1、ox+.+x=y+.+y；學(xué)習(xí)必備歡迎下載Majorization不等式其實(shí)是琴生(Jensen)不等式的一個(gè)推廣Majorization不等式其實(shí)是琴生(Jensen)不等式的一個(gè)推廣。正如琴生不等式對(duì)一個(gè)凸(凹)的函數(shù)給出一個(gè)極值(極大值或極小值)，而Majorization不等式能夠在某些情況下，如以下例子一樣，同給出兩者。為了引述這個(gè)不等式，首先介紹對(duì)有序?qū)崝?shù)集的majorization概念。定義：設(shè)(x,x,.,x)、(y,y,.,y)為兩個(gè)n元有序?qū)崝?shù)組，且滿足以下12n12n條件ox1x2.xn，y1y2.yn，且1ox1y1，x1+x2y1+y2,x1+x2+x3y1+y2+y

2、3,.,x+.+xy+.+y，及n-11n-11n1n則記(x,x,.,x)(y,y,.,y)。12n12n其實(shí)以上對(duì)于的比較方法是由Schur所定義，其用意是說明：當(dāng)排列總和相同的數(shù)列由大到小，對(duì)于已知一數(shù)列，定理(Majorization不等式)：設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間I=a,b為凸的，且(x,x,.,x)(y,y,.,y)其中實(shí)數(shù)x,y在I。則有f(x)+12n12nij1f(x)+.+f(x)f(y)+f(y)+.+f(y)。2n12n此外，對(duì)于嚴(yán)格凸的函數(shù)f，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)n元組相等，即(x,x,.,x)=(y,y,.,y)。12n12n對(duì)于下凹的函數(shù)，只須要將結(jié)論中的不等式的方向

3、換過來。注：Majorization不等式的證明將放在最后。以下要證明琴生不等式可由Majorization不等式中得出。這可由以下的觀察：(x,x,.,x)(x,x,.,x)，其中x是x,x,.,x的平均值。12n12n應(yīng)用Majorization不等式而得到琴生不等式。只須要證明：對(duì)于k=1,2,.,n-1，有x+x+.+xkx。(略去)12k學(xué)習(xí)必備歡迎下載。1.對(duì)于銳角三角形ABC，證明：1cosA+cosB+cosC3/2。試確定等號(hào)成立的充要條件。證明：不妨假設(shè)CBA，已知A+B+C=，因而C/3A/2。所以有(/2,/2,0)(A,B,C)(/3,/3,/3)。已知余弦函數(shù)cos

4、(x)在閉區(qū)間0,/2上是嚴(yán)格凹的。由Majorization不等式，得1=cos(/2)+cos(/2)+cos(0)cosA+cosB+cosCcos(/3)+cos(/3)+cos(/3)=3/2。2.證明：若a、b為非負(fù)實(shí)數(shù)，則。(MathHorizons,1995年十一月)bx證：由于左右兩式對(duì)a、是對(duì)稱的，不妨假設(shè)ab。記x=b+3b、=b+3a、12x=a+3b、x=a+3a。得知x、x分別是四個(gè)數(shù)中最大、最小的。又由于3414x+x=x+x，得(x,x)(x,x)或者(x,x)視乎x、x的大小。142314233223由于函數(shù)f(x)=3x在區(qū)間0,+)上是嚴(yán)格凹的，由Majo

5、rization不等式，得。3.試求a12+b12+c12的極大值，其中-1a、b、c1及a+b+c=-1/2。證：分下列幾步：o已知函數(shù)f(x)=x12在區(qū)間-1,1上是凸。(這可由二階導(dǎo)數(shù)f(x)0而得到；否則要運(yùn)用f(x)=(x2)2)3，并且每個(gè)函數(shù)在適當(dāng)?shù)亩x域上用琴生不等式。)o如果1abc-1，及a+b+c=-1/2，則有1/2=1-1/2-c-1/2=a+b，所以有(1,-1/2,-1)(a,b,c)，由Majorization不等式，有a12+b12+c12=f(a)+f(b)+f(c)f(1)+f(-1/2)+f(-1)=2+2-12。4.(1999IMO)設(shè)n是一個(gè)固定的

6、整數(shù)，n2。a.確定最小常數(shù)C，使得不等式1i1/2，則由于1-a,a,.,a全位于閉區(qū)間0,1/2。o學(xué)習(xí)必備歡迎下載證：分兩步證明：o先用Majorization不等式證明n=2的情況。令m=(x+x)/2、h=(x-x)/2；1221x=m-h，x=m+h，由此可知12xx(x2+x2)=2(m4-h4)4m4=(x+x)4/8。121212等式成立當(dāng)且當(dāng)僅h=0，即x=x。21當(dāng)n2，令ai=xi/(x1+.+xn)，則a1+.+an=1。作為以的不等式，原不等式等價(jià)地改寫為aa(a2+a2)C。1ijnijij而左式其實(shí)為a3(a+.+a+a+.+a)=1ini1i-1i+1n1in

7、a3(1-a)=f(a)，其中f(x)=x3(1-x)=x3-x4在區(qū)間0,1/2上ii1ini嚴(yán)格凸?，F(xiàn)在新的不等式的下界對(duì)a,a,.,a是對(duì)稱的，所以可假設(shè)12naa.a。12n112a)，由Majorization不等式，有n1inf(a)f(1/2)+f(1/2)+f(0)+.+f(0)=1/8。i112n由于(1-a,0,0,.,0)(a,a,.,a)，由123nMajorization不等式及n=2的情況，有f(a)=f(a)+f(a)+f(a)+.+f(a)i123nf(a)+f(1-a)+f(0)+.+f(0)111/8。1in最后不等式的等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)以上的所有不等式成立，

8、所以有1-a=a=1/2，及其它的(n-2)個(gè)變量全為0。所以C=1/8。11有關(guān)Majorization不等式的證明：引理：設(shè)I為實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間，及f：IR為一凸的函數(shù)，即對(duì)于I中任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)x、y，有f(x+y)/2)f(x)+f(y)/2。若acb為I的三個(gè)實(shí)數(shù)，則以下不等式成立：f(c)-f(a)f(b)-f(a)f(b)-f(c)f(b)-f(a)及。c-ab-ab-cb-a證：由于acb，令t=(c-a)/(b-a)，則(1-t)=(b-c)/(b-a)有c=(1-t)a+tb且0ta，兩式除去正數(shù)(c-a)后，得到題目中左邊的不等式。從(*)的兩邊減去f(b)，得-(f(b

9、)-f(c)=f(c)-f(b)(1-t)f(a)-(1-t)f(b)=(1-t)f(a)-f(b)=(b-c)f(a)-f(b)/(b-a)=-(b-c)f(b)-f(a)/(b-a)。兩式除去負(fù)數(shù)-(b-c)后，得到引理中左邊的不等式。注：幾何解釋：設(shè)A(a,f(a)、B(b,f(a)、C(c,f(c)為xy坐標(biāo)平面上的函數(shù)f：IR的圖上三個(gè)點(diǎn)，則由以上的引理，得知割線AB、AC、CB的斜率、m、m、m滿ABACCB足以下的大小關(guān)系：mm、mm。ACABCBAB若先固定點(diǎn)A，則過點(diǎn)A的割線的斜率會(huì)隨著動(dòng)點(diǎn)C向右移動(dòng)而增加；若先固定點(diǎn)B，則過點(diǎn)B的割線的斜率會(huì)隨著動(dòng)點(diǎn)C向左移動(dòng)而減小?，F(xiàn)在回

10、到Majorization不等式的證明：定理(Majorization不等式)：設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間I=a,b為凸的，且(x,x,.,x)(y,y,.,y)其中實(shí)數(shù)x,y在I。則有f(x)+12n12nij1f(x)+.+f(x)f(y)+f(y)+.+f(y)。2n12n對(duì)于嚴(yán)格凸的函數(shù)f，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)n元組相等，即(x,x,.,x)=(y,y,.,y)。12n12n對(duì)于下凹的函數(shù)，只須要將結(jié)論中的不等式的方向換過來。證：已知(x,x,.,x)(y,y,.,y)，所以對(duì)所有的i=1,2,.,n，12n12n有xx及yy。令m=f(x)-f(y)/(x-y)，由引理，可以證明：mmi+1ii+1iiiiiii如下：i+1對(duì)于yy、xx的其它可能分配，可以運(yùn)月用類似的方法，略去。如果yyxx：應(yīng)用引理，可以有i+1ii+1im=f(x)-f(y)/(x-y)i+1i+1i+1i+1i+1f(x)-f(y)/(x-y)第二個(gè)不等式：yyxi+1ii+1ii+1ii+1f(x)-f(y)/(x-y)第一個(gè)不等式：yxxiiiiii+1i=m。ii+1ii+1i記X=x+x+.+x、Y=y+y+.+y，此外為了以后方便，令X=Y=m=0。由k12kk12k00n+1已知條