1、多元函數(shù)的最值問題一、背景介紹多元函數(shù)是高等數(shù)學中的重要概念之一，但隨著新課程的改革，高中數(shù)學與大學數(shù)學知識的銜接，多元函數(shù)的值域與最值及其衍生問題在高考試題及競賽中頻頻出現(xiàn)，因其技巧性強、難度大、方法多、靈活多變而具有挑戰(zhàn)性，成為最值求解中的難點和熱點。同時，多元函數(shù)最值問題中蘊含著豐富的數(shù)學思想和方法，而且有利于培養(yǎng)學生聯(lián)想、化歸的解題能力.因此，怎樣求多元函數(shù)的最值，是師生們非常關(guān)注和必須解決的問題，也是必須具備的解題技能.二、方法思想1.常用方法：換元法、配方法、基本不等式法、柯西不等式法、消元法、數(shù)形幾何法等；2.基本思想：化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合.三、題型歸納題型一：換元法例1.實數(shù)滿足

2、，設(shè)，求的最大值與最小值.例2.已知實數(shù)滿足，令，試求的最大值和最小值. 例3.已知均為正數(shù)，且，則的最小值為_.題型二：減元法例4.設(shè)實數(shù)滿足，求的最小值.例5.設(shè)為正實數(shù)，滿足，則的最小值是_.例6.若實數(shù)，且，則的取值范圍是_.題型三：構(gòu)造法例7. 設(shè)為自然數(shù)，為正實數(shù)，且滿足條件，則的最小值是_.例8. 對于滿足的一切實數(shù)，求的最小值.例9.設(shè)是非負實數(shù)，滿足，求的最小值和最大值.例10.求實數(shù)的取值范圍，使得對和恒有題型四：一題多解例11. 已知實數(shù)滿足，且，則的最小值為 .例12.已知任意非零實數(shù)滿足恒成立，則實數(shù)的最小值為_變式練習：對于一切正數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值為 .例13

3、.已知正實數(shù)滿足，則的最大值為 .四、直擊考題1.（2002年一試二11題）若，則的最小值是_.【變式1】設(shè)，且，則的最小值是（ ）A. B. C. D.42.（2017年預賽一試第8題）設(shè)，若存在實數(shù)滿足，且，則的最大值為（ ）A. B. C. D.13.（2017預賽一試第11題）設(shè)是互不相等的正整數(shù)，則的最小值為_.4.（2016年預賽一試第8題）設(shè)非負實數(shù)滿足，則的最小值為（ ）A.2 B.3 C. D.5.(2016預賽一試第6題)記為三個數(shù)中的最小數(shù)，若二次函數(shù)有零點，則的最大值為（ ）A.2 B. C. D.6.（2016預賽一試第2題）已知實數(shù)滿足，則的最小值為_.五、課后練習1.求的最大值和最小值.2.設(shè)非負實數(shù)滿足.求的最小值.3.設(shè)，且，求的最小值.4.設(shè)為正數(shù)，且，求的最小值.5.設(shè)是不全為零的實數(shù)，求的最大值.6.對所有，求的最小值.7.已知