1、2016年春季競(jìng)賽班講義二試數(shù)論高中數(shù)賽培訓(xùn)第十講 不定方程 II-楊全會(huì)知識(shí)點(diǎn)通常的方程是指下面的不定方程x2 Dy2 = 1 (x, y z),其中 D 是非完全平方的正整數(shù).猜 x2 Dy2 = 1 (D 非平方) 有無(wú)窮組正整數(shù)解. Wallis 解決了.在他著作中附錄了Wallis 結(jié)果. 后來(lái)在的中錯(cuò)誤地稱 x2 Dy2 = 1 為定理 1: 設(shè) D 是非完全平方的正整數(shù), 則方程方程, 沿襲至今.x2 Dy2 = 1(1)有無(wú)窮多組整數(shù)解 x, y. 設(shè) x Dy = 1, x22 0, y 0 是所有 x 0, y 0 的解中使 x + y D0000最小的那組解 (稱 (x0

2、, y0) 為 (1) 的基本解), 則 (1) 的全部正整數(shù)解 x, y 由x + yD = (x + y D)n00表出, 其中 n 是任意整數(shù).注1: 若 (x, y) 為方程的解, 則 (x, y) 也為方程的解. 因此, 定理 1 實(shí)際刻畫(huà)了方程的所有整數(shù)解.注2: 最小解的存在性證明.設(shè) c1 1 為整數(shù).首先證明存在整數(shù) t1, w1 1 使得 1|t wD|,w c .1111c1事實(shí)上, 考慮 lk = kD + 1,則 0 1, 則當(dāng) k0 6= k00 時(shí), lk0 6= lk00 .由于 c1 + 1 個(gè)數(shù) lk kD,k = 0, 1, . . . , c1 落在 c

3、1 個(gè)區(qū)間 ( p1 , p ), p = 1, 2, . . . , c1, 故根c1 c1據(jù)抽屜原理, 存在 i, j, p 0, 1, 2, . . . , c1,i 6= j, p 6= 0, 使 得 p 1 lpp 1 lp i D , j D .ijcccc1111 1 1 由上面不等式知, |(l l )(ij) D| . 令 |l l | = t , |j i| = w , 則 |t wD| ,ijij1111c1c1且 w1 c1.該不等式乘以不等式 t1 + w1 D 2w1D + 1, 得t Dw | 2D + c 使得 |t wD|得到正整數(shù) t2, w2 具有性質(zhì),2

4、111c222|t Dw | 2 D + 1,|t1 t2| + |w1 w2| 6= 0.2212016年春季競(jìng)賽班講義二試數(shù)論高中數(shù)賽培訓(xùn)繼續(xù)這個(gè)過(guò)程,對(duì)所有正整數(shù) n 均成立.到互不相同的整數(shù)對(duì)序列 (t w )使得 |t Dw | 2 D + 122nn n1nn因此, 區(qū)間 (2D 1, 2D + 1) 包含一個(gè)非零整數(shù) k 使得, 存在 (tn, wn)n1 的一個(gè)子序列滿足 t2 Dw2 = k.這個(gè)子序列包含至少兩對(duì) (ts, ws), (tr , wr ) 使得ts tr (mod |k|),ws wr (mod |k|), tswr tr ws 6= 0.否則, 若 tsw

5、r tr ws = 0, 則可推得 ts = tr , ws = wr , 這與 |ts tr | + |ws wr | 6= 0令 t0 = tstr Dwswr , w0 = tswr tr ws, 則.222t Dw = k .00( t0 , w0 )22另一方面, t = t t Dww t Dw 0 (mod |k|), 故 w 0 (mod |k|). 此時(shí),0s rs rs00|k| |k|即為方程 (1) 的非平凡解. ?注3: 解的全部性證明：令 ? = x0 + y0D.對(duì)方程的任一解 (x, y), 若 x + yD 不為定理 1 中的形式, 則存在正整數(shù) n 使得 ?

6、n x + yD ?n+1. 令 ? = x0 y0D, 則 1 (x + yD)?n 1 知, 0 u vD 1, 故 u 0. 2vD =(u + vD) (u vD) 0, 故 v 0. ?綜上所述, (u, v) 也為原方程的正整數(shù)解且 u + v D 0, b 0 是所有 x 0, y 0 的解中使 x + yD 最小的那組解 (a, b 叫做基本解), 則 (2) 的全部正整數(shù)解(有無(wú)窮多組) x, y 由x + yD = (a + bD)2n+1表出, 其中 n 為任意整數(shù), 且 = x0 + y0D = (a + bD)2其中 x0, y0 是 x2 Dy2 = 1 的基本解.

7、22016年春季競(jìng)賽班講義經(jīng)典例題選講二試數(shù)論高中數(shù)賽培訓(xùn)例1. 設(shè) a, b 為整數(shù), 證明：集合 a2 + mab + nb2 : a, b Z 關(guān)于乘法封閉.(2016年高中聯(lián)賽命題研討會(huì)題改編)32016年春季競(jìng)賽班講義二試數(shù)論高中數(shù)賽培訓(xùn)例2. 考慮1, 2, . . . , n 的一個(gè)排列a1, a2, . . . , an. 若 a1, a1+a2, a1+a2+a3, . . . , a1+a2 + + an 之中至少有一個(gè)完全平方數(shù), 則稱此排列為 “二次排列”.求所有正整數(shù) n, 對(duì)于 1, 2, . . . , n 的每一個(gè)排列都是二次排列.(2002年伊朗數(shù)學(xué))4201

8、6年春季競(jìng)賽班講義例3. 考慮方程組二試數(shù)論高中數(shù)賽培訓(xùn)x + y = z + u,2xy = zu.求實(shí)常數(shù) m 的最大值, 使得對(duì)于方程組的任意正整數(shù)解 (x, y, z, u), 當(dāng) x y 時(shí),x(第42屆IMO預(yù)選題)有 m .y52016年春季競(jìng)賽班講義二試數(shù)論高中數(shù)賽培訓(xùn)12+22+n2例4. 證明: 有無(wú)窮多個(gè)正整數(shù) n, 使平均數(shù)為完全平方數(shù). 第1個(gè)這樣的(第31屆IMO預(yù)選題)n數(shù)當(dāng)然是 1. 請(qǐng)寫(xiě)出緊接在1后面的兩個(gè)這樣的正整數(shù).62016年春季競(jìng)賽班講義二試數(shù)論高中數(shù)賽培訓(xùn)例5. 證明：方程 x3 + y3 + z3 + t3 = 1999 有無(wú)窮多組正整數(shù)解.(19

9、99年保加利亞數(shù)學(xué))72016年春季競(jìng)賽班講義二試數(shù)論高中數(shù)賽培訓(xùn)例6. 證明：對(duì)任意正整數(shù) a, b, b 1, ab + 1 和 ab3 + 1 均不可能同時(shí)為平方數(shù).82016年春季競(jìng)賽班講義二試數(shù)論高中數(shù)賽培訓(xùn)例7. 證明：存在無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)(p, q Z, p 0, (p, q) = 1), 使得pqq5 11.?2? p2p(第三屆“學(xué)數(shù)學(xué)”邀請(qǐng)賽(春季賽)試題)92016年春季競(jìng)賽班講義二試數(shù)論n = 1, 2, . . . 中有無(wú)窮多個(gè)平方數(shù).高中數(shù)賽培訓(xùn)例8. 求證：2003n :102016年春季競(jìng)賽班講義二試數(shù)論高中數(shù)賽培訓(xùn)作業(yè)：1. 若正整數(shù) n 滿足對(duì)任意 p | n, 均有 p2 | n, 則稱 n 為“好數(shù)”. 求證：有無(wú)窮多個(gè)正整數(shù) n, 使得 n 和 n + 1 均為“好數(shù)”.QPss2. 對(duì)正整數(shù) n =p , 設(shè) () =i 是 n 所有素因子的個(gè)數(shù), 這里的素因ini=1 ii