (t) x4 (t) X(t) t共一百一十一頁(yè)2.2.2 隨機(jī)(su j)過(guò)程的數(shù)字特征解：2022/7/1937共一百一十一頁(yè)2.2.2 隨機(jī)過(guò)程(guchng)的數(shù)字特征（續(xù)）2022/7/1938共一百一十一頁(yè)2022/7/1939第二章隨機(jī)(su j)過(guò)程的基本概念 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)(su j)過(guò)程共一百一十一頁(yè)2022/7/19402.3.1 平穩(wěn)(pngwn)

12、隨機(jī)過(guò)程的定義嚴(yán)格平穩(wěn)(pngwn)隨機(jī)過(guò)程 (Strictly stationary Process)對(duì)于一維概率密度有：對(duì)于二維概率密度有：共一百一十一頁(yè)2.3.1 平穩(wěn)(pngwn)隨機(jī)過(guò)程的定義廣義(gungy)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 (Weakly stationary Process)2022/7/1941 嚴(yán)格平穩(wěn) 廣義平穩(wěn)當(dāng)隨機(jī)過(guò)程是高斯分布時(shí)，兩者等價(jià)。一定（均值，自相關(guān)函數(shù)都存在）不一定共一百一十一頁(yè)2.3.1 平穩(wěn)(pngwn)隨機(jī)過(guò)程的定義2022/7/1942判斷隨機(jī)(su j)信號(hào)（過(guò)程）是否為平穩(wěn)隨機(jī)(su j)過(guò)程例： 隨機(jī)相位信號(hào)是否平穩(wěn)？解： 均值為0，相關(guān)函數(shù)為因此

13、隨機(jī)相位信號(hào)是平穩(wěn)的。共一百一十一頁(yè)2.3.1 平穩(wěn)隨機(jī)(su j)過(guò)程的定義判斷隨機(jī)信號(hào)(xnho)（過(guò)程）是否為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2022/7/1943例：設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=At，A為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。試問(wèn)X(t)是否平穩(wěn)？解：所以X(t)是非平穩(wěn)的。共一百一十一頁(yè)2.3.1 平穩(wěn)隨機(jī)(su j)過(guò)程的定義2022/7/1944例2.11： 隨機(jī)過(guò)程 ，其中A、B為相互(xingh)獨(dú)立的隨機(jī)變量，且分別以概率2/3、1/3取值-1和2。試討論隨機(jī)過(guò)程X(t)的平穩(wěn)性。解：一、二階矩所以 平穩(wěn)非嚴(yán)格平穩(wěn)共一百一十一頁(yè)2.3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)(xinggun)函數(shù)的特性2022/7/

14、1945（1）相關(guān)函數(shù)(hnsh)是偶函數(shù)(hnsh)（2） 在 時(shí)有最大值，即（3）若隨機(jī)過(guò)程含有周期分量，則自相關(guān)函數(shù)也含有周期分量，例如共一百一十一頁(yè)2.3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(guchng)自相關(guān)函數(shù)的特性2022/7/1946（4）若隨機(jī)過(guò)程(guchng)不含周期分量，那么（5） 相關(guān)函數(shù)示意圖統(tǒng)計(jì)平均功率直流功率R()交流功率R(0)-R()共一百一十一頁(yè)2.3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)(hnsh)的特性2022/7/1947（6）相關(guān)(xinggun)函數(shù)具有非負(fù)定性， 即對(duì)任意的n個(gè)復(fù)數(shù) ，有復(fù)數(shù)共一百一十一頁(yè)2.3.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān) 系數(shù)(xsh)和相關(guān)時(shí)間2022/

15、7/1948為了比較隨機(jī)過(guò)程(guchng)的相關(guān)特性，引入相關(guān)系數(shù)的概念。也稱為歸一化協(xié)方差函數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差函數(shù)。相關(guān)系數(shù)：共一百一十一頁(yè)2.3.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)(xinggun) 系數(shù)和相關(guān)(xinggun)時(shí)間2022/7/1949相關(guān)(xinggun)時(shí)間 ：在工程技術(shù)上定義，當(dāng) 時(shí)認(rèn)為 與 近似看作不相關(guān)相關(guān)時(shí)間示意圖共一百一十一頁(yè)2.3.3 平穩(wěn)(pngwn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān) 系數(shù)和相關(guān)時(shí)間2022/7/1950相關(guān)時(shí)間 ?。弘S機(jī)過(guò)程(guchng)隨時(shí)間變化快相關(guān)時(shí)間 大：隨機(jī)過(guò)程隨時(shí)間變化慢兩個(gè)不同相關(guān)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù) 共一百一十一頁(yè)2.3.4 其它平穩(wěn)(pngwn)

16、的概念2022/7/1951（1）k階嚴(yán)平穩(wěn)(pngwn)for Nkk=2 稱為二階嚴(yán)平穩(wěn)。如果對(duì)N=k成立,那么對(duì)Nm;零、極點(diǎn)共軛成對(duì)共一百一十一頁(yè)2.5.1 連續(xù)時(shí)間隨機(jī)(su j)過(guò)程的功率譜2022/7/1984ooooooS平面上可能的零、極點(diǎn)位置 共一百一十一頁(yè)2.5.1 連續(xù)時(shí)間隨機(jī)(su j)過(guò)程的功率譜2022/7/1985譜分解(fnji)定理共一百一十一頁(yè)2.5.1 連續(xù)(linx)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜2022/7/1986例2.18：已知譜密度為 求相關(guān)函數(shù)。解：由因式分解由公式(gngsh)：共一百一十一頁(yè)2.5.2 隨機(jī)序列(xli)的功率譜2022/7/198

17、7對(duì)于平穩(wěn)(pngwn)隨機(jī)序列X(n)，如果其自相關(guān)函數(shù)滿足其功率譜密度功率有限周期為2共一百一十一頁(yè)2.5.2 隨機(jī)(su j)序列的功率譜2022/7/1988Z變換(binhun)形式：自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)自相關(guān)函數(shù)z變換的收斂域是一個(gè)包含單位圓的環(huán)形區(qū)域，即所以共一百一十一頁(yè)2.5.2 隨機(jī)(su j)序列的功率譜2022/7/1989自相關(guān)函數(shù)(hnsh)用功率譜的z反變換表示其中C是收斂域內(nèi)包含z 平面原點(diǎn)逆時(shí)針的閉合圍線共一百一十一頁(yè)2.5.2 隨機(jī)序列(xli)的功率譜2022/7/1990平穩(wěn)(pngwn)隨機(jī)序列功率譜性質(zhì)（1）實(shí)的偶函數(shù)自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，所以（2）非負(fù)共

18、一百一十一頁(yè)2.5.2 隨機(jī)序列(xli)的功率譜2022/7/1991（3）譜分解(fnji)表示功率譜中所有零極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的部分表示功率譜中所有零極點(diǎn)在單位圓外的部分所以 可以表示為功率譜可以表示為共一百一十一頁(yè)2.5.3 互功率(gngl)譜2022/7/1992兩個(gè)(lin )隨機(jī)過(guò)程X(t)，Y(t)的互功率譜其中：若X(t)及Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)， 絕對(duì)可積，有共一百一十一頁(yè)2.5.3 互功率(gngl)譜2022/7/1993性質(zhì)(xngzh)：（1）互功率譜并非負(fù)的是偶函數(shù)與是的奇函數(shù)；是的偶函數(shù)；與（2）（3）共一百一十一頁(yè)2.5.4 非平穩(wěn)隨機(jī)(su j)過(guò)程的功率譜2022

19、/7/1994對(duì)平穩(wěn)和非平穩(wěn)都適應(yīng)其它(qt)定義:1)廣義功率譜缺乏明確的物理意義共一百一十一頁(yè)2.5.4 非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(guchng)的功率譜2022/7/19952) 時(shí)變(sh bin)功率譜如果采用對(duì)稱相關(guān)函數(shù)，即則上式定義的功率譜稱為韋格納-威利(Wigner-Ville)譜，這種功率譜是實(shí)偶函數(shù)（因?yàn)橄嚓P(guān)函數(shù)是的偶函數(shù)）。共一百一十一頁(yè)2.5.4 非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(guchng)的功率譜2022/7/19963) 對(duì)時(shí)變(sh bin)譜求時(shí)間平均等價(jià)于共一百一十一頁(yè)2.5.4 非平穩(wěn)(pngwn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜2022/7/1997例2.21： 噪聲調(diào)制的振蕩信號(hào)(xnho)

20、 其中N(t)是平穩(wěn)噪聲，求X(t)的功率譜共一百一十一頁(yè)2022/7/1998第二章隨機(jī)(su j)過(guò)程的基本概念 2.6 典型的隨機(jī)(su j)過(guò)程共一百一十一頁(yè)2022/7/19992.6.1 白噪聲(zoshng)加性噪聲獨(dú)立于有用信號(hào)噪聲來(lái)源：人為噪聲、自然噪聲、內(nèi)部噪聲噪聲分類：確知噪聲、隨機(jī)噪聲隨機(jī)噪聲分類單頻噪聲（外臺(tái)，窄帶）：并不總是存在脈沖噪聲（點(diǎn)火、閃電，幅度大、時(shí)間(shjin)短，頻帶寬）：安靜期長(zhǎng)，對(duì)模擬話音影響不大，但對(duì)數(shù)字通信易造成誤碼，可使用糾錯(cuò)編碼 起伏噪聲（熱、散彈、宇宙）：普遍存在不可避免，可認(rèn)為是一種高斯噪聲，并且在相當(dāng)寬的頻率范圍內(nèi)具有平坦的功率譜密

21、度 共一百一十一頁(yè)2.6.1 白噪聲(zoshng)2022/7/19100平穩(wěn)白噪聲(zoshng)：隨機(jī)過(guò)程X(t)均值為0，自相關(guān)函數(shù)為平穩(wěn)白噪聲功率譜密度：白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù) 共一百一十一頁(yè)2.6.1 白噪聲(zoshng)2022/7/19101白噪聲(zoshng)相關(guān)系數(shù)：共一百一十一頁(yè)2022/7/191022.6.1 白噪聲(zoshng)帶限白噪聲(zoshng)只有以頻率 2f0 對(duì)帶限白噪聲進(jìn)行抽樣時(shí)，各樣值才互不相關(guān)共一百一十一頁(yè)2.6.2 正態(tài)隨機(jī)(su j)過(guò)程2022/7/19103如果一個(gè)隨機(jī)(su j)過(guò)程X(t)的任意n 維分布都服從正態(tài)分布，則稱該隨機(jī)過(guò)程為正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。一維分布N維分布共一百一十一頁(yè)2.6.2 正態(tài)隨機(jī)(su j)過(guò)程2022/7/19104平穩(wěn)(pngwn)正態(tài)過(guò)程 設(shè)X(t)是正態(tài)隨機(jī)過(guò)程，若有 則X(t)稱為廣義平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程。共一百一十一頁(yè)2.6.2 正態(tài)隨機(jī)(su j)過(guò)程2022/7/19105性質(zhì)(xngzh)：1. 對(duì)于正態(tài)隨機(jī)過(guò)程而言，廣義平穩(wěn)與嚴(yán)格平穩(wěn)等價(jià)；2. 對(duì)于正態(tài)隨機(jī)過(guò)程而言，不相關(guān)與獨(dú)立等價(jià)；3. 一般平穩(wěn)正態(tài)噪聲與信號(hào)之和為非平穩(wěn)的正態(tài)過(guò)程。4. 若平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程具有均勻的功率譜密度，則稱此過(guò)程為平穩(wěn)正態(tài)