1、考點(diǎn)12空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積與體積考綱呈現(xiàn)i.空間幾何體（1）認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).（2）能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測法畫出它們的直觀圖.（3）會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.（4）會(huì)畫某些建筑物的視圖與宜觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）.2.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.考點(diǎn)解讀空間幾何體的體積是每年高考的熱點(diǎn)之一，主要涉及空間幾

2、何體的表面積與體積的計(jì)算.命題形式以選擇題或填空題為主，考查空間幾何體的表面積與體積的計(jì)算，涉及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖等內(nèi)容，要求考生要有較強(qiáng)的空間想象能力和計(jì)算能力，廣泛應(yīng)用-轉(zhuǎn)化與化歸思想.,考向分析.三視圖問題的常見類型及解題策略：（1）由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀.要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖.（2）由幾何體的直觀圖求三視圖.注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線，不能看到的部分用虛線表示.（3）由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖.先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測宜觀圖的可能形式，然后再找其剩下

3、部分三視圖的可能形式.當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合.柱體、錐體、臺(tái)體的表面積：已知幾何體的三視圖求其表面積，一般是先根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，再根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)與幾何體的表面積公式，求其表面積.多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和，組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理，以確保不重復(fù)、不遺漏.求多面體的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一個(gè)側(cè)面分別求解后再相加；求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般要將旋轉(zhuǎn)體展開為平面圖形后再求面積.空間幾何體的體積是每年高考的熱點(diǎn)之一，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度較小，屬容易題.求柱體、錐體、臺(tái)體體積的一般方法有：（1）若所給定的幾何體是可直

4、接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.（2）若所給定的幾何體的體積不能宜接利用公式得出，則常用等體積法、割補(bǔ)法等方法進(jìn)行求解.等體積法：一個(gè)幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的.如果一個(gè)幾何體的底面面積和高較難求解時(shí)，我們可以采用等體積法進(jìn)行求解.等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積.割補(bǔ)法：運(yùn)用割補(bǔ)法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計(jì)算問題，關(guān)鍵是能根據(jù)幾何體中的線面關(guān)系合理選擇截面進(jìn)行切割或者補(bǔ)成規(guī)則的幾何體.要弄清切割后或補(bǔ)形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之

5、間有明顯的確定關(guān)系，如果是由幾個(gè)規(guī)則的幾何體堆積而成的，其體積就等于這幾個(gè)規(guī)則的幾何體的體積之和;如果是由一個(gè)規(guī)則的幾何體挖去幾個(gè)規(guī)則的幾何體而形成的，其體積就等于這個(gè)規(guī)則的幾何體的體積減去被挖去的幾個(gè)幾何體的體積.因此，從一定意義上說，用割補(bǔ)法求幾何體的體積，就是求體積的“加、減”法.（3）若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.球與幾種特殊幾何體的關(guān)系：（1）長方體內(nèi)接于球，則球的直徑是長方體的體對(duì)角線長；（2）正四面體的外接球與內(nèi)切球的球心重合，且半徑之比為3：1；（3）直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圓柱，圓柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特

6、別地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點(diǎn)；（4）球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑；（5）球與圓臺(tái)的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺(tái)的高.求解空間幾何體表面積和體積的最值問題有兩個(gè)思路：一是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和體積、表面積的計(jì)算公式，將體積或表面積的最值轉(zhuǎn)化為平面圖形中的有關(guān)最值，根據(jù)平面圖形的有關(guān)結(jié)論直接進(jìn)行判斷；二是利用基本不等式或是建立關(guān)于表面積和體積的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)的方法或者利用導(dǎo)數(shù)方法解決.Y真題回眸（2021全國高考真題（文）在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A-EF

7、G后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）【答案】D【分析】根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖，結(jié)合直觀圖進(jìn)行判斷.【詳解】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示，所以其側(cè)視圖為,故選D.（2021浙江高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）俯視圖m1,1,1-H側(cè)視圖3Q/?A.-B.3C.D.372【答案】A【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體，根據(jù)棱柱的體枳公式可求其體積.【解析】幾何體為如圖所示的四核柱ABC。44GA，其高為1,底面為等腰梯形A5CO,該等腰梯形的上底為正，卜底為2夜，腰長為1，故梯形的高為/=當(dāng)，故Kibcd

8、-aBiGD,=/x（夜+25/2jxx1=耳，故選：A.由（2021北京高考真題）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（C. 3 +百D. 2【答案】A【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體（三棱錐），根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計(jì)算該幾何體的表面積.【解析】根據(jù)三視圖可得如圖所小的幾何體-正三棱錐O-ABC，其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長為1,故其表面積為3xxlxl+走x（夜 TOC o 1-5 h z 242故選：A.4.（2021全國高考真題（理）已如4從。是半徑為1的球0的球面上的三個(gè)點(diǎn),且4。，8。,4。=8。=1,則三棱錐OA3C的體積為

9、（）AV2R5/3rV2n/3121244【答案】A【分析】由題可得aABC為等腰內(nèi)用三角形，得出aABC夕卜接網(wǎng)的半桂，則可求得0到平面ABC的距離，進(jìn)而求得體積.【解析】AC_L8C,AC=BC=1,.ABC為等腰直角三角形，=則aABC外接圓的半徑為近，又球的半徑為1.2設(shè)。到平面ABC的距離為d,所以VnARr=S.Br-d=xxlxlx.-ABC3JBC32212故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關(guān)系求解.（2021全國高考真題）已知圓錐的底面半徑為遮，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為（C. 4A

10、.2【答案】B【分析】設(shè)圓錐的母線長為/，根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得/的值，即為所求.【解析】設(shè)圓錐的母線長為/,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則M=2乃x夜.解得/=2公故選：B.（2021北京高考真題）定義：24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度（mm）來判斷降雨程度.其中小雨（10mm）,中雨（10mm-25mm）,大雨（25mm-50mm）,暴雨（5（）mm-l（X）mm）,小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】B【分析】計(jì)算出圓錐體積，除以圓面的面枳即可得降雨量，即可得解.【解析】由題意，一個(gè)半徑為

11、竽=100（mm）的圓面內(nèi)的降雨充滿一個(gè)底面半徑為蜉x燃=50（mm）,高為150（mm）的圓錐,所以積水厚度.-x5O2x15O3%xlOO?= 12.5（mm）屬于中麻故選：B.【2020年高考全國I卷】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為a/51R/51-5/5+1n5/5+1A.l5.Cl)4242【答案】C【解析】如圖，設(shè)CD=a,PE=b,則po=PE?-OE=,一,，由題意得二”人，即從一日=2_。力，化簡得4（32一2a一1=0,24

12、2aa解得2=112（負(fù)值舍去）.a4故選C.【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容易題.【2020年高考全國n卷理數(shù)】如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A. ED. H【答案】A【解析】根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形,DR上的點(diǎn)在正視圖中都對(duì)應(yīng)點(diǎn)M直線上的點(diǎn)在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,.在正視圖中時(shí)應(yīng)M,在俯視圖中對(duì)應(yīng)N的點(diǎn)是線段上的所有點(diǎn)在側(cè)試圖中都對(duì)應(yīng)E，點(diǎn)。4在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為E.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷點(diǎn)的位置，解題關(guān)鍵是掌握三視圖

13、的基礎(chǔ)知識(shí)和根據(jù)三視圖能還原立體圖形的方法，考查了分析能力和空間想象，屬于基礎(chǔ)題.【2020年高考全國H卷理數(shù)】已知aASC是面積為唯的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球。的球面上.若球4。的表面積為16兀，則O到平面ABC的距離為A.JjB,-C.1D.也22【答案】C【解析】設(shè)球。的半徑為R，則4兀改=16兀，解得：R=2.設(shè)ABC外接圓半徑為廣，邊長為。，.ABC是面積為也的等邊三角形，4球心0到平面ABC的距離d = lR2-r2 = J口 = 1 - 故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查球的相關(guān)問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用;明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于

14、三角形所在平面.10.【2020年高考全國IH卷理數(shù)】如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是解題關(guān)鍵是B. 4+4近A.6+40C. 6+2GD.4+26【答案】C【解析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形根據(jù)立體圖形叮浮S-S皿氣儂=白2/3.故選：D.【點(diǎn)睛】（1）以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.（2）多面體表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.（3）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面

15、積之和.【2020年高考浙江】某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cn?）是C. 3【答案】14 B. 3D. 6止視圖俯視圖側(cè)視圖【解析】于底面,由三視圖可知，該幾何體是上半部分是三棱錐，下半部分是三棱柱，且三棱錐的一個(gè)側(cè)面垂宜且棱錐的高為1,棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2,所以兒何體的體積為：x（；x2xl卜l+（；x2xlx2=；+2=.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)二視圖計(jì)算幾何體的體積，屬于基礎(chǔ)題.（2019年高考浙江卷）祖咂是我國南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“惠勢既同，則積不容異”稱為祖曬原理，利用該原理可以得到柱體的體枳公式丫柱體=5

16、，其中S是柱體的底面積，/?是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該柱體的體積（單位：cn?）是俯視圖A.158B.162C.182D.324【答案】B【解析】由三視圖得該棱柱的高為6,底面可以看作是由兩個(gè)直角梯形組合而成的，其中一個(gè)上底為4,卜底為6,高為3,另一個(gè)的上底為2,卜底為6,高為3,則該棱柱的體積為(昔x3+g9x3)x6=162.故選B.【名師點(diǎn)睛】本題首先根據(jù)三視圖，還原得到幾何體棱柱，根據(jù)題目給定的數(shù)據(jù)，計(jì)算幾何體的體積，常規(guī)題目.難度不大，注市J基礎(chǔ)知識(shí)、視圖用圖能力、基本計(jì)算能力的考杳.易錯(cuò)點(diǎn)有：，一是不能正確還原幾何體：二是計(jì)算體積有誤.為避免出錯(cuò)，應(yīng)

17、注重多觀察、細(xì)心算.(2019年高考全國I卷理科)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，PA=PB=PC,ZkABC是邊長為2的正三角形，E,尸分別是以，AB的中點(diǎn)，NCEF=90。,則球。的體積為A.85/6kB.4卡兀C.2瓜nD.瓜n【答案】D【解析】解法一：.PA=P8=PC,ZA8C為邊長為2的等邊三角形，.PA8C為正三棱錐，：.PBLAC乂E，尸分別為24，AB的中點(diǎn)，五PB,.EF1AC,又EFA.CE,CECAC=C,.EJL平面尸AC,平面PAC,r.NAPS=90,.PA=尸8=PC=0,.PABC為正方體的一部分，2R=。2+2+2=，即R=,:.V=-=-nx

18、-=y6K/2,設(shè)內(nèi)切圓半徑為人則：SLC=$4AOB+Swoc+=XX+耳XBCXT+X/4CxT=x（3+3+2）xr=2/2,解得：=顯,其體積：丫=3兀/=也兀233故答案為：也兀.3【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑：球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長等于球的直徑.【2020年高考浙江】已知圓錐的側(cè)面積（單位：cm?）為2兀，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：cm

19、）是.【答案】1【解析】設(shè)圓錐底面半價(jià)為，母線長為/,則兀xrxl=27,c1,解得r=l,/=2.2x;rxr=x2x;rx/I2故答案為：1【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓錐側(cè)面展開圖有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.【2020年高考江蘇】如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半輕為0.5cm,則此六角螺帽豐壞的體積是cm.（第9題）【答案】12x/3-2【解析】正六棱柱體積為6xx22x2=126,4圓柱體積為力（；）2-2=,所求幾何體體積為12G-生.2故答案為：12-2【點(diǎn)睛】本題考查正六棱柱體積、圓柱體積，考查基本分析求解能力，屬

20、基礎(chǔ)題.（2019年高考全國HI卷理科）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體-挖去四棱錐OEFG4后所得的幾何體，其中。為長方體的中心，E,F,G,H分別為所在樓的中點(diǎn)，A8=BC=6cm,A4,=4cm,3D打印所用原料密度為0.9g/cm不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.DiC,【答案】118.8【解析】由題意得，SmEFGH=4x6-4xlx2x3=12cm2,JR:四棱錐的高為3cm,.二%ffch=-xl2x3=12cm3.一4旦。的體枳為120,所以A6-8CCC1=120,因?yàn)樯蠟?。的中點(diǎn)，所以CE=gcC1,山長方體的性質(zhì)知CC,JL底

21、面ABCD,所以CE是三棱錐EBCD的底面BCD上的高，所以三棱錐E-BCO的體積V=-x,A8BC.CE=x，A8.8C,CG=xl20=10.3232212【名師點(diǎn)睛】本題蘊(yùn)含“整體和局部的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計(jì)算問題中，往往需要注意理清整體和局部的關(guān)系，靈活利用割與補(bǔ)的方法解題.由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得三棱錐的體積.（2021全國高考真題（文）如圖，四棱錐P-ABC）的底面是矩形，PJ_底面ABC。，M為的中點(diǎn)，且P3_LAM.（1）證明：平面PAM_L平面P8D；（2）若PD=DC=T,求四棱錐PABC。的體積.【答案】（1）證明見解析：（2）立3【分

22、析】（1）由9_|_底面ABCQuj得又尸B_LAM，由線面垂直的判定定理可得A_L平IfilPBD,再根據(jù)血血垂直的判定定理即可證出平面PAM平面PBD：（2）由（I）可知，AM_LB），由平面知識(shí)可知，DABABM,由相似比可求出AO，再根據(jù)四棱錐P-ABCD的體積公式即可求出.【詳解】（1）因?yàn)镻DJJ氏面ABC。，AMu平面ABC。，所以P）_LAA/，又PBCPD=P,所以AM_L平面P8），而AMu平面B4M，所以平面PAM_L平面PBD.（2）由（1）可知，AA7_L平面PBD,所以AA/_LBZ）,從而aDABaABM，設(shè)BM=x，AD=2x,則=,即2x?=1,解得x=,所以

23、A0=.ABAD2因?yàn)镻D_L底面A6CO,故四棱錐尸一ABC的體積為丫=gx（lxJ5）xl=苧.【點(diǎn)睛】本題第一同解題關(guān)犍是找到平面A4M或平面的垂線，結(jié)合題目條件PBLAM，所以垂線可以從P5,AM中產(chǎn)生，稍加分析即可判斷出40，中間P8。，從而證出；第:問關(guān)鍵是底面矩形面積的計(jì)算,利用第一問的結(jié)論結(jié)合平面幾何知識(shí)可得出從而求出矩形的另個(gè)邊長，從而求得該四棱錐的體積.（2021全國高考真題（文）已知直三棱柱A8C-A內(nèi)G中，側(cè)面A4因8為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為AC和CG的中點(diǎn)，BF4D_Rc（1）求三棱錐PEBC的體積；（2）已知。為棱44上的點(diǎn)，證明：BFLDE.【答案】

24、（l）g；（2）證明見解析.【分析】（1）首先求得AC的長度，然后利用體積公式可得三棱錐的體積：（2）將所給的幾何體進(jìn)行補(bǔ)形，從而把線線垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,結(jié)論.【詳解】（1）如圖所示，連結(jié)4戶，出DBiIc】/Fc由題意可得：BF=IbC2+CF2=V4+i=石-由于BCLAB,84nBe=8,故.j_平面BCGg,然后再由線面垂直可得題中的而BEu平面BCCt用，故ABJ.BE，從而有=3，從而AC=Ja/2一C/2=囪二=2五,則AB+BC?=AC?,，ABJ.8C,aABC為等腰直角三角形，_1_1Jllz1c1i11S4BCE-耳S/ABCX|2X2I_1,VF_EBCxS

25、ABCExCFxlxl.(2)由(1)的結(jié)論可將幾何體補(bǔ)形為一個(gè)棱長為2的正方體ABCM-如圖所示，取棱AM,8c的中點(diǎn)H,G,連結(jié)AH,HG,G8,正方形8CG4中，G,b為中點(diǎn)，則BFJ.4G,又8F_L44，A4n4G=4，故5/J_平面A4G”,而DEU平面A4G”,從而BF工DE.【點(diǎn)睛】求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如一棱銖的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來求體積.對(duì)于空間中垂直關(guān)系（線線、線面、面面）的證明經(jīng)常進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.28.【2020年高考全國I卷文數(shù)】如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，/記（?是底面的內(nèi)

26、接正三角形，P為DO上一點(diǎn)、,NAPC=90.(1)證明：平面尸ABJ_平面PAC；(2)設(shè)00=0,圓錐的側(cè)面積為班幾，求三棱錐P-ABC的體積.【解析】(1)由題設(shè)可知，PA=PB=PC.由于ABC是正三角形，故可得尸AC絲尸A8.PAC0APBC.又NAPC=90,故NAPB=90,NBPC=90。.從而PBLPA,PBPC,故？B_L平面PAC,所以平面2A8J_平面PAC.(2)設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為/.由題設(shè)可得”=6，尸一/=2.解得廠1,1=6從而AB=6.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=W.所以：棱錐P-ABC的體積為-x-xPAxPBxPC=

27、-x-x()3=.323228【點(diǎn)睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系，證明平面與平面垂直，求錐體的體積，注意空間垂直間的相互轉(zhuǎn)化，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.29.【2020年高考全國II卷文數(shù)】如圖，已知三棱柱ABC-ABiG的底面是正三角形，側(cè)面BBCC是矩形,M.N分別為BC,81cl的中點(diǎn)，尸為AM上一點(diǎn).過81G和P的平面交AB于E,交4c于F.(1)證明：AAxlIMN,且平面AMMNl平面E81C1F；兀(2)設(shè)。為AiBiG的中心，若A0=48=6,A。/平面EBiGF,且NMPN=-,求四棱錐B-E&GF3的體積.【解析】(1)因?yàn)镸,N分別為BC,BCi的

28、中點(diǎn)，所以MNCG.又由已知得AAiCCi,故AAi/MN.因?yàn)槭钦切?，所以又BiCiLMN,故81G_L平面4AMM所以平面AiAMV_L平面E81GF.(2)40平面ESC/,AOu平面4AMM平面4AMNfl平面E8iGF=PM故AO/PN.又4PON,故四邊形APNO是平行四邊形，121所以PN=A86,AP=ON=1AM=6PM=qAM=26EF=-BC=2.因?yàn)?C平面E81C1凡所以四棱錐B-EBiG/的頂點(diǎn)B到底面E8iG尸的距離等于點(diǎn)M到底面EBiG尸的距離.作M兀LPM垂足為T,則由(1)知，平面EBQF,故A/T=PMsin/MPN=3.所以四棱錐G/的體積為gx24

29、x3=24.【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明線線平行和面面垂直，及其求四棱錐的體積，解題關(guān)鍵是掌握面面垂宜轉(zhuǎn)為求證線面垂直的證法和棱錐的體積公式，考查了分析能力和空間想象能力，屬于中檔題.30.（2021全國高考真題）如圖，在三棱錐A-BCZ）中，平面A6）_L平面8CO,AB=AD,。為8D的中點(diǎn).（1）證明：OA1CD；（2）若aOCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AO上，DE=2EA，且二面角BC。的大小為45,求三棱錐ABCD的體積.【答案】（1）詳見解析（2）也6【分析】（1）根據(jù)血面垂直性質(zhì)定理得AO_L平面BCD,即可證得結(jié)果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根據(jù)體積公式得結(jié)

30、果.【解析】（1）因?yàn)锳B=AD,O為BD中點(diǎn)，所以AOLBD因?yàn)槠矫鍭BDPI平面BCD=5平面ABD,平面BCD,AOu平面ABD,因此AO1平面BCD,因?yàn)镃Ou平面BCD,所以AOLCD作EF1BD丁F.作FM_LBCFM,連FM因?yàn)锳O_L平面BCD,所以AO_LBD.AO_LCD所以EF，BD.EFJ_CD.8）cC）=Z）.因此EFJ_平面BCD,即EF1BC因?yàn)镕M-BC,FMI律=尸,所以BCL平面EFM,llJBC1ME則ZEMF為：面角E-BC-D的平面角,NEMF=-4因?yàn)锽O=OD.QCD為正三角形，所以aBCD為立角三角形1117因?yàn)镋=2E4,，bM=-fiF=-

31、(l+-)=-22332從而EF=FM=-；.AO=3QAO,平面BCD,所以V=!aOSar“=JxlxxlxG=3s326【點(diǎn)睛】二面角的求法：一是定義法，二是三垂線定理法，三是垂面法，四是投影法.變式培優(yōu)1.已知四棱錐尸-ABCD的側(cè)棱均相等，其各個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面匕ABBC,NABC=90。，AD=2。8=2,三棱錐P-ABC的體積為了，則球。的表面積為（A.25兀B.-C.327r6【答案】A【分析】山四點(diǎn)共圓，可得出NADC=90。，進(jìn)而求出截面圓的直徑，再根據(jù)體積可求出四棱錐的高，然后根據(jù)勾股定理，可求出外接球的半徑，最后直接套表面積公式，可求得答案.【詳解】如圖，F(xiàn)為AC中點(diǎn)

32、，由題意可知PF為四棱錐的高，ZABC=ZADC三棱錐P-48c的體積為解得PF = 4在放aOe中球。的表面枳為4丁尸=4;rx故選【分析】已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為。四點(diǎn)共圓，且AC為直徑,根據(jù)三視圖得到該幾何體是一個(gè)底面邊長為2等邊三角形，高為2的三棱錐求解在Rt ABOt, AC2=2AB-,解得AB = 2夜，同理可得BF各個(gè)頂點(diǎn)都在球0的球面上,ZABC=90由三視圖知：該幾何體是一個(gè)底面邊長為2的等邊三角形，高為2的三棱錐,如圖所示:所以該幾何體的體積為V=；.SB=gx；x2x2x-x2=故選：B.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（

33、單位：cn?）是（）【答案】A【分析】由三視圖得到直觀圖，再根據(jù)棱柱的體積公式計(jì)算可得;【詳解】解：依題意可得直觀圖如卜所示:所以V=Sxlx2x2=22故選：A.一個(gè)正棱柱的正（主）視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱柱的側(cè)（左）視圖的面積為（）12正（主）視圖俯視圖A.8。B.16C.872D.8【答案】A【分析】求出正上棱柱底面邊上的高，然后求解側(cè)視圖的面積.【詳解】由題意可知，底面三角形是邊長為4正三角形所以邊上的高為：26，所以側(cè)視圖的面積為：5=4x26=8石.故選：A.S4r5.如圖，圓柱的底面半徑為，高為，記圓柱的表面積為圓柱外接球的表面積為邑，若肅=,則;的值為（）【答案】D【分析

34、】514r根據(jù)已知條件，應(yīng)用圓柱體、球體的表面積公式得到邑關(guān)于、的表達(dá)式，再由7t=求，的值即叱【詳解】.圓柱的表面枳耳=2%/+2萬泌，圓柱的外接球的半徑為+2；.其外接球的表面枳S2=44廠+_）（4產(chǎn)+叫,4Inr1+2/rrh打,即2/5歷+3/=5fo（2/i-3r）（-r）=0,則7=7或，=匕h3h故選：D.已知一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的體積為（）aGO7/3r9x/3n9A.7TB.71C.7TD.-7T545422【答案】D【分析】由視圖還原幾何體，可得正四棱錐S-A88,可知外接球球心。在S-AfiCD的高SO,上，在心OOC中,利用勾股定理可構(gòu)造關(guān)丁外接

35、球半徑R的方程，解得R后，代入球的體枳公式可求得結(jié)果.【詳解】由三視圖可知該幾何體是底面為邊長為2的正方形，斜高為右的正四棱錐S-4JC7）,如下圖所示：連接正方形A8CD的兩條對(duì)角線AC與8。，交于點(diǎn)O,連接SO,則SO是四棱錐S-4O）的席,設(shè)E為8c的中點(diǎn)，連接SE,則SE_LBC,設(shè)外接球的球心為。，則。在SO上.連接。C,OE,在新中，SE=5(7=1,E八SO,;.SO=2.設(shè)外接球的半徑為R，則。=|2-國，OC=R.OC=y2.（2叫2+（可=a，解得：/?=-,，外接球的體積V=9%我3=7t.332）2故選：D.某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位

36、：co?）是（）俯視陽D. 4【答案】A【分析】首先把:視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出組合體的體積.【詳解】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為宜觀圖為：該幾何體為故 V = lxlx3 + xlxlxl = g.在矩形48co中，BC=4,M為8c的中點(diǎn)，將AA8M和A3CM分別沿AM,翻折，使點(diǎn)8與點(diǎn)C重合于點(diǎn)尸，若N4P=150。，則三棱錐M布。的外接球的表面積為（）A. 127rB. 347rC. 687tD. 1267t【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理求出/XPAD外接圓的直徑，然后根據(jù)PM，PAD外接圓的粒徑，球的立件構(gòu)成直角三角形來求解.【詳解】由題意可知，MPPA,MP1.PD.且

37、用A4u平面網(wǎng)。，POu平面以。，所以尸_1_平面外DAn設(shè)的的夕卜接圓的半彳仝為，則由正弦定理可得R5=4即=2八所以1=4.sin150設(shè)三棱錐M-PAD的外接球的半徑為R,則（2Rf=PM2+（2r）2,即（2R=4+64=68,所以正=17,所以夕卜接球的表面積為4萬2=68萬.故選：C.若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，其中左視圖是一個(gè)邊長為2的正三角形，則這個(gè)幾何體的體積是（）正視圖左視圖俯視圖A.2cm3B.石cm，C.3/3cm3D.3cm3【答案】B【分析】由三視圖還原出的幾何體，得出其結(jié)構(gòu)，由三視圖提供的數(shù)據(jù)計(jì)算體積.【詳解】由幾何體的三視圖可知，該幾何體為底面是直

38、角梯形，高為6的四棱錐，其中直角梯形兩底長分別為1和2,高是2.故這個(gè)幾何體的體積是:xi(l+2)x2x6=G(a3).故選：B.10.劉徽九章算術(shù)注記載：“邪解立方有兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉膈，陽馬居二，鱉腌居一，不易之率也.意思是：把一長方體沿對(duì)角面一分為二，這相同的兩塊叫做塹堵，沿塹堵的一頂點(diǎn)與其相對(duì)的棱剖開成兩塊，大的叫陽馬，小的叫整膈，兩者體積之比為定值2：1,這一結(jié)論今稱劉徽原理.如圖是一個(gè)陽馬的三視圖，則其外接球的體積為()主視圖左視圖俯視圖A.4萬B.3乃C.6兀D.2【答案】D【分析】先依題意利用三視圖求得四棱錐所在的長方體的外接球的直徑，“算即可.【詳解】根據(jù)

39、幾何體的三視圖知，該“陽馬”是底面時(shí)角線長為正的正方形，一條長為1的側(cè)棱與底面垂直的四核錐,將該四棱錐補(bǔ)成長方體，長方體的外接球與四棱錐的外接球相同，球直徑等于長方體的對(duì)角線長，即2R=lj2+1=/3,/?=,球體枳為V=&兀R兀32故選:DB【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將K“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對(duì)正，寬相等“，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響.如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長為12,底面圓的半徑等于4,一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)尸出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬

40、行一周后回到點(diǎn)P處，則小蟲爬行的最短路程為（）A. 12&B. 16C. 24D. 24月【答案】A【分析】可先求出側(cè)面展開扇形的圓心角，利用余弦定理即可求出.【詳解】如圖，設(shè)圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角為8,2萬則由題可得27x4=126,則0=T，=125/3.在肋aPO產(chǎn)中，OP=OP=12,則小蟲爬行的最短路程為P尸=12?+12?-2x12x12x故選：A.如圖，圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面為等腰直角三角形，且此三角形內(nèi)接于圓柱的底面圓.如果圓柱的側(cè)面積為16萬，其底面直徑與母線長相等，則此三棱柱的體積為（）A.167rB.16C.D.TV3【答案】B【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則該

41、圓柱的母線長為2r,根據(jù)圓柱的側(cè)面積求出廠的值，可求得三棱柱的底面積和高，由此可求得三棱柱ABC-A4G的體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為r,則該圓柱的母線長為2r,圓柱的側(cè)面積為2bx2r=4萬尸=16燈,解得廠=2,因?yàn)槿庵鵄BC-A8cl的底面為等腰直角三角形，由題圖可知，AC為等腰直角的斜邊，故。、分別為AC、AG的中點(diǎn)，因?yàn)锳V/CG且AA=CG，故四邊形4ACC為平行四邊形，所以，AC/AG且ac=ag，因?yàn)椋?、分別為AC、AG的中點(diǎn)，則AO/AQ且40=AQ，所以，四邊形為平行四邊形，所以，叫/。2且441=。01=2廠=4,因?yàn)镺O|_L底面A8C,故AA，底面A8C,所以

42、，三棱柱A8C-4耳C為直三棱柱,易得AB=BC=包AC=2五,5=1AB2=4,22因此，三棱柱ABC-A4G的體積為匕bc-ak,=5“叱AA=16.故選：B.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的樣卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱，6根等長的正四棱柱體分成3組，經(jīng)90。樺卯起來.若正四棱柱的高為8,底面正方形的邊長為2,現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為（）（容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留萬）.A.96%B.847rC.42萬D.167r【答案】B【分析】先根據(jù)題意判斷球形容器表面積最小時(shí)，直徑等于一組正四棱柱的體

43、對(duì)角線長，得到球半徑，即求得最小表面積.【詳解】若球形容器表面積最小，則正四棱柱與球內(nèi)接，此時(shí)球體的宜徑等于一組正四棱柱的體對(duì)角線長，即2R=褥+（2+2-+2,=2e,所以r=721，球形容器的表面積S=4萬店=84%.故選：B.TT.在三棱錐PABC中，已知R4L平面ABC,PA=AB=BC=2,ZABC=.若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A.4萬B.10萬C.12萬D.48乃【答案】C【分析】根據(jù)題意找到球心所在位置，然后借助勾股定理求出球半徑，進(jìn)而結(jié)合球的表面積公式即可求解.【詳解】pjr取邊AB的中點(diǎn)M,邊PC的中點(diǎn)O,由于44BC=,所以點(diǎn)M為“IBC外接圓的

44、圓心，連接。M,QA,則OMPA,又因?yàn)镻AL平面ABC,所以O(shè)M_L平面ABC,因?yàn)?Cu平面ABC,平面ABC,所以O(shè)MLAC,OM_L8W,又因?yàn)?M=M4=MC,所以。B=OA=OC=OP,則點(diǎn)。為外接球的球心，又因?yàn)镺M=PA=,MA=gCA=gJ8c2+AB?=&,所以球半徑為后方7耳廬=百，所以球表面積為4ix（石）=12,故選：C.在三棱錐尸-ABC中，已知84,平面ABC,PA=ABBC=2,AC=20,若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A.4%B.10C.12/rD.481【答案】c【分析】把三棱錐P-ABC可以補(bǔ)成以Aase,7%為棱的正方體，得到可得

45、正方體的外接球和二棱錐P-ABC的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，結(jié)合正方體的性質(zhì)，求得外接球的半徑，即可求解.【詳解】在aABC中，fAB=BC=2,AC=2y/2,所以AC?=a+bC）,所以AB_LBC.由平面ABC,則三棱錐P-ABC可以補(bǔ)成以A及BCFA為棱的正方體，可得正方體的外接球和：.棱銖P-ABC的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，如圖所示，設(shè)該球的半在為R,則2R=yjAB2+BC2+PA2=273，解得R=6所以該球的表面積為S=4R=41x（6）2=12萬.故選：C.()63兀10【答案】D【分析】 TOC o 1-5 h z BC.在三棱錐ABCD中，ABAD=BC=?,8=5,BD=4,AC=3

46、日則三棱錐外接球的表面積為C64兀128兀、126兀B.C.D.555由已知條件先判定出球心的位置，然后運(yùn)用正弦定理、余弦定理和勾股定理計(jì)算出球的半徑，即可計(jì)算出外接球的表面積.【詳解】如圖，由AB=BC=3,4c=3夜，得A3?+3C?=AC?,ABLBC,由8C=3,BD=4,CD=5,得BCBD?=CD：BC1BD,又ABnBO=8.BC_L平面ABD,設(shè)ABO的外心為G,過G作底面的垂線GO,使GO=；8C,則O為三棱錐外接球的球心，在ABO中，由AB=A=3,3。=4,得cos/BAO=-2x3x39sinNBAD=.設(shè)A3。的外接圓的半徑為r,949f=3則2x4逐2y/5,OG=

47、7,：.OB2 =3丫 _ 1262)=0，三棱錐外接球的表面積為431K=4兀x呼=華兀.故選：D.在四面體SABC中，SAJ_平面ABC,ZBAC=j,SB=SC=20，SA=2,則該四面體的外接球的表面積是（）254八164284一A.B.C.D.8萬333【答案】C【分析】計(jì)算出，8c的外接圓門徑2r,可求得三棱錐S-ABC的外接球立徑2R=祗笆西7，再利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】如卜圖所示:圓柱OQ的底面闞直徑為2/，母線長為則。2的中點(diǎn)0到圓柱底面圓匕每點(diǎn)的距離都相等,則。為圓柱002的外接球球心.設(shè)圓柱002的外接球半徑為R，則（2R=（2）+啟因?yàn)?4_L平面ABC,

48、可將三棱錐SABC置于圓柱。2內(nèi)，其中底面圓Q為曲的外接圓.因?yàn)镾B=SC=2V5,SA=2,則AC=AB=JS822=2,軟0_2_4/3因?yàn)锳BAC=J,則aABC為等邊三角形，該三.角形的外接圓直徑為“=一三=亍,3sin3設(shè)四面體S ABC的外接球半徑為R,則27?=河+（2尸=型,即/?=孚, 因此，.棱錐S-ABC的外接球的表面積為47正=答.故選：C.18.如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該空間幾何體的表面積為（）正視圖側(cè)視圖俯視圖A.2/30+-Jw+3a/5B.屈+屈+2小C.聞+W+3君D.回+2后+3行【答案】C【分析】由三視圖可是該幾何體為四棱錐，求出每個(gè)面的面積再相加

49、即可【詳解】由三視圖可知，該空間幾何體是一個(gè)四棱錐（如卜圖），口平面P）_L平面ABC。，=A8CC為矩形，且A8=55,AO=2,PA=#,P8=VTT,x2x-Ji=5,SPAB=SPDe=x/6x5/5=-,S=x2xJl0=Ji0Sabcd=2x5=2/5,2A八DA*-22QI2所以該幾何體的表面枳為回+師+36故選：C19.如圖，在aABC中，AB=AC=y/5,cosZBAC=-1,。是棱BC的中點(diǎn)，以為折痕把八48折疊,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)C的位置，則當(dāng)三棱錐C-ABD體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（）B.C.D.5122【答案】D【分析】在“8C中，山余弦定理求得8C=20，再由當(dāng)C

50、ZJ.BO二棱錐C-ABD體積最大，把三棱錐CABE）補(bǔ)形為一個(gè)長方體，結(jié)合長方體求得外接球的半徑，利用球的表面枳公式，即可求解.【詳解】在aABC中，因?yàn)锳B=AC=,cos.BAC=,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosA=3+3-2x6xgx（_；）=8,所以BC=2&，CDLBD,即CL平面4冷，三棱錐C-A3。體積最大，此時(shí)C。、D4兩兩垂直，可把三棱錐補(bǔ)形為個(gè)長方體，且長方體K、寬、高分別為：1,0,近，所以三棱錐C-ABO的外接球半徑為：。ylBD2+AD2+CD2+（何+（二）=正，K-=9222所以外接球的表面枳為：S=4ttR2=4x（-）2=57r.故

51、選：D.20.香水是香料溶于乙醇中的制品，早在公元前1500年，埃及艷后克婁巴特拉七世就已經(jīng)開始用15種不同氣味的香水洗澡了.近年來，香水已經(jīng)逐漸成為眾多女士的日常用品.已知“香奈兒”的一款飽受熱評(píng)的男士香水的包裝瓶如圖（1）所示，其三視圖如圖（2）所示，其中圖（2）中方格小正方形的邊長為1,則該香水瓶的體積為（）A.乃+120B.2乃+120C.乃+110D.21+110【答案】D【分析】根據(jù)三視圖可得包裝瓶由棱柱和圓柱組合而成，利用體積公式可求其體積.【詳解】由三視圖可得包裝瓶的直觀圖如圖所示：故其體積為：5x（242）+乃xx2=110+27,故選：D.21.如圖，在四棱錐P-ABC中，

52、。是正方形48CD的中心，P。，底面A8C,PA=5AB=2,則四棱錐P-A8co內(nèi)切球的體積為（）.柩兀04+兀116萬1255A萬Ad.CU.54272754【答案】B【分析】根據(jù)題意，先求出幾何體的體積，再結(jié)合等體積法求出內(nèi)切球的半徑即可求解.【詳解】由題可知,該幾何體的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長都為有，連接OA.P0_1_底面ABCD,PO1AO.AO=-xAB2+BC2=-xV22+22=V2,22PO=/AP2AO2=布)_(0)=/3Sabc。=2x2=4,S尸A。=Sapcd=SPBC=Spab=T設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為R,球心為O,由 P-ABCD=O-ABCD+O,-

53、PAD+O,-PAB+O1-PBC得SABCD.PO=ABCDRTSPAD,RHSab。RTSPBC，RTSpcDR,13nD-U3nDl-Lf3rnU3no3arot3即4x/5=4R+4x2R=12R,解得R=號(hào)，故四棱錐P-ABCD內(nèi)切球的體積為丫=gT內(nèi)故選：B.己知某幾何體的三視圖如圖所示，點(diǎn)A,8在正視圖中的位置如圖所示（A,8分別為正視圖中等腰梯形的兩個(gè)頂點(diǎn)），則在此幾何體的側(cè)面上，從A到8的最短距離為（）正視圖側(cè)視圖俯視圖D. 3/7A.空B.36C.亞22【答案】A【分析】作出三視圖的直觀圖，并展開，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)求得展開圖中的邊長，半在，圓心角等，從而求得A8的長.【詳

54、解】由三視圖可知該幾何體為卜底面半徑R=l,上底彳仝r=；,高為近的I員1介，故其母線長為BC=(1-1)2+(V2)2=|,其側(cè)面展開圖為以上、下底面周長為弧長，圓臺(tái)母線長為半徑的扇環(huán)，如圖所由相似三角形知，段=!，即51，解得oc=3,R2即圓錐的母線為3,記扇形的圓心角為a,則sOB=2，即a3=2;rxg,解得。=葛由三視圖可知，點(diǎn)B為展開圖中圓弧的中點(diǎn),在A04B中,1T371乙4。3=，08=一，。4=3,則乙430=一，322故AB=0AsinZAOB=2故選：A.已知球。的半徑/?=?至，三棱錐P-A8C內(nèi)接于球0,尸A_L平面ABC,且2=AC=BC=3,則三4棱錐P-A8C

55、的體積為()A.25/5B.6亞C.6D.yj3【答案】A【分析】首先計(jì)算aA8c外接圓的半徑，再結(jié)合正弦定理和三角形內(nèi)的邊角關(guān)系，解決aA8C的面積，最后求三棱錐尸-A8C的體積.【詳解】設(shè)的外接圓圓心為O,半徑為，連接。，OA.OAOB,則2=(?)+/,即（乎）=圖”，解得2所以sinZABC=一,所以C=8CsinZA8C=2,2r3所以AB=2BD=BC2-CD?=2后，所以心樹4326x2x3=2斯-故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了球與幾何體的綜合問題，考查空間想象能力以及化歸和計(jì)算能力，（1）當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩幣;4，并且側(cè)棱長為。，1C,那么外接球的直注2R=4?+巨+

56、2,（2）當(dāng)有一條例棱垂直于底面時(shí)，先找底面外接圈的圓心，過圓心做底面的垂線，球心在垂線匕根據(jù)垂直關(guān)系建立R的方程.如圖所示，在正方體ABCO-A4G。中，S是棱AB1上任意一點(diǎn)，四棱錐S-ABCD的體積與正方體A8CD-A8CQ的體積之比為（C.D.不確定【答案】B【分析】11可改正方體的棱長為。，則正方體的體積V=,四棱錐S-AB8體積為H=/。=幺，求333比值即可得解.【詳解】設(shè)正方體的棱長為。，則正方體的體積V=/,易知四棱錐S-ABCD的高為S點(diǎn)到底面的距離，即側(cè)棱長，所以四棱錐S-ABC”體積為H=1a2-a=y.所以故四棱錐S-ABCD的體積與正方體ABCD-A的體積之比為，故

57、選：B.九章算術(shù)是中國古代的一部數(shù)學(xué)著作，著作中記載：“芻薨者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.薨，屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱芻薨字面意思為茅草屋頂”.現(xiàn)有一個(gè)芻薨如圖所示，四邊形4BCO是邊長為4的正方形，“。與“CF是等邊三角豚EF/AB,AB=2EF,則該芻部的外接球的半徑為（）【答案】A【分析】連接AC,B。交丁點(diǎn)。，過。點(diǎn)作“L平面ABCO,設(shè)O為外接球的球心，取ARBC的中點(diǎn)分別為G,H,證得BC_L平面77幻，求得MO=4FH-l=后，設(shè)=x,得到結(jié)合求得截面性質(zhì),列出方程，即可求解.【詳解】連接AC,BD交于點(diǎn)。，過。點(diǎn)作OO，平面ABC

58、D.因?yàn)樗倪呅蜛8CD為正方形，所以外接球的球心在QM匕設(shè)O為外接球的球心,取AD,BC的中點(diǎn)分別為G,H,連接EG,FH,因?yàn)镋FUAB,ABUGH,可得EF/GH,因?yàn)閍BFCaEAD為等比三角形，所以E771.BC,因?yàn)锽CLGH,EHGH=H,所以BC_L平面E/HG,因?yàn)轸?4=2所，所以AO=20,E尸=2,所以EM=l,EO=AO=R,因?yàn)镕H=26,所以MO=后,設(shè)CX7=x,則MO，=VTi-x，所以AO=4。2+00匕：0,2=+,所以/+8=1+（7?-幻2,即9+V=1+1l-ZVHx+xZ,解得2VHx=4，即x=,所以R2=ao=AO2+OO2=8+W=，所以R=、

59、怪=述亙.H11VII11故選：A.mI.如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的宜徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)，我們來重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的表面積與球的表面積之比為（）aB.2C.-D.-223【答案】C【分析】設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R,分別求得圓柱和球的表面積，即可得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R,高為2R.圓柱的表面枳H=27tR2+27tR-2R=6兀R2,球的表面積$2=4萬/?2,所以圓柱的表面積與球的表面積之比為2=7=;.S24ttR-2故選：C.阿

60、基米德是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家，是靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，他在不知道球體積公式的情況下得出了圓柱容球定理，即圓柱內(nèi)切球（與圓柱的兩底面及側(cè)面都相切的球）的體積等于圓柱體積的三分之二.那么，圓柱內(nèi)切球的表面積與該圓柱表面積的比為（）A.yB.-C.-D.-2334【答案】C【分析】設(shè)球的半徑為R，可得出圓柱的底面半徑與高，利用球體的表面積公式以及圓柱的表面積公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半價(jià)為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R,則圓柱的表面積為S=2%正+2萬r.2R=6%*,球的表面積為S球=4,.所以，圓柱內(nèi)切球的表面積與該圓柱表面積的比