1、不等式的證明典型例題【例 1】 已知 a, b, cCR,求證：a3+b3+c33abc.【分析】用求差比較法證明.證明：a3+b3+c3-3abc=(a+b) 3+c3-3a 2b-3ab2-3abc=(a+b+c)(a+b) 2-(a+b)c+c j-3ab(a+b+c)=(a+b+c)a 2+b2+c2-ab-bc-ca=+ b + c)(a-b)2 +(b - c)3 +(c -a)3. a, b, cC R, . . a+b+c0.又6”了+(卜+(/0,，%&+匕+以心力廠+9-匚尸+(c-a) 20即a 3+b3+c3-3abc 0,a3+b3+c33abc.【例 2】已知 a,

2、 bC R, nC N,求證：(a+b)(a n+bn) b0 時，bn-an0, . .(*) a0 時，bn-an0, a-b0, . .(*) 0 時，bn-an=0, a-b=0, . . (*)=0 .綜上所述，有(a+b)(a n+bn)-2(a n+1+bn+1) 0.即 (a+b)(a n+bn)abba.【分析】采用求商比較法證明.證明：,a, bC R, . abba0當abO時，且a-b0,故三1； ba b當baO時，0-b 且a-b0, b0,必有aabb abba.【說明】商值比較法的理論依據(jù)是：a j 3餐 1( ab(a0L【例4】已知a、b、c是不全等的正數(shù)，

3、求證:a(b2+c2)+b(c 2+a2)+c(a 2+b2) 6abc.【分析】采用綜合法證明，利用性質a2+b22ab.證明：b2+c22bc, a0,a(b2+c2) 2abc.同理 b(c2+a2) 2abcc(a 2+b2) 2abc. a, b, c不全相等，一，中至少有一個式子不能取“=”號. + +，得 a(b2+c2)+b(c 2+a2)+c(a 2+b2) 6abc.【例5】已知a, b, cCR,求證:2(1)(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c ) 16abc；b + c -a c + aa + b c、+x【分析】用綜合法證明，注意構造定理所需條件.證明:ab+

4、a+b+1=(a+1)(b+1),ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c).c0,，3+1)2族)0 b+l2r/0, a + c2Vac0 b+c27U?0，0 + 1)8+1)4廟0(a + c)(b + c)(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) 16abc因此，當a, b, cC R,有a一 二3c(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2) 16abc.(2) . a, b, c R+, 二 + + 一” a a c I TOC o 1-5 h z I， becaab、因此，L+1; + +;1)+ L + 1)3 a abbccnn b + c _ a c + a - b

5、軟+b _ c、 即+ +)3.abc【說明】用均值定理證明不等式時，一要注意定理適用的條件，二要為運用定理對式子作適當變形，把式子分成若干分，對每部分運用均值定理后, 再把它們相加或相乘.【例6】若b4c,求證t -示+ m【分析】采用分析法證明.證明：c - Vc2 _ ab c + Vc2 - abu - 7ca - abC a - c J - ab-clVc2 _ ab Ua - c|2- abU a: - 2ac + c*c - ab U a(w +b) 2ac U (a + b)2c(*)ac, bc, . a+blg& + lgb+lgc. UUU HYPERLINK l boo

6、kmark6 o Current Document 1分析】利用對數(shù)性質，待證不等式為虱彳*號, ?） M乙UIgabc,即審* *&bc,于是利用好幅即可得證. HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 乙乙乙U證明；（分析注）1g r- +lg-r- +lg_3 +1 旗 +lgcM乙乙a + b b + c c + algabc HWWa + b b + c c + a.U * abc222 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 二巴房0, 三JEc0,上各怎0，且上三個 乙乙乙 HYPERLINK l

7、 bookmark16 o Current Document 不等式中等號不能同時成立，所以e手二a氏成立. 乙乙乙a + b b + cc + a HYPERLINK l bookmark18 o Current Document ，運丁+ 12丁+唁十1部+ lgb+lgc 乙乙乙證明二：（綜合法）:a, b, cC R,，之）Go,浮，版0, Qo. 乙乙乙又上述三個等式中等號不能同時成立，等 q 學UUi乙abc成立.上式兩邊同取常用對數(shù)，得a + b b+c c + a）lgabcb + c c + a %，lg+ lg7 + lg-rlga + lb + lgp. 乙lU【說明】分

8、析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩個方面.在證法一中，前面是分析法，后面是綜合法，兩種方法結合使用，使問題較易解決.分析法的證 明過程恰恰是綜合法的分析、思考過程，綜合法的證明方法是分析思考過程的 逆推.【例 8 已知 a2,求證 loga(a-1) - loga(a+1) 2,log a(a-1) 0, log a(a+1) 0.又 log a(a-1) wlog a(a+1)小 g.(a-l)7嗚(a + l)產3 0= 5密J1 lU乙log a(a-1) log a(a+1) 1.【說明】上式證明如果從log a(a-1) loga(a+1)入手，得log a(a-1)log, (a + l)

9、r.a b, c都是小于i的正數(shù)， HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 二、1-軟)；, 呂占W( 3從而有 - a)b + J(1b)c +- c)a-.2n = r； jj 1_ a +b 1 _ b + c 1 - c + a但7E J(1 - a)b + J(l-b)c + 7(l-c)a - + - + - WW占3 - (a+b + c)(a + b + c) 3 = =22 ,故與上式矛盾，假設不成立，原命題正確.【說明】 反證法是利用互為逆否命題具有等價性的思想進行推證的. 反 證法必須羅列各種與原命題相異的結論， 缺少任何一種可

10、能，則反證都是不完 全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命題常用反證法.【例10】己知Y+yl,求證口+2xy-y|【分析】由已知注意到x+yKh可試令x = aco/產溷口伙|a| 1.證明: 令區(qū):aco淤 y =&疝口仍 | a| 1.則博“ + 2sy -y31=|a3cosae? - a3sin1 p + 2acosp * 函口例J4Ja |cos20+口2囪=a,戰(zhàn) |sin（2 + ；）|虎 M,/L【說明】換元法是將較為復雜的不等式利用等價轉換的思想轉換成易證明的不等式.常用的換元法有（1）,若|x| 1 ,可設x=sin a , a e R; （2） 若 x2+y2

11、=1,可設 x=sin a , y=cos a ; （3）若 x2+y2 1,可設 x=acospt y = asinj |a|Cl.【例11】已知a1、a2、a, b、b2、況為任意實數(shù),求證:瓦+a山+通）4同+端+代+9+”+，證明：構造一個二次函數(shù)（a； +&； +川 +* 也町瓦 +a2bB +3nL+ 6； +b； + +b；）,它一定非負，因它可化為（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+（anx-bn）2.A 0,（當白, a2,鼻都為0時，所構造式子非二次函數(shù)，但此時原 不等式顯然成立.）即4（即瓦+西匕+八人尸-4一 +: +,- +:）&：+ + +蕓）40.，（即與+町

12、運+a11b JV團+ +f (xi) , f (x)在0 , +00)上是增函數(shù).取 Xi=|a+b| , X2=|a|+|b|,顯然 0 XiX2., f (|a+b| ) |l+|a|+|b|同，|b| 一同，|b|=&+*l+|a|+|b| l+|aHb| 1+| a| l+|b|【說明】這里是利用構造函數(shù)，通過函數(shù)的單調性，結合放縮法來證明不 等式的.應注意的是，所給函數(shù)的單調整性應予以論證.【例 13】已知 a, b, m, nCR,且 a2+b2=1, n2+n2=1,求證：|am+bn|01.am + bn)-1 am +bnCl 證法一：（比較法）2 - k 22 上 2a

13、+ b m + n+22|am + bn|Cl O -l0,am + bn L證法二：(分析法)|am + bn|lO (am+bn)心乜 1 O 自2m2 + 2abnm+6”口必0, (|b|-|n|) 20.即 a2+m2|am| , b2+n22|bn|a2+n2+b2+n22 (|am|+|bn| ). a2+b2=1, m+n2=1, . |am|+|bn| 1|am+bn| |am|+|bn| 1.證法四：(換元法)由已知，可設 a=sin 民,b=cosa , m=sin 0 , n=cos 0 .于是 |am+bn|=|sin a sin 0 +cos a cos 0 |=|cos ( a - 0 ) | 1.【說明】一個不等式的證明方法往往不只一種，要注意依據(jù)題目特點選擇恰當?shù)姆椒?【例 14】已知 f (x) =x2-x+c,且|x-a| 1, (a, b, cC R)求證：|f (x) -f (a) | 2 (|a|+1 ).【分析】絕對值不等式的證明充分利用絕對值不等式性質：1abl書