1、微積分經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)部分習(xí)題解答(參考)習(xí)題一(P37)21.一1f(a+1)1.設(shè)函數(shù)f(x)絲求：f(0),f(-1),f(-),x1a解：分析：即求當x為0,-1,1，(a+1)時的函數(shù)值。af(-1)=f(0)=1；f(1)=af(a+1)=2(a1)123(a1)1a3.下列各組函數(shù)是否表示相同的函數(shù)？為什么?(1) y= lg x2 與 y= 2lgx(2)y=1與y=sin2x+cos2xx21一,y=1與y=x+1x1y=-xx與y=-x2解：分析：相同函數(shù)的條件是D與f相同。(定義域與對應(yīng)規(guī)則)(1)不同，D不同(2)相同定義域與對應(yīng)法則相同(3)不同，D不同(4)不同對應(yīng)法則

2、不同(當x=-1,對應(yīng)y不同)4.求下列函數(shù)的定義域:(1)y= arcsinx1y=-x,1y=lg1x解：求定義域應(yīng)記?。悍帜?y=三1x2x1(4)y=lglg(x+1)(6)y=tan(2x+1)(2x+1-k)0Ha0log：x0三角函數(shù)的限制。y=解D:x#0或(-,0)(0,)y=1x2(4)lglg(x+1)解:1x2D:-1x1解:ig(i)0D:(0,+oo)(3) y= lgy=arcsin解:D:-2,1解:D:-1,3解:2x+1y=tan(2x+1)2kx2D:x245.判斷下列函數(shù)的奇偶性。xxxx(1)f(x)=Tf(x)=lg(x+.13x解:f(-x)=3=

3、f(x)解:f(-x)=lg(-x+1(x)2f(x)是偶函數(shù)。(x1x2)(x-1x2)=lg2(x、1x2)R1一xzUX2)1=-lg(x+1x2)=-f(x)f(x)是奇函數(shù)。f(x)=xex解：f(-x)=-xex小(x)也于-f(x)f(x)是非奇非偶函數(shù)。(5)f(x)=log3解:f(-x)=log31分析：判斷奇偶函數(shù)=log3(=-logx產(chǎn))1x1x1x(1)f(-x)=f(x),f(x)(2)f(-x)=-f(x),f(x)是偶函數(shù)是奇函數(shù)=-f(x)否則非奇非偶。f(x)是奇函數(shù)。x(6)設(shè)f(x)=x22求f(0),f(-1),f(-2),f(2),并作出函數(shù)圖像。

4、解：分析：求分段函數(shù)的函數(shù)值D先確定xo的所屬的區(qū)間從向確定其解析式爾后代之，作圖需分段作圖。0 -1x 1 -1 x xx2解：y,2.x(x1)y2(、.x)(x1).x(x1)x32x(5)y=解法2：y(解法1：y= 4(1 x) (1 , x)(1一x)(Lx)一.)(1)1.x1,x11_2x2x-(1、x)(1、.x)2,(1(1=21(1)(1x)122(1x)2:1(1,x)2(1、.x)2-2,x(1.x)2(1、x)214.x2,x(1x)22(1x)2解:y =1Tx 11.(6)y=(1、x)(1)xy(；Vx)xy=x33x解：y(x3)3xx3(3x)=3x %

5、x2、x3xx33xln3x23=3(3xxIn3)一2_42y=(x3x1)(xx1)解：y(x23x1)(x4x21)(x23x1)(x4x21)(2x3)(x4x21)(x23x1)(4x32x)4x3 2x5_3_4_2_5342=2x52x32x3x43x234x52x312x46x2=6x515x48x39x23(9)y=2x131x1(11)y=解：y解：y(2x1)(x31)(x31)(2x1)/32(x1)(1.x)(1.x)(1x)(1.x)(1x)21 277(1、x)1.x(1 . x)2(10) y =ln xcos x解：y(ln x) cosx (cosx) ln

6、 x2cos x1-cosx sinxlnxx2cos x_ cosx xsin xln x=2xcos x(12) y = x 2x sin x解：y x 2x sin x x (2x) sin x x 2x(sin x)2xsinx x 2xln2 sinx x 2xcosx2x(sinx xln2sinx xcosx)2xln2(x31)3x2(2x1) TOC o 1-5 h z /32(x1)x.3222(xIn2In23x)3x/32(x1)6.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1)y=(1x2)5解：y5(1x2)4(1x2)x=10 x(1x2)4y=(2x1)*1x2.o2x解：y2,1x

7、2(2x1)221x24x2x.1x2sin(10)y=ln(lnx) TOC o 1-5 h z xx、xx解：y2sin-(sin-)x(二)x2222=2sinxcos222a1解：y(lnx)lnx=_J_xlnx(3)xy7.求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（指yx）xeyy210解：原方程兩邊對x求導(dǎo)解：兩邊取對數(shù)eyxeyyx2y*0yInxxlnyey丫“xey2y兩邊求導(dǎo),yyxlnxxlnyx&yyx,yInyx,xInx一yy(xlnyy)x(yInxx)9.求高階導(dǎo)數(shù).y=ln(1+x)求y(4)xxe(n)y解：y解:xxe（1x)ex(1x)e(2xx)e(3)y2(1x)3(3)

8、y(2x)e(3x)ex(4)y6(1x)4由不完全歸納法的y(n)(nx)ex10.求下列函數(shù)的微分.(1)y=13x2(4)y=arcsinx6x解：y22.13x解：（arcsin、x）3x0 , (x ？-100)21x(x 100) x4.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.x(0, 100)100(100, +8)f+0一f/(x100)21一0即尸(x100)vx2,x0 x1002(Jx)2Xw100函數(shù)在(0,100)/在(100,+s)5.證明下列不等式.當0Vx萬時，2xsinxx證明：當0 x02設(shè)f(x)=x-sinxf(x)=1-cosx0/x0,f(x)=x-sinxf(0)=

9、0 xsinxxx令g(x)=snx-x/、xcosxsinxcosx(xtanx)g(x)22xx對于x0,tanxx2g(x)0g(x)在(0,-)即xg(-)sin-2兩g(尸一202g(x)0即皿20即sinx2x的證x6.求下列函數(shù)的極值。(1)y解：y駐點:6x212x18=6(x-3)(x+1)x=3x=-1x(-0,-1)-1(-1,3)3(3一)f+一+f/極大極小/2x36x218x7函數(shù)的極大值為f(-1)=17函數(shù)的極小值為f(3)=-477.求下列函數(shù)在所給區(qū)間上的最大值和最小值解：分析：不必列表，只須將可純的極值點的極值與端點值比較之求極(2)y=x42x25,x-

10、2,2x= 1y x 14, y x 2 13y m ax13,y m in 4解：y4x34xy0 x=0yx05,y|x14,y、213,比較之，12.某商品的總成本函數(shù)為C=1000+3Q,需求函數(shù)Q=-100P+1000,其中P為商品單價，求能使利潤最大的P值解：L=R-C,R=PqL=R-C=P(-100P+1000)-1000+3(-100P+1000)=-100P2+1300P-4000L=1300-200P令L=0P=6.5答：能使利潤最大的P值是6.5。17.確定下列函數(shù)圖形的凸向區(qū)間和拐點。(1)4_2y=x6x解:4x312xy12x21212(x21)x=1x(-0,-

11、1)-1(-1,1)1(1,+)y+0一0+yU拐n拐U，(1,+)圖形下凸區(qū)間為(-oo,-1)上凸區(qū)間為(-1,1)拐點是(-1,-10),(1-10)18.求下列曲線的漸近線。(1)y=-(x2)3ln(e1一)x1角和limylimx2yx2(x2)3解:limln(exx=-2是y的鉛垂?jié)u近線。1limln(e)x0 xlimx1(x2)3lim11n(exey=0是曲線的水平漸近線。y=1為曲線的水平漸近線X=0和x=-1為曲線的鉛垂?jié)u近線。e19.按照作圖步驟，描繪下列函數(shù)的圖象。解：函數(shù)作圖步驟：求出函數(shù)的定義域考查函數(shù)的奇偶性，周期性。求出方程f(x)=0的根，列表判別函數(shù)的

12、升降區(qū)間及極值點求出方程f(x)=0的根，列表確定函數(shù)凸凹性與拐點求出函數(shù)的漸近線計算幾個點的函數(shù)值，畫出圖形。1(1)y=x+-x解：函數(shù)定義域為(-s,0)U(0,+s),f(x)為奇函數(shù)，無周期性。1f(x)1,f(x)=0 x=1x2f無零點x0f0,x0f0 xX=0處f,f,f均不存在x(-0,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)f+一一+f一一+fn/-2nu2U/一1f(x)13)limx-a=lim(-)lim11x0 xxxxx2lim xx1c,b=limf(x)axlim0 x=0為鉛垂?jié)u近線，無水平漸近線。y=x為斜漸近線習(xí)題四.求解下列問題:(1)已知曲線

13、上任一點切線的斜率為3x,且該曲線過點(1,1)求此曲線方程。解：分析；若所求曲線方程為y=f(x),則已知f(x)=3x即已知f(x)=3x,求f(x)用3xdx方法。f (x)dx =33xdx = 一 2x2+c 即 y=2x2+c過(1,1)點，1=3X11=x3 dx x 2 dx+cc=-22所求曲線方程為y=-x2-1,即3x2-2y-1=022.求不定積分解：原式=2x3dx 4xdx+ dx=1 x4-2x2 +x+c2(2x34x1)dxdxxx4解：原式=x3dx1=3x3+c(3)(次；)dxvx11解：原式=(x3xdx(4)(Jx1)(-1)dxx解：原式=一：dx

14、,x=-j=dxxxdx二”412x2c=2、x33-xc3(5)(axa6)dx(6)(dxx.1x解：原式二Ga解：原式=3c2x3x2x3xdx(x3x1、,一)dxx(7)(11),x.xdxx解：原式=(131).x4dx3(x414)dx3x3ln(8)3xexdx解：原式二(3e)xdx3cln(3e)=4x473xex1In33.求不定積分(1)(2x5)4dxa3xdx解：分析用湊微法解：方法同(1)原式=(2x5)4.1d(2x25)原式=3a3xd(3x)(二24.udu3xac3lna(二21一(2x105)5c4.求不定積分(1)3x adx解：原式=3 uduxx6

15、dx(第二換元法)解：令、,x6udx2udu2原式二(u6)u.2udu42=(2u412u2)du5.求下列不定積分(分部積分公式xsinxdx解：udv形式，用分部積分法原式二xdcosx=xcosxcosxdx=xcoscsinxcxsec2xdx解：原式=xdtanx=xtanxtanxdxsinx.=xtanxdxcosxd(cosx)=xtanx_ 25u54u 34(x6)3udv uv vdu )x2exdx解：原式=x2dex=x2ex2xexdx(第二次用公式)2XXx=xe2xeedx2xxx=xe2xe2eclnx,(4升dxx解：原式=lnxd()x TOC o 1

16、-5 h z lnx1=dxxxlnx1=cxxcosx=xtanxIncosxc*8.求下列微分方程的通解和滿足條件（初始）的特解(1x)dy(1y)dx解：分函變量:ln1xln1yIncdydxy1x兩邊積分In1yIn1xInc(1x)(1y)cyexy,yxo2x y解：y edy exdx eyey dy exdxeydy exdx ey ex cyx02Jx0202.eecce1yx2eee1yln(exe21)習(xí)題五1.不計算積分，比較下列各組積分值大小一4一.4c(1)2xdx與2xdx解：根據(jù)定積分性質(zhì)與f(x)g(x)(1)x2xx(x1)0 x2,42x2xx2,4 T

17、OC o 1-5 h z 112(2)exdx與exdx，00bbf(x)dxg(x)dxaa2(2)當x0,1xx112 HYPERLINK l bookmark46 o Current Document exdxexdx00424xdxxdx222.估計下列積分值的大小:4(1)1(1x)dx解：根據(jù)積分性質(zhì)6,m(ba)baf(x)dxM(ba)而在1,4f(x)1Mf(x)17mf(x)4I141(1(1x2)dx17x2)dx5110exdx解：fmax1fminoexdxe3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(x)；.1tdt(x)12dt解：依據(jù)定理5.1(x)xf(t)dt)f(x)a(

18、1)(x)(2)(x)bt2.edxxxt2edx)bx2e(3)(x)x21dt04-1t(4)(x)1xln(4t)dt解:(x)221f(x)(x).2x8x解:(x)x11n(4t)dt2x1x8ln(4x).求下列極限(1)x 2 .cos tdtlim -2x xlxm0 xarctan tdt0解：原式洛必達limx,x 2.、(cos tdt) 0(x2)解：原式=lxm0arctan x=limx2cos x2x=01 =limx 0_ 1一萬2x12 x2（有界量X無窮小量=無窮小）（二次用洛必達法則）x.求函數(shù)（x）0t（t4）dt在區(qū)間-1,5上的最大值和最小值解：令(

19、x)x(x4)0 x=0,x=4為駐點x2t2)02x2px2t3又(x)0(t24t)dt(3(0)0 ,(4)327(1)- ,(5)(x)ft 1,5上最大值為F(0)0 ,最小值為F （4）253323.計算下列定積分(1)2 x2dx(2)sinxdx2解：原式=2-一12=1(x 17dx1 cosx、解：原式=0 (-21)dxJ 1= (-x sinx)02222咤xln(1x)2=ln3ln2一22 TOC o 1-5 h z 12xdxA一，02解：原式=12xdx02xdxx22dxJ1(x21)2解：是奇函數(shù)，原式=0二57計算下列定積分(1)(2)2x1,dx1x解:

20、原式二4d(x1)0Tx-12解：令u,x1,xu1,dx2udu5 dt原式u2uduu1du11一7一ldu=2(uarctanu)=2(1一)242.利用函數(shù)的奇偶性計算定積分3:cosxdx（2）（sinx2sinx）dx2.偶一二.奇解：原式20= 20ducosxdx解：原式=0=2sinx（22.計算下列定積分(分部積分法)(1)；x2Inxdx02xsin-dx21e3解：原式=;1lnxdx3解:原式二02x2xdcos-2=1x3lnx3-dxxx2xcos-2c，x.22cos-dx=1(x3lne313、e-x)13x4sin一2= 2.2 避 2=2e3199.計算下

21、列廣義積分/、01(1)2dx(3x)21ex(lnx)2dx解：原式=blim0工dxb(3x)2d(lnx)解：原式=。而)2lim(bJeInxe=limblimbInb1Ine=limb=0+1=1.求下列各題中平面圖形的面積(1)由曲線yx2與y2x2圍成的圖形2yx解：2交點坐標為(1,1)(-1,1)y2x1_1S20(2x2x2)dx20(2223182x2)dx2(2x-x3)03.某產(chǎn)品產(chǎn)量為Q單位時，邊際成本為C(Q)=80(元/單位)，固定成本為C(0)500元，求生產(chǎn)100個單位產(chǎn)品時的總成本和平均成本。解：C(Q)80dQ80QCC(0)=500C(Q)80Q500

22、C(100)801005008500(元/單位)8500C85(兀/單位)100若生產(chǎn)100個單位產(chǎn)品時的總成本是8500元/單位，平均成本量85元/單位。.某投資總額為100萬元，在10年中每年可獲收益25萬元，年利率為5%,試求(1)該投資的純收入貼現(xiàn)值，(2)回收該項投資的時間。解：(1)pa/r(1ert)255%(1e 5%10) 500(1 e 05)= 500 (1500(10.6065)5000.393519675貼現(xiàn)值為R P A196.75 10096.75(萬元)回收投資時間為/ -) 1 a(2) T lnr a Ar25ln5%25 100 5%520ln - 20

23、0.22344.46(年)習(xí)題六.求下列函數(shù)的定義域,并用聯(lián)立不等式表示(1)1 y21ln(1 x22y_ y2)解:2 y2 x解:4x y2 x2 x02y2y4x22x y 12 y2 x2 y2 x解得:11或.求下列函數(shù)的極限(1)網(wǎng)sin xy /、2(x y)x（解法依據(jù)定義6.3)解:_ 2(0 2)sin2x原式=lm2x22x=2+4=6ln(xey)(2)limx122y0 xy解：原式=1nf_魯)ln212023.討論下列函數(shù)的連續(xù)性2x y-2Z x y0 x, y不同時為零時x y 0解：分析：由于y與x同階時分子、分母同階，所以可選用yKx2路線加以討論。2.

24、 x ylim nx 042x 0 x ylim 7x 0 x22x Kx2 22(Kx )1 K由于K的不同可以解得不同的極限值,原極限9”丁2x y2不存在y4.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)1) Z arctan xyZ在(0, 0)不連續(xù)。解：分析P160,對于f(x,y) Z求關(guān)于X的偏導(dǎo)，只需將y視為常量,對x求導(dǎo)；求關(guān)于y的偏導(dǎo)，只需將x視為常量，對y求導(dǎo)即可。解:y 1y.x1 ( xy)2 2x xy2x(1 xy)y.(x2)y11xy .2Xyln x，xy ln x2(1 xy)ey解:xy x y xye (e e ) ex y 2(e e ).exyxy x y xe y(ee

25、 ) e xy 2(e e )xyexexyxyyZex(ee)eYf(exey)2數(shù)學(xué)(微積分)在經(jīng)濟問題中的應(yīng)用一、經(jīng)濟問題中常見函數(shù)1.需求函數(shù)、供給函數(shù)、成本函數(shù)、收入函數(shù)、利潤函數(shù)。習(xí)題一263126.設(shè)某商品的銷售收入R是銷售量Q的二次函數(shù)，已知Q=0,2,4時,相應(yīng)地R=0,6,8試確定R與Q的函數(shù)關(guān)系1a-c02212解.設(shè)Raqbqc64a2bb4Rq4q816a4bco27.某廠生產(chǎn)產(chǎn)品1000t定價為130元/t,當售出量不超過700t時，按原定價出售。超過700t的部分按原價的九折出售，試將銷售收入表示成銷售量的函數(shù)。解：設(shè)銷售收入為R元，銷售量為q噸700tx130元/t=91000元，130X90%=1