1、山高人為峰，努力定成功！第 頁共 8 頁山高人為峰，努力定成功！第 頁 共 8 頁BST 金牌數學高三專題系列之概率復習(一)一、離散型隨機變量及其分布列離散型隨機變量 : 若隨機變量的取值能夠一一列舉出來， 這 樣的隨機變量稱為離散隨機變量 隨機變量的線性組合 Y aX b(a,b是常數 )也是隨機變量離散型隨機變量 X 的的分布列設離散型隨機變量 X 的取值為 a1,a2,L ,an，X 取ai的 概率為 pi (i 1,2,L ,n)，記作：P(X ai ) pi(i 1,2,L ,n) 把上式列成表：Xa1a2P(X ai )p1p2則上表稱為離散型隨機變量 X 的的分布列分布列的兩個

2、性質： pi 0， i 1,2,L p1 p2 L 1 求隨機變量 X 的分布列的步驟：(1)確定 X 的可能取值 ai (i 1, 2,L ) ； (2)求出相應的概率 P(X xi ) pi； (3)列成表格的形式。說 明 ： 在 寫 出 X 的分布列后，要及時檢查所有的概率之和 是否為 1三、兩個重要的分布1.超幾何分布： 一般地，設有 N 件產品， 其中有 M (M N) 件次品，從中 任取n (n N )件產品，用X 表示取出的 n件產品中次品的k n k件數，那么 P(X k) CMCM N .其中 k 為非負整數 CN如果一個隨機變量的分布列由上式確定， 則稱 X 服從參數為 N

3、，M ， n的超幾何分布 .2、二項分布進行 n 次試驗，如果滿足下列條件：每次試驗只有兩種相互對立的結果， 可以分別稱為 “成功” 和“失敗”；每次試驗“成功”的概率均為p ，“失敗” 的概率均為1 p ；各次試驗是相互獨立的 . 用X表示這 n次試驗中成功的次數，則P(X k) Cnk pk (1 p)nk(k 0,1,2,L ,n)若一個隨機變量 X 的分布列如上所示，稱 X 服從參數為 n, p 的二項分布，記作 X B(n, p) .四、數學期望與方差 .1、均值： 一般地，若離散型隨機變量 X 的概率分布為P(X ai ) pi(i 1,2,L )則稱 EX a1 p1 a2 p2

4、 L ar pr 為 X 的均值或數學期望 (簡稱期望 ).數學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平2、方差、標準差的定義：DX (a1 EX ) 相互獨立事件的概率：對兩個事件 A,B ，如果事件 B發(fā)生與否不影響事件 A 發(fā)生 的概率，則稱 A,B 相互獨立，即有 P(AB) P(A)P(B) .若事件 A與 B獨立，則 A與 B，B與 A， A與B 也相互 獨立(3)對多個事件，如果 A1,A2,L , An相互獨立，則有P(A1 A2L An) P(A1)P(A2)L P(An ) p1 (a2 EX )2 p2 L (ar EX )2 pr 稱為 X 的方差 . 顯然 DX 0 ，

5、 故 X DX ， X 為 X 的標準差 .隨機變量 X 的方差與標準差都反映了隨機變量 X 取值的穩(wěn) 定與波動，集中與離散的程度 . DX 越小，穩(wěn)定性越高，波動 越小.均值 EX 、標準差 X 具有與隨機變量 X 相同的單位 . 3、期望、方差的性質(1)隨機變量 Y aX b(a,b均為常數 )的數學期望、方差： EY E(aX b) aEX b ；DY D(aX b) a2DX (2)二項分布 X B(n,p)： EX np，DX np(1 p)X 服從參數為 N , M ,n的超幾何分布： EX n M N例 1.【福建理科】某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內出現3 次密碼嘗試錯誤，該

6、銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發(fā)現自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的 6 個密碼之一，小王決 定從中不重復地隨機選擇 1 個進行嘗試 .若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.（）求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；（）設當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數為X，求 X 的分布列和數學期望拓展變式練習【福建理科】如圖，點 A 的坐標為 1,0 ，點 C 的坐標為 2,4 ，函數 f x x2 ，若在矩形 ABCD 內隨機3 個，白粽取一點，則此點取自陰影部分的概率等于例 2. 【江蘇理科】 （本小題滿分 13 分，（1）小問 5 分，（ 2）小問 8

7、 分） 端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗，設一盤中裝有 10個粽子，其中豆沙粽 2 個，肉粽 三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取 3 個。（1）求三種粽子各取到 1 個的概率；（2）設 X表示取到的豆沙粽個數，求 X 的分布列與數學期望江蘇理科】袋中有形狀、大小都相同的只與道路暢通狀況有關，例 3.【理科】（本小題滿分 12 分）設某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為 對其容量為 100 的樣本進行統(tǒng)計，結果如下：（分鐘）25303540頻數（次）20304010（ I）求 的分布列與數學期望 ；（ II ）劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個 50 分鐘的講座，結束后立即返回老校區(qū)，求劉教

8、授從離開老校 區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過 120 分鐘的概率拓展變式練習理科】設復數 z （x 1） yi （x,yR） ，若 |z| 1，則 y x的概率為（31A 4 2典型高考11 B4211 C211D2【北京理科】（本小題13 分）A，A 組：10，11，12，13，14，15，B 組：12，13，15，16，17，14，16aB 兩組各有 7 位病人，他們服用某種藥物后的康復時間（單位：天）記錄如下：假設所有病人的康復時間互相獨立，從 A ， B 兩組隨機各選 1 人， A 組選出的人記為甲， B 組選出的人記為乙山高人為峰，努力定成功！第 頁共 8 頁山高人為峰，努力定成功！第

9、 頁共 8 頁（） 求甲的康復時間不少于 14 天的概率；（ ） 如果 a 25，求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率；【山東卷】（本小題滿分 12 分）若 n是一個三位正整數，且 n 的個位數字大于十位數字，十位數字大于百位數字， 則稱 n 為“三位遞增數” （如 137,359,567 等） . 在某次數學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數”中隨機抽取一個數，且只能抽取一次，得分規(guī)則如 下：若抽取的“三位遞增數”的三個數字之積不能被 5整除，參加者得 0分；若能被 5整除，但不能被 10 整除， 得-1分；若能被 10整除，得 1 分.（）寫出所有個位數字是 5的“三位遞增數”

10、； （）若甲參加活動，求甲得分 X 的分布列和數學期望 EX.【天津理科】（本小題滿分 13 分）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現有來自甲協(xié)會的運動員 3 名，其中種子選手 2 名；乙協(xié)會的運動員 5名，其中種子選手 3 名.從這 8名運動員中隨機選 擇 4 人參加比賽 .（I）設 A為事件“選出的 4人中恰有 2 名種子選手，且這 2名種子選手來自同一個協(xié)會”求事件 A 發(fā)生的概率； （II）設 X為選出的 4人中種子選手的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望 .20 個【新課標二卷】 （本題滿分 12分）某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從 A， B兩地

11、區(qū)分別隨機調查了 用戶，得到用戶對產品的滿意度評分如下：A 地區(qū)： 6273819295857464537678869566977888827689B 地區(qū)： 7383625191465373648293486581745654766579（）根據兩組數據完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，得出結論即可） ；A 地區(qū)B 地區(qū)456789）根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件 C：“A 地區(qū)用戶的滿意度等級高于 B

12、 地區(qū)用戶的滿意度等級 ”假設兩地區(qū)用戶的評價結果相互獨立根據 所給數據，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，求 C 的概率【四川理科】 某市 A,B兩所中學的學生組隊參加辯論賽， A中學推薦 3名男生， 2名女生， B中學推薦了 3名男生，4 名女生，兩校推薦的學生一起參加集訓，由于集訓后隊員的水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3 人，女生中隨機抽取 3 人組成代表隊（1）求 A中學至少有 1 名學生入選代表隊的概率 .（2）某場比賽前，從代表隊的 6名隊員中隨機抽取 4 人參賽，設 X表示參賽的男生人數，求 X得分布列和數學期 望.【湖南理科】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額

13、商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4 個紅球、 6 個白球的甲箱和裝有 5個紅球、 5個白球的乙箱中，各隨機摸出 1 個球，在摸出的 2個球中，若都是紅球，則獲一等 獎；若只有 1 個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則 不獲獎 .（1）求顧客抽獎 1 次能獲獎的概率；（2）若某顧客有 3次抽獎機會，記該顧客在 3次抽獎中獲一等獎的次數為 X，求 X 的分布列和數學期望 .【安徽理科】 （本小題滿分 12分）已知 2 件次品和 3 件正品放在一起，現需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測 一件產品，檢測后不放 回，直到檢測出 2 件次品或者檢測出 3 件正品時檢測結束 . （）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率（）已知每檢測一件產品需要費用 100元，設X 表示直到檢測出 2件次品或者檢測出 3件正品時所需要的檢測費 用（單位：元） ，求 X 的分布列和均值（數學期望）山高人為峰，努力定成功！第 8頁 共 頁山高人為峰，努力定成功！第 8頁 共 頁課前回顧姓名： 得分： 1.【理 4】二項式 （x 1）n（n N ）的展開式中 x2的系數為 15，則 n.（用數字作答 ）2.【湖北，理 3】已知 （1 x）n的展開式中第 4 項與第 8項的二項式系數相等，則奇數項的二項式 系數和為.（用數字作答 ）3.【重慶，理 12】12x5的