1、關(guān)于向量組的線性關(guān)系第一張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月1一、線性組合與線性表示為組合系數(shù). 稱 設(shè)有n維向量組如果存在一組數(shù)則稱是向量組的線性組合;定義1線性表示。稱可由若向量可以由向量組的線性即存在一組數(shù)使得組合來表示，第二張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2觀察三個向量之間的關(guān)系，有設(shè)由三維向量我們稱是和的線性組合。組成的向量組，也稱可由和線性表示。例1.第三張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月3觀察三個向量之間的關(guān)系，有觀察四個向量之間的關(guān)系，有例.例.第四張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月4任一n 維向量都可由n維單位向量組,+線性表示，即+第五張，P

2、PT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月5而三維基本單位向量中任何一個向量，都不能由其他兩個向量線性表示。n維基本單位向量它們之間彼此是線性無關(guān)(相互獨立)的。中任何一個向量，也不能由其他向量線性表示。第六張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月6設(shè)即=+（1）第七張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月7第八張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月8定理1 設(shè)是為 n維列向量組，可由線性表示有解其中因為中每個向量都可由向量組本身(2)向量組線性表示，(1)零向量可由任一組向量線性表示。第九張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月9例2.已知問是否可由線性表示？如能線性表示解:設(shè)有數(shù)就寫出

3、表達式.使第十張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月10有唯一解第十一張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月11練習.已知問是否可由線性表示？如能線性表示解:設(shè)有數(shù)就寫出表達式.使第十二張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月12同解方程組為令得k 為任一常數(shù).第十三張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月13例3. 判斷是否為向量組的線性組合？解: 設(shè)對矩陣第十四張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月14若第十五張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月15觀察三個向量之間的關(guān)系，有設(shè)由三維向量又可以寫成組成的向量組，引例第十六張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月16二

4、、線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念如果存在一組不全為0的數(shù)設(shè)為m 個n 維向量組，使成立，則稱向量組 線性相關(guān)。否則稱則對任意不全為0的數(shù)，都有線性無關(guān)，即當且僅當時，式才成立。線性無。關(guān)而線性相關(guān)時，除了組合系數(shù)全等于0使等式成立外還能找到不全為0的數(shù)使等式。成立若定義1第十七張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月17根據(jù)向量的線性運算，只能得：例如則線性無關(guān)。第十八張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月18線性相關(guān)。例4. 已知即判別是否線性相關(guān)。解: 因為當向量組只含一個向量時，為線性無關(guān)向量組.當為線性相關(guān)向量組;當特別第十九張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月19當向量組含兩個

5、非零向量時，設(shè)線性相關(guān)與對應分量成正比與即與的對應分量成比例.證明:線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)或與或例5.使得若第二十張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月20例如對應分量不成比例，線性無關(guān)。對應分量成比例，線性相關(guān)。幾何上說向量共線。第二十一張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月21例6.求證含有零向量的向量組必線性相關(guān),則此向量組必定線性相關(guān)。證明:設(shè)向量組中，取數(shù)必有第二十二張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月22線性相關(guān)線性相關(guān).即如果部分組線性相關(guān)，則整體組也線性相關(guān)。定理2.證明:線性相關(guān)因為則存在一組不全為0的數(shù)使成立，因此有其中不全為零。線性相關(guān)。部分相關(guān)，整體

6、相關(guān)！第二十三張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月23線性無關(guān)線性無關(guān).即：如果整體組線性無關(guān)，則部分組也線性無關(guān)。定理3.利用定理2，用反證法。定理2 和定理3說明了全體向量組和部分向量組之間的關(guān)系。整體無關(guān)，部分無關(guān)！第二十四張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月24若線性無關(guān)，則線性無關(guān)。即：原來無關(guān)，延長無關(guān)！ 原來相關(guān)，縮短相關(guān)！若線性相關(guān)，則線性相關(guān)。已知第二十五張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月25證明：假設(shè)線性相關(guān)，則存在一組不全為0的數(shù)使得則因此必線性相關(guān)。第二十六張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月261、用數(shù)字表示的向量組的線性相關(guān)性的判別已知解:

7、設(shè)有數(shù)使得例7. 判別下列向量組的線性相關(guān)性三、 向量組線性相關(guān)性的判別下面分別用數(shù)字表示的具體向量組的線性相關(guān)性和對字母表示的抽象向量組的線性相關(guān)性進行判別。第二十七張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月27即有得同解方程組第二十八張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月28得同解方程組令（k 為任意實數(shù)）由得此向量組線性相關(guān)。方程組有非零解，(未知數(shù)個數(shù)n ),此向量組線性相關(guān)。第二十九張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月29小結(jié)首先設(shè)有數(shù)使得歸結(jié)為判別齊次線性方程組是否有非零解的問題。用數(shù)字表示的向量組的線性相關(guān)性的判別方法，第二步將代入得齊次線性方程組。第三十張，PPT共四

8、十七頁，創(chuàng)作于2022年6月30方程組有非零解，有則稱向量組 線性相關(guān)。方程組只有零解，則稱向量組 線性無關(guān)。下面介紹利用矩陣的秩來判別向量組的線性相關(guān)性的方法。這是判別向量組線性相關(guān)性的主要方法。第三步根據(jù)方程組的解來判別線性相關(guān)還是線性無關(guān)：第三十一張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月31定理4有非零解線性相關(guān)秩（無關(guān)）（只有零解）（秩此定理是證明向量組線性相關(guān)性的基本方法。推論2設(shè)n 維向量組中含有m個向量,當mn 時，此向量組必定線性相關(guān)。推論1當m=n時，即向量個數(shù)=分量個數(shù)時,線性相關(guān)（線性無關(guān)）向量組構(gòu)成行列式的值為零，即第三十二張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月3

9、2判斷，的線性相關(guān)性.例8.解:第三十三張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月33線性相關(guān).第三十四張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月34例9. 判斷下列向量組的線性相關(guān)性解:線性無關(guān).第三十五張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月35解:線性相關(guān).第三十六張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月362、對字母表示的抽象向量組的線性相關(guān)性的判別利用相關(guān)性的定義和反證法判別。判別方法：第三十七張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月37方程組只有零解，試證向量組整理得即證明:例10.設(shè)向量組 線性無關(guān)，也線性無關(guān)。 因為向量組 線性無關(guān)，所以必有從而設(shè)存在數(shù)使得線性無關(guān)。第三

10、十八張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月38例11.證明:已知證明線性無關(guān)，線性相關(guān)。設(shè)存在數(shù)已知只有線性無關(guān)，使得即故向量組線性相關(guān)。不全為零，第三十九張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月39定理5其中至少有一個向量是其余m1個向量的線性組合。線性相關(guān)證明:必要性：線性相關(guān)，不全為0的數(shù)則存在一組使不妨設(shè)，則即是的線性組合.第四十張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月40組合，即存在不全為0的數(shù)使線性相關(guān).不全為0，由于則中至少有一個向量是其余向量的線性組合，不妨設(shè)是其余向量的線性充分性：因第四十一張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月41向量可由線性表示，這說明線性相關(guān)

11、；而向量組中任一向量都不能被其他向量線性表示,其線性無關(guān)。一個向量組中有沒有某個向量可由其余向量線性表示，這是向量組的一種屬性，稱為向量組的線性相關(guān)性。第四十二張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月42線性無關(guān)，線性相關(guān)，則可由A線性表示且表法唯一。證明:因為線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)使成立。由于線性無關(guān)，必定，定理6故第四十三張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月43故表示唯一。又設(shè)是另一種表示形式。兩式相減已知線性無關(guān)，必有第四十四張，PPT共四十七頁，創(chuàng)作于2022年6月44已知向量組線性相關(guān)，線性無關(guān)。證明可由線性表示；不可由線性表示。故線性無關(guān)，線性表示?？捎删€性無關(guān)，假設(shè)可由線性表示，使即存在由，可由線性表示，可由線性表示，線性無關(guān)相矛盾。與代入上式，證明: