1、第五章 大數(shù)定律及中心極限定理1定義1 設(shè) 為一個(gè)隨機(jī)變量序列, 記為 , 若對(duì)任何n2，隨機(jī)變量 都相互獨(dú)立，則稱(chēng) 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列。5.0 隨機(jī)系列的收斂性定義2 設(shè) 為一隨機(jī)變量序列，X 為一隨機(jī)變量或常數(shù)，若對(duì)任意0，有則稱(chēng) 依概率收斂于X, 記為 或2請(qǐng)注意:3 大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性 大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率5.1 大數(shù)定律4定理：設(shè) nA 是 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù), p 是每次試驗(yàn)中 A 發(fā)生的概率，則對(duì)于有或即伯努利大數(shù)定理5在概率的統(tǒng)計(jì)定義中，事件 A 發(fā)生的頻率 “ 穩(wěn)定于”事件 A 在一

2、次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是指：頻率 與 p 有較大偏差 是小概率事件, 因而在 n 足夠大時(shí), 可以用頻率近似代替 p. 這種穩(wěn)定稱(chēng)為依概率穩(wěn)定.伯努利大數(shù)定理的意義6則7則有或定理：設(shè)隨機(jī)變量序列 相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差切比雪夫(Chebyshev)大數(shù)定理8說(shuō)明9切比雪夫大數(shù)定理中的條件可以弱化:下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定理，不要求隨機(jī)變量的方差存在.辛欽大數(shù)定理 設(shè)隨機(jī)變量序列 X1, X2, 相互獨(dú)立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期望E(Xi) = , i = 1, 2, ， 則對(duì)于任意正數(shù) ，有辛欽大數(shù)定理101、辛欽大數(shù)定理為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.注2

3、、伯努利大數(shù)定理是辛欽定理的特殊情況.3、辛欽定理具有廣泛的適用性. 要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量 ，可收割某些有代表性塊，例如n塊地. 計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).112) 相互獨(dú)立的條件可以去掉，代之以1) 不一定有相同的數(shù)學(xué)期望與方差，可設(shè)有更一般地，12例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素（如瞄準(zhǔn)，空氣阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的.每個(gè)隨機(jī)因素對(duì)彈著點(diǎn)（隨機(jī)變量和）所起的作用都是很小的.那么彈著點(diǎn)服從怎樣分布 ？中心極限定理的客觀背景 在實(shí)際問(wèn)題中許多隨機(jī)變量是由相互獨(dú)立隨機(jī)因素的綜合影響所形成的.5.2 中心極限定理13問(wèn)

4、題: 某個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立且均勻小的隨機(jī)變量相加而成的, 研究其概率分布情況. 如果一個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所造成，而每一個(gè)別因素對(duì)這種綜合影響中所起的作用不大. 則這種隨機(jī)變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布. 由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量. 在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類(lèi)定理都叫做中心極限定理.14獨(dú)立同分布的中心極限定理(林德貝格-列維中心極限定理)獨(dú)立同分布的中心極限定理15注3、雖然在一般情況下，我們很難求出 的分布的確切形式，但當(dāng)n很大時(shí)，可以求出近似分布.16李雅普諾夫(L

5、yapunov)定理當(dāng) , 但不服從同一分布時(shí):李雅普諾夫(Lyapunov)定理1718請(qǐng)注意:于是解2021設(shè) X n b(n, p) , 0 p 1, n = 1,2,則對(duì)任一實(shí)數(shù) x，有即對(duì)任意的 a b,Xn N(np , np(1-p) (近似)棣莫佛拉普拉斯中心極限定理例. (供電問(wèn)題)某車(chē)間有200臺(tái)車(chē)床, 在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車(chē). 設(shè)開(kāi)工率為0.6, 并設(shè)每臺(tái)車(chē)床的工作是獨(dú)立的，且在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦.問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車(chē)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?用X表示在某時(shí)刻工作著的車(chē)床數(shù)，解：對(duì)每臺(tái)車(chē)床的觀察作為一次

6、試驗(yàn)，每次試驗(yàn)是觀察該臺(tái)車(chē)床在某時(shí)刻是否工作, 工作的概率0.6, 共進(jìn)行200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).依題意，X b(200,0.6),現(xiàn)在的問(wèn)題是：P(1*X N) 0.999的最小的N.求滿(mǎn)足設(shè)需供應(yīng)N千瓦，23由中心極限定理近似N(0,1),于是 P(XN) = P(0XN)這里 np=120, np(1-p)=48由3準(zhǔn)則，此項(xiàng)為0。查正態(tài)分布函數(shù)表得24從中解得N 141.5,即所求N=142. 也就是說(shuō), 應(yīng)供應(yīng)142千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車(chē)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn). 3.1,故25設(shè) 為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且則由大數(shù)定理，對(duì)于任意的0有大數(shù)定律并未給出 的表達(dá)式,但保證了其極限是1.大數(shù)定律與中心極限定理的區(qū)別：26而在以上同一條件下，中心極限定