1、1第二型曲面積分定義定義5.5.1 設(shè) S 是一張逐片光滑的有向曲面, vr( x, y, z) X ( x, y, z)i Y ( x, y, z) rj Z ( x, y, z)k是定義在 S 上的連續(xù)向量場.vrrinin( x, y, z) 是 S 的 法向量場.f ( x, y, z) : v n是在曲面 S 上有定義的函數(shù) .如果 f 在 S 上的曲面積分 S f dS 存在，則稱這個積分為 向量場 vr 在有向曲面 S 上的積分.也稱為第二型曲面積分.記 f ( x, y, z) ) .根據(jù)函數(shù)的曲面積分的定義，上述極限恰好是函數(shù)f ( x, y, z) 在 S 上的積分.于是流

2、體自A 側(cè)穿過曲面 S 流向 B 側(cè)的總量等于S f ( x, y, z)dS S v ( x, y, z) n( x, y, z)dS .vrnriiBPiAlim Si .ivr nriinr 表示 S 在點 P 指向 B 側(cè)的法向量.ii時間中穿過 Si 流向 B 側(cè)的流量近似地等于Qi vi ni Si .穿過曲面 S 流向 B 側(cè)的總量近似地等于Q v n S .viniiiiiiiB P當曲面S 的分割越來越細時,i即各小片曲面的最大直徑趨向于零時， A如果這個近似值存在極限lim vi ni Si .i該極限就是穿過曲面 S 流向 B 側(cè)的流量.一.引例設(shè)在空間某區(qū)域中充滿質(zhì)量均

3、勻的流體.在每一點 M ( x, y, z) .在區(qū)域 中有一張曲面S .vinr求時間中流體從 S 的 A側(cè)BiPi穿過 S 流向 B 側(cè)的流量.A問題分析：將曲面 S 分成若干小片曲面 S1, S2 ,L, Sn .又在每一個 Si 上任取一點 Pi , 記 vr vr(P ) .ii5.5.1向量場在曲面上的積分概念5.5第二型曲面積分向量場在曲面上的積分概念向量場的曲面積分的計算向量場的曲面積分的兩種形式25.5.3 向量場曲面積分的坐標形式 D v (zx ,zy ,1)dxdy .vr xzi yzj z2k , ( xz, yz, z2 ) (zx ,zy ,1)dxdy .Dz

4、 R2 x2 y2 .z x, z y.xyR2 x2 y2R2 x2 y2 ( xz, yz, z2 ) (zx ,zy ,1)dxdy .Dy ( x2 y 2 z2 )dxdy DD R2dxdy 1 R4 . ROxD2例1 計算 S vr nrdS .z其中vr xzi yzj z2k ,S : z R2 x2 y 2 ( x 0) ,上側(cè).解 r(zx ,zy ,1)On .1 (zx )2 (zy )2xydS 1 (zx )2 (zy )2 dxdy . nrdS (zx ,zy ,1)dxdy .yS v ndS S v (zx ,zy ,1)dxdy .D v (z ,z

5、,1)dxdy ROxDxy.第二型曲面積分公式vr( x, y, z) X ( x, y, z)ir Y ( x, y, z) rj Z ( x, y, z) rk有向曲面 S .法向量 nr .函數(shù) f vr nr 在 S 上的第一型曲面積分S v ndS .稱為向量場vr 在有向曲面S 上的曲面積分.計算第二型曲面積分可以直接計算第一型曲面積分.第一型曲面積分公式1. S : z z( x, y) ,( x, y) D . f ( x, y, z)dS f ( x, y, z( x, y) 1 zx2 zy2 dxdySD2. S : x x(u, v), y y(u, v), z z(

6、u, v) ,(u, v) D .S f ( x, y, z)dS f ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) A2 B2 C 2 dudvD5.5.2 向量場的曲面積分的計算3例3 計算積分 I S x( y z)dy dz ( x y)dx dy .其中S : x2 y2 1 , 0 z 2 外側(cè)解 將積分改寫成 S v ndS .其中 vr x( y z)i ( x y)k , nr xi yj .n vr nrdS x2 ( y z)dSSS曲面的參數(shù)方程:x cos , y sin , z z (0 2 ,0 z 2) .dS d dz . x2 ( y z)dS c

7、os2 (sin z)ddz 2 .S0 20 z2nr dS 1 ( x, y, z)dxdy .zznvr xzi yzj z2k ，vr nrdS ( x2 y 2 z2 ) .y xzdydz yzdzdx z2dxdy .xS vr nr dS ( x2 y 2 z2 )dxdy Sx2 y 2 R2 R2dxdy R4 .x2 y 2 R2S : z R2 x2 y 2 ( x2 y2 R2 ) .例2計算曲面積分z xzdydz yzdzdx z2dxdy .nSS : z R2 x2 y 2 上側(cè).解 令 vr xzi yzj z2k 則y xzdydz yzdzdx z2dx

8、dyxS S v n dS .n dS (zx ,zy ,1) f 2f 2 f 2f 2 1 ( x ) ( y ) dxdy1 ( x ) ( y ) (z ,z ,1)dxdy 1 ( x, y, z)dxdy .xxz注釋dx dy cos dS|dx dy | 是 dS 在 xOy 平面上的投影的面積 .是 xOy 平面上的面積元素 可以記作d xy . dx dy 的符號與cos 一致.當 為銳角時 , dx dy d xy ;當 為鈍角時 , dx dy d xy .同樣 當 為銳角時, dz dx d zx ;當 為鈍角時, dz dx d zx .當 為銳角時, dy dz

9、d yz ;當 為鈍角時 , dy dz d yz .于是S v n dS S X ( x, y, z)dS cos Y ( x, y, z)dS cos Z ( x, y, z)dS cos .引入記號 dy dz cos dS , dz dx cos dS ,dx dy cos dS .就得到向量場曲面積分的坐標形式：S v n dS S X ( x, y, z)dy dz Y ( x, y, z)dz dx Z ( x, y, z)dx dy S X ( x, y, z)dydz Y ( x, y, z)dzdx Z ( x, y, z)dxdy第二型曲面積分經(jīng)常以下面的坐標形式出現(xiàn):S

10、 X ( x, y, z)dydz Y ( x, y, z)dzdx Z ( x, y, z)dxdy .S X ( x, y, z)dy dz Y ( x, y, z)dz dx Z ( x, y, z)dx dy .這個積分與S vr nr dS關(guān)系？假設(shè)vr( x, y, z) X ( x, y, z)i Y ( x, y, z) j Z ( x, y, z)k .用 , , 表示 nr 與三個坐標軸正向的夾角.則有) .4例6 計算曲面積分I S ( y z)dy dz (z x)dz dx ( x y)dx dy .S : y x2 z2 (0 y h) 外側(cè) .znr解 將積分寫成

11、向量形式y(tǒng)I S v ndS .其中xrvr ( y z)i (z x) j ( x y)k .y ir rj y ryyrxz kdS 1 ( )2 ( )2 dxdz .n ,xz1 ( y )2 ( y )2ry r r y rxzndS (i j k )dxdy .xzrz r z r rxir yjrzndS x i y j k k .x2 y2vr x2ir y 2 rj z2 r .knx3 y3 2yv ndS ( z )dxdy x2 y 2x33I vr nrdS x y ( x2 y 2 )dxdyS22x2 y 2 h2x y ( x2 y 2 )dxdy r2 rdr

12、d h4 .x2 y 2 h2rh2例5z計算 I ( x2 cos y 2 cos z2 cos )dS .SS : x2 y2 z2 (0 z h) 外側(cè).其中 cos , cos , cosn是 S 的外法向量 nr 的方向系數(shù).y解 令 vr x2i y 2 j z2k則有xI S v ndS .z ir z rj k其中 nr xy , dS 1 ( z )2 ( z )2 dxdy .1 ( z )2 ( z )2xxxy計算 vr nrdS .znrS42S4 : z 1 x y ,( x, y) D .nr3n4D 0 x y,0 y 1 x.ydS 3dxdy . nr 1

13、(ir rj r) .43kxn 1 r r222S v ndS ( x y z )dxdy 40 x10 y 1 x110 d 4 .令 vr x2i y 2 j z2k . 則有z x2dy dz y2dz dx z2dx dyn4S n3n2S v ndS ( )vr nrdSyS1S2S3S4在 S 上nr1x1vr nr vr (k ) z2 0 .1所以S v ndS z 2dS 0dS 0 .1S1S1同理 S v ndS S v ndS 0 .23例4 計算曲面積分：zn4 x2dy dz y 2dz dx z2dx dy .Sn3n2其中S 是區(qū)域 的邊界 外側(cè)y 由平面 x

14、 y z 1 , x y z 0 圍成.解 S S1 S2 S3 S4 .xnr1S1, S2 , 和 S3 分別是位于三個坐標面上的三角形.S1, S2, 和 S3 的法向量分別是nr r rr rr1k , n2 i , n3 j .S4 是斜面 x y z 1 上的三角形,法向量是 nr 1 (ir rj r) .43k5rnr Ai Bj Ck .A2 B2 C 2由此可以得到：S v n dS S X ( x, y, z)dS cos Y ( x, y, z)dS cos Z ( x, y, z)dS cos . D ( XA YB CZ )dudv .例題： x2dy dz y 2dz dx z2dx dy .SS : x2 y2 z2 a2 , 外側(cè).則cos A ,A2 B2 C 2cos B , cos C,A2 B2 C 2A2 B2 C 2于是dx dy cos dS CA2 B2 C 2 dudv Cdudv ,A2 B2 C 2dy dz Adudv ,dz dx Bdudv .第二型曲面積分的另一種計算方法寫出曲面的參數(shù)方程，化為對參數(shù)的二重積分假設(shè)曲面S 的參數(shù)方程為x x(u, v), y y(u, v), z z(u, v) , (u, v) D .dS A2 B