1、能帶理論6.1 一維周期勢場中電子的波函數(shù) 應(yīng)滿足Bloch定理 若晶格常數(shù)為a，電子的波函數(shù)是：a)c)b)f 是某個(gè)確定的函數(shù)。試求出電子在這些狀態(tài)時(shí)的波矢 k。且a=4b，是常數(shù)。1) 畫出此勢能曲線，并計(jì)算勢能的平均值；2) 用近自由電子模型，計(jì)算晶體的第一個(gè)和第二個(gè)帶隙寬度 6.2 電子在周期場中的勢能函數(shù)解：（1） 勢能的平均值為什么不是K和K勢能的平均值：由圖可見，是個(gè)以a為周期的周期函數(shù)令在近自由電子近似模型中，勢能函數(shù)的第n個(gè)傅里葉系數(shù) 第一個(gè)帶隙寬度第二個(gè)帶隙寬度與另一種解法的結(jié)果不一樣，哪個(gè)對？6.3設(shè)有二維正方晶格，晶體勢場為用近自由電子近似的微擾論，近似求出布里淵區(qū)頂

2、角處（ /a ， /a ）的能隙。提示：電子能量為四重簡并，即可以找到四個(gè)倒格矢Gn，使得k=kGn態(tài)與k態(tài)的零級(jí)能量相等，為E0k0 (/a ， /a ) G0 = 0k1 (-/a ， /a ) G1 = (2/a , 0) k2 (/a ，- /a ) G2 = (0, 2/ a) k3 (-/a ，- /a ) G3 = (2/a , 2/a ) 不太理解？解：Un：面心立方晶格 s態(tài)原子能級(jí)相對應(yīng)的能帶函數(shù)6.3 用緊束縛近似求出面心立方晶格和體心立方晶格s態(tài)原子能級(jí)相對應(yīng)的能帶 函數(shù) 任選取一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn) 最近鄰格點(diǎn)有12個(gè) s原子態(tài)波函數(shù)具有球?qū)ΨQ性12個(gè)最鄰近格點(diǎn)的位置 類似的

3、表示共有12項(xiàng)立方s態(tài)原子能級(jí)相對應(yīng)的能帶 對于體心立方格子，任選取一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn) 有8個(gè)最鄰近格點(diǎn) 最近鄰格點(diǎn)的位置 類似的表示共有8項(xiàng) 歸并化簡后得到體心立方s態(tài)原子能級(jí)相對應(yīng)的能帶6.4 由相同原子組成的一維原子鏈，每個(gè)原胞中有兩個(gè)原子， 原胞長度為a，原胞內(nèi)兩個(gè)原子的相對距離為b ： (1) 根據(jù)緊束縛近似，只計(jì)入近鄰相互作用，寫出原子 s態(tài) 相對應(yīng)的晶體波函數(shù)的形式。 (2) 求出相應(yīng)能帶的 E (K) 函數(shù)。黃昆書 4.6 題解：這是相同原子組成的一維復(fù)式格子，設(shè)第一套原子格點(diǎn)位置為xn，則第二套原子格點(diǎn)位置為xn+b 對一確定k值，周期中運(yùn)動(dòng)解為一布洛赫波第一套原子的布洛赫波為第

4、二套原子的布洛赫波為緊束縛近似中，波函數(shù)是二者的線性組合（1）問得解（2）計(jì)算E(k)方程兩邊分別乘以 和 ，得 可得久期方程根據(jù)緊束縛近似，相鄰原子波函數(shù)交疊很小但各個(gè)原子波函數(shù)各自歸一化久期方程變?yōu)榱頡m=xn-xn，xn=0，則由于只考慮近鄰相互作用，故Rm=0由于H是厄米算符在考慮最近鄰原子相互作用情況下久期方程變?yōu)?只計(jì)入最近鄰格點(diǎn)原子的相互作用時(shí)，s態(tài)原子能級(jí)相對應(yīng)的能帶函數(shù)表示為1) 用緊束縛近似方法求出與原子s態(tài)能級(jí)相對應(yīng)的能帶函數(shù)2) 求出其能態(tài)密度函數(shù) 的表達(dá)式3) 如每個(gè)原子s態(tài)中只有一個(gè)電子，計(jì)算T=0K時(shí)的費(fèi)密能級(jí) 和 處的能態(tài)密度6.5 一維單原子鏈，原子間距a，總

5、長度為LNa對于一維情形, 任意選取一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn) 有兩個(gè)最近鄰的格點(diǎn)，坐標(biāo)為：a和a能態(tài)密度函數(shù)的計(jì)算對于一維格子，波矢為 具有相同的能量，此外考慮到電子自旋有2種取向，在dk區(qū)間的狀態(tài)數(shù)能態(tài)密度，結(jié)果一定化成E的表達(dá)式所以sinka要轉(zhuǎn)化成E的表達(dá)式能態(tài)密度T=0K的費(fèi)密能級(jí)計(jì)算總的電子數(shù)其中T=0K的費(fèi)密能級(jí)T=0K費(fèi)密能級(jí)處的能態(tài)密度6.7 對原子間距為 a 的由同種原子構(gòu)成的二維密堆積結(jié)構(gòu)， (1) 畫出前 3個(gè)布里淵區(qū)； (2) 求出每原子有一個(gè)自由電子時(shí)的費(fèi)米波矢； (3) 給出第一布里淵區(qū)內(nèi)接圓的半徑； (4) 求出內(nèi)接圓為費(fèi)米圓時(shí)每原子的平均自由電子數(shù)； (5) 平均每原子有

6、兩個(gè)自由電子時(shí)，在簡約布里淵區(qū)中畫出費(fèi)米圓的圖形。 (1)證明一個(gè)簡單正方晶格在第一布里淵區(qū)頂角上一個(gè)自由電子的動(dòng)能比該區(qū)一邊中點(diǎn)大兩倍。（2）對一個(gè)簡單立方晶格，在第一布里淵區(qū)頂角上一個(gè)自由電子的動(dòng)能比該區(qū)面心上大多少？（3）說明（2）的結(jié)果對2價(jià)金屬的電導(dǎo)有什么影響？6.8黃昆書 4.8（1）k1= (/a, /a), k2=(0,/a), 代入得出：能量比值為2（2）k1=(/a, /a, /a), k2=(/a, 0, 0)代入得出： 能量比值為3二價(jià)金屬每個(gè)原子有2個(gè)自由電子，內(nèi)切球只能裝1.047個(gè)電子，余下0.953個(gè)電子可填入其它狀態(tài)。若布里淵區(qū)邊界上存在大的能量間隙，余下電子

7、只能填滿第一區(qū)余下所有狀態(tài)，晶體將具有絕緣體性質(zhì)。然而由(b)可知，B點(diǎn)的能員比A點(diǎn)高很多，從能量上看，這種電子排列是不利的事實(shí)上對于二價(jià)金屬，布里淵區(qū)邊界上能隙很小，對于三維晶體，可出現(xiàn)一區(qū)、二區(qū)能帶重迭。這樣處于第一區(qū)角頂附近的高能態(tài)的電子可以“流向”第二區(qū)中的能量較低的狀態(tài)，并形成橫跨一、二區(qū)的球形費(fèi)米面。因此，一區(qū)中有空態(tài)存在，而二區(qū)中有電子存在，從而具有導(dǎo)電功能實(shí)際上，多數(shù)的二價(jià)金屬具有六角密堆和面心立方結(jié)構(gòu)，能帶出現(xiàn)重達(dá)，所以可以導(dǎo)電費(fèi)米面應(yīng)為球面，內(nèi)切于6點(diǎn)的內(nèi)切球的體積該內(nèi)切球內(nèi)能容納的電子數(shù)為其中 V=Na3 三維簡單立方晶格，立方原胞邊長為a，試用簡約布里淵區(qū)表示自由電子能

8、量。定性畫出沿 X 軸與六個(gè)近鄰倒格點(diǎn)相對應(yīng)的自由電子 E ( k ) 函數(shù)。完全看不懂提示：波矢分量單位： /a 能量單位： ( 0, 0, 0 ), X ( 1, 0, 0) 六個(gè)近鄰倒格點(diǎn)對應(yīng) 點(diǎn) E ( k ) 對應(yīng)X點(diǎn)的位置 E ( k )(-2, 0, 0) 4 (-1, 0, 0) 1 (2, 0, 0) 4 (3, 0, 0) 9(0, -2, 0) 4 (1, -2, 0) 5(0, 2, 0) 4 (1, 2, 0) 5(0, 0, -2) 4 (1, 0, -2) 5(0, 0, 2) 4 (1, 0, 2) 56.96.10 Fcc的s帶緊束縛近似下的E(k)函數(shù)，在沿

9、著布里淵區(qū)幾個(gè)對稱軸方向約化形式解：Fcc最近鄰原子數(shù)為12，由習(xí)題4.4結(jié)果可知沿X（ky=kz=0, kx=m2p/a)沿L（kx=ky=kz=m2p/a)沿K（kz=0, kx=ky=m2p/a )沿W（kz=0, kx=m2p/a, ky=mp/a )式中a為晶格常數(shù)。計(jì)算: 1）電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度；2）能帶底部和能帶頂部電子的有效質(zhì)量6.11 設(shè)一維晶體的電子能帶可以寫成解：電子在波矢k狀態(tài)時(shí)的速度電子的有效質(zhì)量能帶底部能帶頂部有效質(zhì)量有效質(zhì)量晶格常數(shù)為2.5 的一維晶格，當(dāng)外加102 V/m和107 V/m的電場時(shí)，分別估算電子自能帶底運(yùn)動(dòng)到能帶頂所需要的時(shí)間。能帶底到能帶

10、頂 k 的變化為 /a，所需時(shí)間6.12解：電子倒空間里 k 方向上勻速運(yùn)動(dòng)E=100 V/mE=107 V/m導(dǎo)出k = 0 點(diǎn)上的有效質(zhì)量張量，并找出主軸方向。6.13 若已知電子的有效質(zhì)量設(shè)矩陣P的本征值為 ， 則解得主軸的取法 ， 要求三個(gè)主軸方向可取為金屬電子論5.1 設(shè)N個(gè)電子組成簡并的自由電子氣，體積V，證明T=0 K時(shí)有每個(gè)電子平均能量金屬中電子總數(shù)證：自由電子能態(tài)密度T=0 K時(shí)，費(fèi)米分布函數(shù)電子平均能量5.2 He3的自旋為1/2，是費(fèi)米子。液體He3的絕對零度附近的密度為81 Kgm-3，計(jì)算費(fèi)米能EF和費(fèi)米溫度TF5.4 在低溫下金屬K的摩爾電子熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為Ce=2

11、.08 mJ/molK。在自由電子氣模型下估算K的費(fèi)米溫度TF和費(fèi)米面上的能態(tài)密度N(EF)解：摩爾電子熱容，考慮材料含一摩爾K原子，電子數(shù)N=NA，電子熱容為晶格振動(dòng)動(dòng)力學(xué)2.1 討論N個(gè)原胞的一維雙原子鏈（相鄰原子間距為a），其2N格波解，當(dāng)M=m時(shí)與一維單原子鏈的結(jié)果一一對應(yīng). 綠色標(biāo)記的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 紅色標(biāo)記原子位于2n， 2n+2， 2n+4 2.2質(zhì)量相同兩種原子形成一維雙原子鏈，最近鄰原子間力常數(shù)交錯(cuò)等于 和 ，并且最近鄰的間距 1) 求出色散關(guān)系和分析計(jì)算 處格波的頻率值2) 大致畫出色散關(guān)系圖 第2n個(gè)原子和第2n1個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程 體系N個(gè)原胞，

12、有2N個(gè)獨(dú)立的方程 方程的解令 A、B有非零的解，系數(shù)行列式滿足 兩種色散關(guān)系 色散關(guān)系圖 兩種色散關(guān)系 2.3 2D平面方格子， ul,m記l行，m列原子垂直于格平面的位移，原子質(zhì)量M，力常數(shù)c(1) 運(yùn)動(dòng)方程證：只考慮最近鄰原子相互作用，且力的方向均在垂直平面方向，故有故得證(2) 證明：滿足運(yùn)動(dòng)方程且色散關(guān)系為左端右端得證：(3) 證獨(dú)立解存在的k空間是邊長為(2p/a)的正方形，即平方格子的第一布里淵區(qū)，畫出k=kx,ky=0和kx=ky的w-k圖證：由ul,m可知，當(dāng)kxa和kya改變2p時(shí)，原子振動(dòng)實(shí)際上無任何不同，這表明kxa和kya可限制在得證ky=0時(shí)kx=ky時(shí)(4) ka

13、1，證明ka1時(shí)泰勒展開式（麥克勞林級(jí)數(shù)）F=ma2.6 設(shè)晶體中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為 ，試用德拜模型求晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能解：零點(diǎn)振動(dòng)能與T無關(guān)，故只需求0K時(shí)的振動(dòng)能qD100K量級(jí)，因而零點(diǎn)振動(dòng)能是很大的2.7 在三維晶體中利用德拜模型(D 是德拜頻率)： a. 證明高溫時(shí)，0D 范圍內(nèi)的聲子總數(shù)與溫度 T 成正比 b. 證明甚低溫度下，0D 范圍內(nèi)的聲子總數(shù)目與溫度 T3成正比。 晶體結(jié)構(gòu)1.1 如果將等體積球分別排成下列結(jié)構(gòu)，求證鋼球 所占體積與總體積之比為：(黃昆書1.1) 簡立方：0.52；體心立方：0.68；面心立方：0.74； 解: 設(shè)n為一個(gè)晶胞中的剛性原子數(shù)，r表示剛性原子球半徑，V表示晶胞體積，則致密度為: （設(shè)立方晶格的邊長為a） (1) 簡單立方(2) 體心立方(3) 面心立方1.2 寫出體心立方和面心立方晶格結(jié)構(gòu)的金屬中，最近鄰和次近鄰的原子數(shù),若立方邊長為a,寫出最近鄰和次近鄰的原子間距。(黃昆書1.7；kittel 1.3)1.3 對于簡單立方晶格，證明密勒指數(shù)為 (h, k, l) 的晶面系，面間距d滿足：其中a 為立方邊長解：對于簡單立方 1.4 證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方； 面心立方晶格的倒格子是體心立方 1.5 證明：倒格子原胞的體積為： 為正點(diǎn)陣