1、第三章 多維隨機(jī)變量及其分布關(guān)鍵詞：二維隨機(jī)變量分布函數(shù) 分布律 概率密度邊緣分布函數(shù) 邊緣分布律 邊緣概率密度條件分布函數(shù) 條件分布律 條件概率密度隨機(jī)變量的獨(dú)立性Z=X+Y的概率密度M=max(X,Y)的概率密度N=min(X,Y)的概率密度11 二維隨機(jī)變量問(wèn)題的提出例1：研究某一地區(qū)學(xué)齡兒童的發(fā)育情況。僅研究身高H的分布或僅研究體重W的分布是不夠的。需要同時(shí)考察每個(gè)兒童的身高和體重值，研究身高和體重之間的關(guān)系，這就要引入定義在同一樣本空間的兩個(gè)隨機(jī)變量。例2：研究某種型號(hào)炮彈的彈著點(diǎn)分布。每枚炮彈的彈著點(diǎn)位置需要由橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)來(lái)確定，而它們是定義在同一樣本空間的兩個(gè)隨機(jī)變量。2定義：

2、設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間S=e；設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的向量(X,Y)叫做二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量。0Se定義：設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y，二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)。3 分布函數(shù) 的性質(zhì)x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)4x2y1x1y25二維離散型隨機(jī)變量 定義：若二維隨機(jī)變量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限對(duì)或可列無(wú)限對(duì)，則稱(X,Y)是離散型隨機(jī)變量。y1y2yjXYp11p12p1jp21p22p2jpi1pi2pij離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布：為二維離散型隨機(jī)

3、變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布。可以用如右表格表示：6 分布律的性質(zhì) 例1：設(shè)隨機(jī)變量X在1、2、3、4四個(gè)整數(shù)中等可能地取 一個(gè)值，另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1X中等可能地取一 整數(shù)值，試求(X,Y)的聯(lián)合概率分布。YX12344000120300 解：(X=i,Y=j)的取值情況為：i=1,2,3,4； j取不大于i的正整數(shù)。即(X,Y)的聯(lián)合概率分布為：7 8 二維連續(xù)型隨機(jī)變量9 10 例3：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度： 1112 例4：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度 (1) 求常數(shù)k；(2) 求概率 解：1132 邊緣分布 二維隨機(jī)變量(X,Y)作為整體，有分布函數(shù) 其中X和Y

4、都是隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù) 記為： 稱為邊緣分布函數(shù)。事實(shí)上，14對(duì)于離散型隨機(jī)變量(X,Y)，分布律為p11p12p1jp1p21p22p2jp2pi1pi2pijpi XYy1y2yjp1p2p.j1X,Y的邊緣分布律為：注意：15對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)，概率密度為事實(shí)上，同理： X,Y的邊緣概率密度為：16 00.0250.350.04YX0102010.02520.0200.100.250.150.04X0210.3700.4150.215pY020100.3150.3950.290p17 例2：(X,Y)的聯(lián)合分布律為 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的邊緣分布律； (3

5、) YX-1100.20.1a120.10.2bX10.420.6Y0.30.5-1100.2(2) 解： (1) 由分布律性質(zhì)知 a+b+0.6=1 即a+b=0.418 例3：設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A，若二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度則稱(X,Y)在G上服從均勻分布。現(xiàn)設(shè)(X,Y)在有界區(qū)域上均勻分布，其概率密度為 求邊緣概率密度 解：19 20213 條件分布由條件概率公式可得：當(dāng)i取遍所有可能的值，就得到了條件分布律。22 定義：設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量， 對(duì)于固定的yj，同樣，對(duì)于固定的xi，23 例1：盒子里裝有3只黑球，4只紅球，3只白球，在其中 任取2球，

6、以X表示取到黑球的數(shù)目，Y表示取到紅球 的只數(shù)。求 （1）X，Y的聯(lián)合分布律； （2）X=1時(shí)Y的條件分布律； (3) Y=0時(shí)X的條件分布律。 解：X, Y的聯(lián)合分布律為X Y 0 1 2 01/154/152/15 13/154/15 0 21/15 0 024故在X=1的條件下，Y的分布律為：同理P(Y=0)=1/5，故在Y=0的條件下，X的分布律為：X Y 0 1 2 01/154/152/15 13/154/15 0 21/15 0 0 X 0 1 2 1/5 3/5 1/5 Y 0 1 2 3/7 4/7 025 例2：一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率為 射 擊直中目標(biāo)兩次為止，設(shè)以

7、X表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的 射擊次數(shù)，以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù)，試求X和Y的聯(lián) 合分布律和條件分布律。 解：2627 例3：設(shè)參加考研的學(xué)生，正常發(fā)揮的概率為a,超常發(fā)揮的概率為b，發(fā)揮失常的概率為c，a+b+c=1。設(shè)某班有10人參加考研，發(fā)揮正常的人數(shù)為X，發(fā)揮超常的人數(shù)為Y。求（1）（X,Y)的聯(lián)合分布律；（2）P(X+Y1)；（3）在Y=3的條件下，X的分布律。 解: (1)X, Y的聯(lián)合分布律為2829 定義：條件分布函數(shù)30 定義：條件概率密度31也就是，由事實(shí)上，32條件概率密度的直觀意義：33 例4：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域 內(nèi)均勻分布，求條件概率密度二維均勻分布的條件

8、 分布仍為均勻分布 解： 根據(jù)題意，(X,Y) 的概率密度為： Y的邊緣概率密度為： 于是給定y(-1y1)，X的條件概率密度為：34354 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 36例1：1例2中X和Y是否相互獨(dú)立？即(X,Y)具有概率密度請(qǐng)問(wèn)：連續(xù)型隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，其密度函數(shù)有何特征？ 計(jì)算得，X和Y的邊緣概率密度分別為：37XY01P(X=j)12P(Y=i)XY01P(X=j)12P(Y=i) 38 39 404142 一般n維隨機(jī)變量的一些概念和結(jié)果 43 44 邊緣分布 如：45 相互獨(dú)立 46 定理1： 定理2：47 5 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布48 49 50 51例3：設(shè)X和Y是相互獨(dú)

9、立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，求 的概率密度。解：由卷積公式：一般：設(shè)X,Y相互獨(dú)立，52 例4：X,Y相互獨(dú)立，同時(shí)服從0,1上的均勻分布，求 的概率密度。xx=zz120 x=z-1 解：根據(jù)卷積公式：易知僅當(dāng)參考圖得：53 例5：設(shè)X,Y相互獨(dú)立、服從相同的指數(shù)分布，概率密度為： 求 的概率密度。 解：根據(jù)卷積公式：54一般的，可以證明：若X,Y相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為X,Y的概率密度分別為證明：這是例3的推廣，由卷積公式由此可知：55 56 推廣到n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的情況 設(shè)X1,X2,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為： 則：5758 例7：設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系

10、統(tǒng)L1,L2聯(lián)結(jié)而成，聯(lián)結(jié)的方式分別為：(1)串聯(lián)；(2)并聯(lián)；(3)備用(當(dāng)系統(tǒng)L1損壞時(shí)，系統(tǒng)L2開(kāi)始工作)。如圖，設(shè)L1,L2的壽命分別為X,Y，已知它們的概率密度分別為：試分別就以上三種聯(lián)結(jié)方式寫(xiě)出L的壽命Z的概率密度。XYL1L2XYL2L1XYL2L159串聯(lián)的情況 由于當(dāng)L1,L2中由一個(gè)損壞時(shí)，系統(tǒng)L就停止工作，所以L的壽命為Z=min(X,Y)； 而X,Y的分布函數(shù)分別為：故Z的分布函數(shù)為：于是Z的概率密度為：即Z仍服從指數(shù)分布L1L260 并聯(lián)的情況 由于當(dāng)且僅當(dāng)L1,L2都損壞時(shí)，系統(tǒng)L才停止工作，所以這時(shí)L的壽命為Z=max(X,Y)，Z的分布函數(shù)為：于是Z的概率密度為：L1L261 備用的情況 由于這時(shí)當(dāng)系統(tǒng)L1損壞時(shí)，系統(tǒng)L2才開(kāi)始工作，因此整個(gè)系統(tǒng)L的壽命Z是L1,L2壽命之和，即Z=X+Y；因此：L1L262復(fù)習(xí)思考題 31.設(shè)(X,Y)為二維向量， 則Px1Xx2,y1Y