1、 平面向量 | 38 平面向量 | 38平面向量、平面向量的概念與線性運(yùn)算1向量概念及表示 定義：即有大小，又有方向的量叫做向量 表示：有向線段小字母上加箭頭起點(diǎn)到終點(diǎn)，大字母加箭頭r uuur r uuur 向量的長度（模） ：a或 AB的模記作 |a|或|AB|幾種特殊向量：特殊向量定義備注零向量長度為 0 的向量記作 0 ，方向任意單位向量長度等于 1 個單位的向量rar 即為單位向量 |a|平行向量方向相同或相反的非零向量（也叫共線向量）r r r記為 a b ，規(guī)定 0 與任意向量共線相等向量長度相等方向相同的向量記為 ra rb ，相等一定平行，平行不 一定相等相反向量長度相等方向

2、相反的向量rr uuuruuura b ， AB BA判斷下列命題是否正確：uuur uuur1）向量 AB 的長度與向量 BA的長度相等；例12）向量 a 與 b平行，則 a 與 b的方向相同或相反；uuur uuur解析：（1） AB和 BA互為相反向量，它們長度相等，方向相反，命題正確；2）平行向量方向相同或相反，命題正確答案：（ 1）正確 （2）正確例2（1）uuur ADuuurBC ；uuuruuur uuur uuur DC 且 |AB| |AD|（2）AB解析：（1）uuur uuurAD BC 說明 AD 和 BC 兩條邊相等且平行，所以為平行四邊形；根據(jù)下列各題中的條件，分

3、別判斷四邊形 ABCD 的形狀uuur uuur uuur uuur（2）AB DC 說明AB和DC相等且平行， 為平行四邊形， |AB|AD|說明兩臨 邊相等，為菱形答案：（1）平行四邊形 （ 2）菱形2向量的線性運(yùn)算運(yùn)算加法減法數(shù)乘幾何表示意義r r uuur uuur uuur a b AB BC AC三角形法則類比“位移之和”首尾相連，首位連r r uuur uuur uuura b AB AD AC平行四邊形法則類比“力的合成”共起點(diǎn)，對角線uuuruuuuuu共起點(diǎn)，后指前長度變?yōu)?| | 倍 0 ，方向相同 0，方向相反rr 0 ， a 0uuur uuur uuur uuur

4、uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur uuur 例如： AB+BC CD AD ， AB+BC CA 0，BC BA AC ，DE DF FE 向量不等式： |ar | |br| |ra br| |ar| |br |（等號在向量 ra ， rb共線時取得） 如圖：正六邊形ABCDEF 中，uuurBAuuurCDuuurEF（）rA0Buuur BECuuur ADDuuurCF解析：uuur 由于 BAuuur DE ，故 uBuAuruuurCDuuurEFuuurCDuuurDEuuur EFuuur CF 例如： |ar| 3，|br| 5

5、，則 |ar br |的最大值為 8，當(dāng)且僅當(dāng) ra ， br同向時取到；最小值為 2， 當(dāng)且僅當(dāng) ar ， rb 反向時取到例3答案： D根如圖所示，已知正六邊形 ABCDEF ，O 是它的中心，若 uuur r uuru r r r uuru uuur uuurBA=a，BC=b，試用 a，b將向量 OE，BF ，BD，uuur例4uuuruuurr r uuuruuuruuuruuuruuurrr解析：OEBOa b； BFBAAFBABO2a b ；uuuruuuruuuruuur uuur rruuuruuurACuuurBCuuur r r BA b aBDBCCDBC BO a2

6、b；FDrrr r r rrr答案：ab， 2a b，a 2b，ba若 O 是VABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足uuur uuur uuur uuur uuur|OB OC | |OB OC 2OA | ，則 VABCFD 表示出來 .的形狀為 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 解析： OB OC 2OA (OB OA) (OC OA) AB AC ，例5uuur uuur uuurOB OC CBuuurABuAuCur ，帶入可得 | uAuBuruuur uuur uuurAC| | AB AC |，用平行四邊形法則考慮， 等號兩邊為

7、平行四邊形的兩條對角線的長，可知四邊形為矩形， 所以 VABC為直角三角形答案：直角三角形uuur r uuur r uuur uuur 在YABCD中， AB a，AD b，AN 3NC ， uuuurM 為 BC 的中點(diǎn)，則 MN 例6uuur 3uuur 3 r r 解析： AN AC (a b) 44 uuuur uuur uuuur1r所以 MN AN AM a 4uuuuruuuruuuuruuur1uuurr1r， AMABBMAB ADa b ，221br 4答案： 14a 14br r r r rr向量共線定理：向量 a (a 0) 與 b 共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)，使

8、b a 應(yīng)用：解決三點(diǎn)共線問題重要結(jié)論：圖形條件A，B，C三點(diǎn)共線， A與 B 不重合， P 是直線外一點(diǎn)VABC中，D為 BC邊上 的中點(diǎn)G 為 VABC 的重心結(jié)論uuuruuur uuurPCPA (1 )PBuuur 1 uuur uuurAD 21(AB AC)uuur uuur uuur rGA GB GC 0已知向量 a三點(diǎn)是（r，b，）uuur r r 且 AB a 2buuur， BCr5ar6b，uuurCDar 2br ，則一定共線的例7A A，B，DBA，B，CCB，C，DDA，C，Duuur 解析： ADuuur ABuuur uuur rBC CD 3ar6buuu

9、r3AB，所以uuur uuurADAB ，A，B，D 共線答案： AVABC中，uuuurAM1uuur uuurAC ， AD2uuur mAB2uuurAC9，則m 例8uuur 解析： ADuuurABuuuur(1 )AMuuurAB12(1uuur)ACuuur mAB2uuur2AC9則 1(1 )2252 ，解得 5 ，則99m59答案： 59設(shè) D，E，F(xiàn) 分別為 VABC 的三邊BC，CA，AB，的中uuur 點(diǎn)，則 EBuuurFC（）例9uuurAADB1 uuurAD C2uuurBC1uuurD BC2uuur 解析： EBuuurFCuuur uuur(BE CF

10、)1 uuur uuur12(BA BCuuur CAuuurCB)1 uuur (AB2uuurAC)uuur AD .答案： Auuur uuuruuuurr使得例 10已知 VABC 和點(diǎn) 滿足 MA MB uuur uuur uuuurAB AC mAM 成立，則 m _MC0 ，若存在實(shí)數(shù) muuur uuur uuuur r解析：由 MA MB MC 0可知 M 為 VABC的重心， uuuur 2uuur 2 1 uuur uuur 1 uuur uuur則 AM AD (AB AC) (AB AC) ， 即 3 3 2 3uuur uuur uuuurAB AC 3AM ，則

11、m 3 答案： 3練習(xí)題：1以下說法錯誤的是（ ）A 零向量與任一非零向量平行B 零向量與單位向量的模不相等C平行向量方向相同D 平行向量一定是共線向量解析：平行向量方向可以相同，也可以相反，故 C 不正確 答案： C2給出如下命題：uuur uuur向量 AB 的長度與向量 BA 的長度相等；向量 a 與 b 平行，則 a 與 b 的方向相同或相反；兩個有公共起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；兩個公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；uuur uuur向量 AB與向量 CD是共線向量，則點(diǎn) A，B，C，D 必在同一條直線上其中正確的命題個數(shù)是（ ）A 1B 2C3D 4uuur uuur 解析：

12、AB和 BA長度相等，方向相反，正確；當(dāng)為零向量時，不滿足條件，錯誤；起點(diǎn)相同，長度和方向也相同，終點(diǎn)一定相同，正確；終點(diǎn)相同，起點(diǎn)未必相同，不一定是共線向量，錯誤；共線向量即平行向量，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定在同一直線上，錯誤； 正確的是和答案： B3已知向量 a 表示“向東航行 1km”，向量 b 表示“向南航行 1km ”，則向量 a b 表示( )2kmA 向東南航行2kmB向東南航行C向東北航行2kmD向東北航行2km解析：由向量加法的幾何意義可知，先向東航行1km，再向南航行 1km，總位移是2k向東南航行m答案： Auuur uuur AB CB()4A0Buuur ACCuuur

13、 CADuuur2ACuuur 解析： ABuuur CBuuur ABuuurBCuuur AC 答案： Buuur uuur AB ACuuur BC()5uuurA 2BCrB 0uuurC 2BCuuurD 2ACuuur 解析： ABuuurACuuur BCuuur CBuuur uuur BC BCuuurBCuuur2BC答案： Cuuur uuur AB ADuuurDC()6uuur A ABBuuurBAuuur C CADuuur CBuuur 解析： ABuuurADuuurDCuuurDBuuur uuur DC CB 答案： Duuur uuur AC ABuuu

14、r BDuuur CD()7A0BuuurDACuuur BCDuuur ABuuur 解析： ACuuur ABuuurBDuuurCDuuur uuur BC BDuuurCDuuur uuur DC CDr0答案： A8uuur uuur AB BDuuur ACuuur CDuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurr解析： ABBDACCDADACCDCDCD0 答案： 0ruuur uuur uuur uuur OA OC OB COuuur uuur uuur uuur uuur 解析：原式等于 (OB OA) (CO CO) AB 10答案：uuu

15、rAB如圖， D，E，F(xiàn) 分別是 VABC 的邊 AB， BC，CA 的中點(diǎn)，則()uuuruuuruuur ruuuruuuruuur rA ADBECF 0B BDCFDF 0uuuruuuruuur ruuuruuuruuur rC ADCECF 0D BDBEFC 0uuuruuur uuuruuur uuuruuur uuuruuuruuuruuurr解析： ADFE ， BEEC ，則 ADBE CFFEECCF0， A 正確答案： Auuur uuur在 YABCD 中， BC CDuuurBA()uuur uuur A BCB ADCuuur ABuuur D ACuuur u

16、uuruuur uuur r11 解析：在平行四邊形中， BA和 CD 是相反向量，則CD BA 0 ，故原式變?yōu)閡uur r uuur BC 0 BC 答案： A, R ，下面式子正確的是()rrrrA a 與 a方向相同B()a aurrrrC 0a 0D若ba，則 |b|12 解析： A 中，當(dāng)0時， ar 與ra方向相反，錯誤； B很明顯正確； C 中，向量的數(shù)乘最后結(jié)果應(yīng)是向量，應(yīng)為 0uar 0r ；D 中，左邊為模，是實(shí)數(shù)，右邊是向量，兩者不能相等答案： B 平面向量 | 38 平面向量 4 | 3813141516下列結(jié)論中，正確的是（ ） urA 0a 0 BrC若 bra(

17、 rarbr0， a 0時， a 與 a方向一定相反D若|br| | ra|(ra 0r)，則 |br|a|ur r r解析： A 中， 0a 應(yīng)該等于 0；B 中a的系數(shù)一正一負(fù)，兩個數(shù)乘方向一定相反是正確的； C 錯誤，向量沒有除法； D 中， |br | 應(yīng)該等于 | | |a|答案： B若 O 為 YABCD的中心，uuur ur AB 4e1 ，uuurBCuur uur ur6e2 ，則 3e2 2e1 ( )AAOBBOCCOD DOuurur1uuur 1uuurBC AB1uuur uuur1uuur uuur BD BO 解析： 3e22e1(BC BA)2222答案：B設(shè)

18、 M 為 YABCD 對角線的交點(diǎn)，O為Y ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則uuuruuuruuuruuurOAOBOCOD （ ）uuuuruuuuruuuuruuuurAOMB 2OMC3OMD 4OMuuur uuuruuuuruuuurr解析：M為 YABCD 對 角 線的交點(diǎn)，則 MA MBMCMD0，又uuuruuuuruuuruuur uuuuruuuruuuruuuur uuuuruuuruuuuruuuurOAOMMA， OB OMMB， OCOM MC ，ODOMMD ，則uuuruuuruuuruuur uuur uuuruuuur uuuuruuuur ruuuuruuu

19、urOAOBOCOD MA MBMC MD4OM 0 4OM4OM答案：Duuuuruuuuruuuuruuuurr設(shè) A1 ，A2 ，A3 ，A4是平面上給定的4 個不同點(diǎn)， 則使 MA1MA2MA3MA40uuruuuuruuuruuurA0B1C2D 4設(shè)O為平面內(nèi)一點(diǎn)，uuuur uuur uuuur 則 MA1 OA1 OM，同理可表示其余四個向量，原式變?yōu)閡uuruuuuruuuuruuuur uuuur uuuuruuuuruuuurr(OA1OM) (OA2OM) (OA3 OM)(OA4OM)0 ，即成立的點(diǎn) M 的個數(shù)為（ ）uuuurOM1 uuur uuuur uuuu

20、r (OA1 OA2 OA3uuuur uuuurOA4)， A1， A2，A3 ， A4四個點(diǎn)確定，則 OM 也是確定的，所以滿足條件的 M 只有 1 個答案： B0r ，那么已知 O 是 VABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，uuur uuur uuurD為 BC邊中點(diǎn)，且 2OA OB OC17uuuruuuruuuruuurAAOOD B AO2ODuuuruuur uuur解析：D是中點(diǎn)，則有OBOC 2ODuuuruuur uuuruuurOAOD ，故 AOOD 答案：A)uuurC AOuuur3ODDuuur2AOuuurODuuuruuurr即，原式變?yōu)?OA2OD0，18AFAC，則

21、uuurruuurruuuruuur解析：設(shè) ABa，ADb，則 AFAEuuurrrrruuur r1AC(ab)aaAF a2平行四邊形 ABCD 中，E是AD 中點(diǎn)，BE Iuuur 1rEF b2r(a1r12b)r 1 ra (1 )b ，2r)b ，則112(1)1 解得 1 31答案： 131911ABC1D232設(shè) M 是 VABC 所在平面上的一點(diǎn)，且uuur 3uuurMB MA3 uuuur rMC 0 ， D 是 AC 中點(diǎn)，則22uuuur|MD |uuuur 的值為( )|BM |3 uuur 由題意知 (MA2uuuur3 uuuuruuuur uuuur uuu

22、ur uuuurMC) 2MD 3MD BM ，即 MD 與 BM 共線，則 2uuuur |MD| uuuur |BM |答案： Auruurrur uurr ur uur設(shè) e1， e2 是不共線向量，若向量 a3e1 5e2 與向量 b me1 3e2 共線，則m的值等于()9535ABC D535920rr r rur uurur uurm3解析，a 與 b 共線，則滿足 b a ，即 me1 3e2(3e1 5e2) ，則35解得9m5答案：Arrrrrr設(shè) a 與 b 是兩個不共線的向量，且向量a b 與(b 2a) 共線，則()A0B-1C -2D -0.5rr r rrrrr2

23、1解析：ab 與 (b 2a) 共 線 ，則存在滿 足 a b (b2a)，即rrr r 1 21ab2a b ，解得2答案：D、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1平面向量基本定理ur uur如果 e1 ， e2 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)r r ur uur 的任意向量 a ，有且只有一對實(shí)數(shù) 1 ， 2 ，使 a 1e1 2e2 ，我們把ur uur不共線的向量 e1 ， e2 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底如圖，在平行四邊形 ABCD 中，M ，N 分別為 DC ， uuuur r uuur ur r例1BC 的中點(diǎn)，已知 AM c， AN d，試用 c ， ur

24、 uuur uuurd 表示 AB ， AD 平面向量 | 38 平面向量 | 38例2uuur 解析：設(shè) ABr auuur， ADrb ，則r2 urra(2d3c)所以uuur 4urAB dr2rur3b(2c3d)答案：uuur4ur2ruuur 4AB4dc，AD3332ruuur 4r 2urc ， ADc d 3 3323ruuuuruuuruuuurr 1rcAMADDMba2 ，解得uruuuruuuruuurr 1rdANABBNab2在梯形 ABCD 中， AB CD ， AB 2CD，M，N 分別 uuur uuuur uuur為 CD ，BC 的中點(diǎn)，若 AB AM

25、 AN ，則解析： ABuuur uuur uuur uuuruuurANNB AN CNANuuurCAuuurANuuur2ANuuuur uuur CM MAuuur2AN1uuur uuur AB AM ，所以 AB48uuur 4 uuuurAN AM ，即5585，故4答案： 452正交分解及坐標(biāo)表示正交分解： 把一個向量分解為兩個互相垂直的向量， 叫做把向量正交分解坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x 軸， y 軸正方向相r r r 同的兩個單位向量 i ， j 作為基底， 對于平面內(nèi)的一個向量 a ，有 且只有一對實(shí)數(shù) x，y，使得 ar xri yrj ，則有序?qū)崝?shù)對 (

26、x,y) 叫做 向量 a 的坐標(biāo)，記作 a (x,y).顯然： ri (1,0) ， rj (0,1) ， 0r (0,0)坐標(biāo)求法：圖形表示文字表示起點(diǎn)在原點(diǎn)，向量坐標(biāo)就是終點(diǎn)坐標(biāo)起點(diǎn)不在原點(diǎn)， 向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)表示uuuruuurOA (x,y)AB (x2 x1,y2 y1)注意： 向量沒有位置的概念， 表示相等向量的有向線段可以在平面 上不同的位置，但向量的坐標(biāo)是相同的 .uuur uuur uuur例如：如圖所示， AB CD ，位置不同， 但 AB (2 1,4 2) (1,2) uuur和 CD (3 2,3 1) (1,2) 坐標(biāo)相同 .3坐標(biāo)運(yùn)算坐標(biāo)設(shè) ar

27、r (x1, y1) ， b(x2,y2)加法rra b (x1 x2,y1 y2)減法rra b (x1 x2,y1 y2)數(shù)乘ra ( x1, x2)rr abx1 y2 x2y1r 例如： a(1,2)， br(3,4) ，則：rra b (13,2 4)(4,6) ，rra b (13,2 4)( 2, 2) ，2ar (2 1,2 2) (2,4) ，若 a (1,2) 與 b (m,4) 平行，則滿足 1 4 2m，得 m 2 例3已知向量 ar (2,4) ，br ( 1,1)，則 2ar br ( )A (5,7)B (5,9)C (3,7)D (3,9)解析： 2ar br

28、(4,8) ( 1,1) (5,7) 答案： A例4已知 ar (1,0) ， rb (2,1) ，( 1)當(dāng) k 為何值時， kar br與ra 2br共線；(2)若 uuur r r uuur r rAB 2a 3b， BC a mb，且 A，B，C 三點(diǎn)共線，求 m的值解析：(1)kar br (k,0) (2,1) (k 2, 1) ，ar 2br (1,0) (4,2) (5,2) ，兩者共1線，則 2(k 2) ( 1) 5 ，解得 k 2uBuCur ，即 2ar 3br(ar mbr ) ，則 2 ，解3m得m32答案：（1）k1312 (2) m 32uuur2）A，B，C

29、三點(diǎn)共線，則 AB練習(xí)題：在 VABC 中，uuurABr uuur c ， ACbr ，若點(diǎn)uuurD 滿足 BDuuur2DC ，則uuurAD（）2r 1r5r2r2r1r1r2rA b cB cbC bcD bc333333331 解析：uuuruuuruuuruuur2 uuuruuur2 uuuruuurr2 rr2r1rADABBDAB (BC)AB (ACAB)c (bc)bc3 3 3 3 3答案： Auuur r uuur r uuur uuur uuuur 在矩形 ABCD 中，M 為 BC 的中點(diǎn)， AB a， AD b，AN 3NC，則 MNuuuuruuuur解析：

30、MNMC1r1rab44答案：1ra1r b44（用 a ， b 表示）2uuurCNuuuur 1uuuruuuur 1 uuur uuur1r 1 r rMC CA MC(CD DA) b( a b)ABCD 中，E和F分別是邊 CD和 BC的中點(diǎn)，若uuurACuuurAEuuurAF ，則 解析：設(shè)uuurABr a，uuurADbr ， 則uuurrr2 uuuruuur4ACab2(AEAF)，則33答案：43在平行四邊形如圖所示， 在平行四邊形 ABCD 中，M ，N 分別為 uuuur r uuur r uuur4 DC，BC的中點(diǎn)，已知 AM c，AN b，則 AB4 4 2

31、 42r 1rA b c33B4r b32r c3C2r 1r bc33Duuuruuuruuuruuur1uuuruuur 1uuuuruuuruuur解析： ABANNBAN2DAAN2(DMMA)ANr 1uuur 1r3uuurr1ruuur4r2rb ABc，即ABbc，解得 ABbc424233答案： B用 b ， c 表示為()1rb312rc31uuur uuur ( AB MA) 22在平行四邊形 ABCD中， AC與DB相交于點(diǎn) O，E是線段 OD的中點(diǎn)， AE延長線uuur r uuur r uuur與 CD 交于 F，若 AC a， BD b，則 AF ( )A1r1r

32、B2r1rabab4233C1r1r1r2rabDab2433uuuruuurr解析ADABauuur1rr uuur1rr：uuuruuurr，解得AD1(ab) ， AB1 (ab) ， VEDF:VEBA，ADABb22DE1，則DF1，uuuruuuruuur1 r r11 r r 2r (a b) a1r故 AFADDF(a b)bBE3AB323233答案： Buuur如圖，平面內(nèi)有三個向量 OAuuur uuur， OB ， OC ，uuur uuur uuur uuurOA與OB夾角為120 ，OA與OC夾角為 30 ，uuur uuur 且 |OA| |OB|uuur1， |

33、OC| 2 3uuur uuurOC OAuuurOB ，則的值為，若解析：uuur作平行四邊形 ODCE ，則 OCOEOC 2，即 4 ， tan306答案：uuur OD2，向量 a ，b， c中任意兩個都不共線，且 a b與c共線， b c與a 共線，則向量a b c 解析：由條件知，a b c，b c a ，兩式相減得 (1 )c (1) a ，又因?yàn)閍r ，br ， rc中任意兩個都不共線，則 1 10，1，1，帶入原式r r rr r r r可得 a b c ，即 a b c 0 答案： 0rur uuruuururuur uuururuur uuururuur已知 e1與e2是

34、兩個不共線向量，AB3e12e2，CB2e15e2 ， CDe1e2，若 A ，B，D三點(diǎn)共線，則uuuruuuruuurur解析：BDCDCB(2)e1比例，則232，8答案：8uur uuur4e2 由條件可知， ABuuur ur uurBD ， e1 與 e2 的系數(shù)成如圖，在VABC中，點(diǎn) O 是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O 的直線分別uuur uuuur 交直線 AB， AC 于不同的兩點(diǎn)M， N，若 AB mAM ，uuur uuurAC nAN ，則 m n 的值為 uuur 解析：AO1 uuur (AB2uuurm uuuurnuuurmAC)m AMn AN ，因?yàn)镸，O，N 三點(diǎn)

35、共線，則有m222所以 m n 2答案： 2（）10A 2 B1C 1333uuur在 VABC 中，已知 D 是 AB 邊上的一點(diǎn)，解析：因?yàn)?A，D，B 三點(diǎn)共線， CD答案： Auuur 若 ADuuur2DB ，uuurCD1 uuur1CA3uuurCB ，則2D31uuuruuur121CACB，則1，333uuur uuur uuur已知 A，B，C三點(diǎn)在同一條直線 l上，O為直線 l 外一點(diǎn)，若 pOA qOB rOC 0 ，uuur uuuruuur uuurq uuurr uuur解析： pOA qOBrOC0變形得 OAqOBr OC，因A，B，C三點(diǎn)共線，pp 平面向量

36、 15 | 38 平面向量 15 | 38則有 q r 0 ，化簡得 p q r 0 pp答案： 0已知點(diǎn) G 是 VABC 的重心， 點(diǎn) P 是 VGBC內(nèi)一點(diǎn)，uuuruuuruuur若 APABAC ，則121314的取值范圍是（ ）1A(2,1)2B ( 23 ,1)3C(1,2)D (1,2)解析： P 是 VGBC內(nèi)一點(diǎn)，則等于 1，當(dāng) P 和 G 重合時，故 231答案： B在 VABC 所在平面內(nèi)有一點(diǎn)的面積之比是（ ）1 ，當(dāng)且僅當(dāng) P 在線段uuur uuur 1 uuurBC 上時，1 uuur最小，此時 AP AG (AB AC) ，即最大2，3，P，如果uuur2PA

37、uuur uuur uuurPC AB PB，那么 VPBC與 VABC31A B42uuur uuur uuur uuur uuur 解析： 2PA PC AB PB 化簡可得 PCC 13D23uuur3AP，即PSVPBC 在 AC 上，兩個三角形高相等，則 SVPBCSVABC答案： APCAC34uuur 2uuur 1uuur 如圖，設(shè) P，Q 為VABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且 AP 2 AB 1 AC， 55uuur 2uuur 1uuurAQ AB AC ，則 VABP與 VABQ 的面積之比為 34解析：如圖作輔助線，EF， GH 分別為兩個三角形的高，uuur 1uuurAE AC

38、，5uuurAG1 uAuCur ，則 SVABP EF AE 44 SVABQ GH AG 5答案： 45uuur uuur uuur r已知 O 是正三角形 ABC 內(nèi)部一點(diǎn)， OA 2OB 3OC 0，則 VOAC與 VOAB 的面積之比是（ ） 平面向量 | 38 平面向量 | 38A 3B2 C23 2 D 13解析：畫圖，把向量前面的系數(shù)標(biāo)到對應(yīng)線段上，與每一個線段所對的三角形面積比就是它們的系數(shù)比，則 VOAC 與 VOAB 的面積比為 答案： B2:3 uuurP 是 VABC 內(nèi)一點(diǎn)且滿足 4PAuuur uuur3PB 2PCr0，則 VPBC ，VPAC ，VPAB的面積

39、比為（ ）A 4:3:2B 2:3:4C 1:1:1D3:4:616解析：畫圖，把向量前面的系數(shù)標(biāo)到對應(yīng)線段上，與每一個線段所對的三角形面積比就是它們的系數(shù)比，則面積比為 4:3:2 答案： A已知向量 ar (2,4) ，br ( 1,1)，則 2ar br（）17A (5,7)B (5,9)C (3,7)D(3,9)解析： 2ar rb 2(2,4) ( 1,1)(4,8) ( 1,1) (5,7) 答案： A若向量 ra (1,1)， br ( 1,1)，rc (4,2) ，則r c(）r r r r A 3a bB 3a br C ar3br D ar3b18解析：設(shè) crrarb (

40、 , )( , ) ()(4,2)，所以4，2 ，解得3，rr1 ，則 c 3ar b答案： B若向量 ra (1,1)， br (1, 1)，rc ( 2,1) ，則r c(）191r 3r1rA a bBa2223rbC 23ar 1br22D3ra21br2解析： c a b ( , ) (, ) (,)(2,1)，所以2，1，解得1 ，23r，則 c21r 3r ab22答案： B已知四邊形 ABCD的三個頂點(diǎn)A(0,2) ， B( 1, 2)，C(3,1) ，uuur 且 BCuuur2AD ，則頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為()207A (2, )21B (2, )2C (3,2)D (1,3

41、)uuur解析：設(shè) D的坐標(biāo)為 (x,y)，則 AD (x,y 2)uuurBCuuur2AD(2 x,2 y4) (4,3) ，即 2x 4 ， 2y 43 ，解得 x27， y 2答案： A設(shè)向量 a (1, 3) ，br ( 2,4) ，rr3brr2a ， c的有向線段首尾相接若表示向量 4a ，能構(gòu)成三角形，則向量 c 為()A (1, 1)B ( 1,1)C ( 4,6)D (4,6)21解析：設(shè) c (x,y) ，能構(gòu)成三角形，則 4ar3brr2a crr2a 3brrc 0 ，即2(1, 3) 3( 2,4)(x,y) (2,6)( 6,12) (x, y)( 4 x,6y)

42、 (0,0) ， 即4 x 0， 6 y0 ，解得 x4， y 6 答案： D設(shè)向量 a (1, 3) ，br ( 2,4) ，rrrrrrc( 1, 2) ，若表示向量 4a ，4b 2c ， 2(a c) ，udr 的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，ur 則向量 d為()22A (2,6)B ( 2,6)C (2, 6)D ( 2,6)ur 解析， 設(shè) d (x,y)，能構(gòu)成四邊形，rr 則 4a 4br2crr2(a c)ur r d 0 ，帶入坐標(biāo)化簡可求得 x 2 ，y 6 答案： Duuur 若向量 BA (2,3)uuur， CA (4,7)uuur ，則 BC ( )23A (

43、2, 4)B (3,4)C (6,10)D ( 6, 10)uuur 解析： AC ( 4,uuur uuur7) ， BC BAuuurAC (2,3) (4,7) ( 24)答案： A24下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是()uruururuurA e1(0,0), e2 (1, 2)Be1( 1,2),e2(5,7)uruururuur13C e1(3,5), e2 (6,10)De1(2, 3),e2(2, 4)解析：滿足基底的條件應(yīng)是兩個不共線的非零向量，題目中只有 B 滿足答案： B如圖：向量 a252627ur uurA 2e1 4e2ur uurB 4e1 2e2ur

44、uurC e1 3e2ur uurD e1 3e2r r rrur uur解析：由圖可知 a b a ( b) e1 3e2 答案： D如圖：向量 auurA 3e2urC e1B 2e1D 3e1r r ur uur解析：由圖可知 a b e1 3e2 答案： C向量 aA 3e1C 3e1b c 可表示為(uur2e2ur2e2BDur3e12e1uur3e2解 析 ： a b c 在圖上 畫出 來，可知r r r ur uur a b c 3e1 2e2答案： C向量 a ，b， c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若 c a，則解析：如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，可得a ( 1, 1)，b

45、(6,2) ，c ( 1, 3)，28則 c a b ( , ) (6 ,2 ) (61 ，則 4 2答案： 429已知平面內(nèi)三點(diǎn) A(2, 3) ， B(4,3) ， C(5, a)共線，則 auuur uuur uuur uuur解析： AB (2,6) ， AC (3,a 3) ，由條件知 ABAC ，所以 2(a 3) 6 3，解得 a 6答案： 6已知平面內(nèi)三點(diǎn) A(2,2) ， B(a,0) ， C(0,4) 共線，則 a30解析：uuurAB(a 2, 2) ，uuurAC ( 2,2) ，2(a 2)( 2)( 2) ，解得 a4答案： 4uuur uuur由 條 件 知 AB

46、 AC ， 所 以11 已知平面內(nèi)三點(diǎn) A(2,2) ， B(a,0) ， C(0,b) (ab 0)共線，則 ab uuur uuur uuur uuur AB (a 2, 2) ， AC ( 2,b 2) ， 由 條 件 知 AB AC ， 所 以解析：31(a 2)(b1112) ( 2) ( 2) ，化簡得 ab 2a 2b 0 ，兩邊同除以 ab ，得 ab2答案： 1232r r r r已知向量 a (1,k) ， b (9,k 6)，若 ab ，則實(shí)數(shù) k r r 3 解析：由 ab可知 1 (k 6) 9k，解得 k 3 4 答案： 3433r r r r r r已知向量 a

47、( 3,1) ， b (0, 1)，c (k, 3)，若 a 2b與c共線，則 k 解析： ra 2br ( 3,3) ， (ar 2br)rc，則 3 3 3k ，解得 k 1答案： 134已知向量 ar (1,2) ， br (1,0) ， rc (3,4) ， (ra br ) rc ，則( )11A BC 1D 242rr rr r1解析： ab(1 ,2)，(ab)c，則 4(1) 2 3，解得12 答案： B35在平面直角坐標(biāo)系中， 四邊形 ABCD 的邊 ABDC ， ADBC ，已知點(diǎn) A( 2,0) ，B(6,8) ， C(8,6) ，則D點(diǎn)坐標(biāo)為 uuur uuur 解析：

48、由條件知 ABCD 為平行四邊形，則 AB DC ，設(shè) D 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x,y) ，則uuur uuur 8 8 xAB (8,8) ， DC (8 x,6 y)， ，解得 x 0，y 2，故D 的坐標(biāo)為 86y(0, 2) 答案： (0, 2)36已知平行四邊形 ABCD 的三個頂點(diǎn) A，B，C的坐標(biāo)分別是 ( 2,1)，( 1,3) ，(3,4) ， 則頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)是 uuur uuur uuur uuur 解析：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為 (x, y) ，則AB (1,2)，DC (3 x,4 y) ，由條件知 AB DC ，3x1則 ，解得 x 2 ， y 2 ，故 D 點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,2) 4

49、y2答案： (2,2) 平面向量 | 38 平面向量 18答案： 18 | 38三、平面向量的數(shù)量積1數(shù)量積的定義r r uuur r uuur r 向量夾角：已知兩個非零向量 a 和 b ，作 OA a ， OB b ，則rrAOB (0 180 )叫做向量 a 與 b的夾角0 時， a 與 b 同向； 180 時， a 與 b 反向；90 時， a與 b 垂直，記作 a b數(shù)量積：已知兩個非零向量ar與br ，我們把 | ar |br |cos 叫做ar與br的數(shù)量積(或內(nèi)積) ，r r r r r r r r 記作 a b，即 a b | a |b |cos ，其中 是 a 與b的夾角規(guī)

50、定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0注意：點(diǎn)乘符號“ ”不能省略，兩個向量的數(shù)量積結(jié)果為實(shí)數(shù)，不再是向量r r r r r r0 90 時， a b 0 ； 90 時， a b 0 ； 90 180 時， a b 0 uuur uuur uuur uuur VABC中， |BC| 5， |CA| 8， C 60 ，求 BC CA例1uuur uuur uuur uuur 解析：設(shè) BC和CA的夾角為 ，則 180 C 120 ，因?yàn)?|BC| 5，|CA| 8，uuur uuur uuur uuur則 BC CA |BC |CA |cos 5 8 cos120 20 答案： 20r r r r r

51、 r投影： |a|cos (|b|cos )叫做向量 a 在 b方向上(b在 a方向上)的投影r r r r 常用投影計算公式： |ar |cos |ar | ra br arb|a|b| |b|ar br 的幾何意義：數(shù)量積 ar rb等于 ar 的長度 |ar|與br在 ar方向上的 r ur r投影 |b|cos 的乘積類比于物理中的做功 W |F |s|cos .例2如圖，在平行四邊形 ABCD 中， APuuur uuurP，且 AP 3 ，則 AP AC BD ，垂足為解析：uuur uuur uuur uuur uuur uuurAP AC AP 2AO 2 | AP | AO

52、| cos PAC ，在 RtVAPO中，uuur|AO|cos PACuuur2|AP|2 2 32uuur uuur uuur|AP| ，所以 AP AC2數(shù)量積的性質(zhì)ar與br同向時， ar rb |ar |br |； ar與br反向時， ra br |ar |rb|ar rc br cr ，不能得到 ar br ，即數(shù)量積不滿足消去律(a b) c a (b c) ，即數(shù)量積不滿足結(jié)合律r r r r設(shè)向量 a與b夾角為 ，a (x1, y1) ，b (x2,y2) 性質(zhì)字母表示坐標(biāo)表示數(shù)量積公式r r r r a b |a|b|cosrra b x1x2 y1y2垂直r r r r

53、r ra b a b |a|b|cos 0r r r ra b a b x1x2 y1 y2 0求模rr 2|a| a|a| x12 y12求角rr ab cos r r|a|b|x1x2 y1y2cos2 2 2 2 x12 y12 x22 y22例3已知向量 ra (k,3) ， br (1,4) ， rc (2,1) ，且 (2ra 3br) rc，則 k ( ) 9 15AB 0C3D 22解析： 2ar 3br (2k,6) (3,12) (2k 3, 6) ，由題意知(2ra 3br) cr 0，則(2k 3, 6) (2,1) 2(2k 3) 6 0 ，解得 k 3答案： C例4

54、r rr r r r r r設(shè)向量 a ， b 滿足 |a b| 10，|a b| 6 ，則 a b ( )A 1B2C3D5r r r2 r 2 r r r r 解析：由 |a b| 10兩邊平方得 a b 2a b 10，由 |a b| 6 兩邊平方得r2r 2 r rrrab 2a b 6 ，兩式相減得ab1答案：Ar r rrrrrrr已知向量 a ， b 滿足 (a2b) (abr)6，且 |a | 1，|b|2 ，則 a 與 b 的夾角為rrrrr2r 2 r rrr例5解析：設(shè)夾角為 ， (a2b) (ab)a2b a b122 22 a b 6 ，解得rrrrab11，ab，|

55、a|b|1223答案3已知點(diǎn) A( 1,1)， B (1,2)，C(2, 1) ，D (3,4) ，則uuurABuuur在 CD 方向上的投影為uuuruuur5uuur解析：由題意知， AB(2,1) ，CD(5,5) ， |AB|， |CD | 5 2 ，所以例6uuur uuurAB CD 1053 10uuur3 10 3 2cos投影為 | AB |cosuuur uuur5| AB |CD | 5 5 21010 2答案322練習(xí)題：1已知向量 a 和向量 b的夾角為 30 ，|a| 2 ，|b| 3 ，則 a b 解析： ra br |ar | rb| cos 2 3 cos3

56、0 3 答案： 32已知向量 a 和向量 b 的夾角為 120 ，且 |a| |b| 4 ，則 a b r r r r解析： a b |a |b | cos 4 4 cos120 8答案： 83已知 ra ， br 為單位向量，其夾角為 60 ，則 (2ar br) br ( )A 1B 0C1D 2 平面向量 答案： B | 38 平面向量 答案： B | 382 * 12 8 6 在 VABC 中， M 是 BC 的中點(diǎn)， AM1 ，點(diǎn) P 在 AMuuur 且滿足 APuuuur2PM ，則r r r r r r 2r r r 1解析： (2a b) b 2a b b 2 | a | b

57、 | cos60 |b|2 2 1 0 若向量 a，b，c滿足ab且a c，則c (a 2b) ( )A 4B3C2D0解析：由條件 arbr且ar rc可得 br cr ，根據(jù)數(shù)量積定義，則有 ra cr 0，br cr 0， r r r r r r r所以 c (a 2b) c a 2c b 0 答案： Duuur uuur uuurPA (PB PC) ( )A 4 B 4 C4 D 4 9 3 3 9uuur 2解析：由題意知， |AP| 2 ，M 是 BC 的中點(diǎn)， AM 是 BC 邊上的中線，則 3uuur uuur uuuurPB PC 2PMuuur uuur uuur uuu

58、r AP ，則 PA (PB PC)uuur uuur PA APuuur 2PA答案： Auuur uuur在 VABC中， AB 2， AC 3，D 是邊 BC 的中點(diǎn)，則 AD BC uuur1 uuuruuur uuur uuuruuur uuur uuur1 uuur 2uuur 2解 析 ： AD 2 3 1 1 2 2 1 2ur uurb1 b2uruururuur uruurur2 uruuruur 2解析： b1b2(e12e2 )(3e14e2)3e12e1e28e23答案： 6(ABAC)， BC ACAB， 則 AD BC1(AC2AB2)227151(9 4) 5

59、22答案： 52uuuur uuur uuur uuur在 VABC中， O為中線 AM 上的一個動點(diǎn)，若 AM 2，則 OA (OB OC) 的最小 8值是 平面向量 | 38 平面向量 | 38uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur 解析： M為BC的中點(diǎn)，則OB OC 2OM ，令2OM ON ，則ON與OA共線且uuur uuuur uuur uuuur反 向 ， 設(shè) |OA| x(0 x 2) ， 則 |OM| 2 x ， |ON| 2|OM| 4 2x ，uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur 2OA (OB OC)

60、 OA ON |OA|OM |cos180 2x2 4x ，當(dāng)取對稱軸 x 1時有 最小值 2 答案： 29已知菱形 ABCD 的邊長為 2， BAD 120 ，點(diǎn) E， F 分別在邊 BC， DC 上，uuur uuurBC 3BE ， DC DF，若 AE AF 1，則 uuur r uuur r uuur 1r uuur 1 r uuur uuur uuur r 1r 解析：設(shè) AB a，AD b，則 BE b，DF a，AE AB BE a b， 33 uuur uuur uuur r 1 r uuur uuur r 1r r 1 r 1 r r 1 r 2 AF AD DF b a