1、每一位同學(xué)拿到誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)一書時(shí)，腦子里馬上就有許多問題涌現(xiàn)：這是一門什么樣的課程？學(xué)習(xí)這門課有什么用處呢？我應(yīng)該怎樣去學(xué)好它？故在講課之前，簡(jiǎn)單地向大家介紹一下本課程的基本情況。測(cè)量平差是測(cè)繪專業(yè)一門重要的技術(shù)基礎(chǔ)課，主要講授測(cè)量數(shù)據(jù)處理的基本理論和方法，是理論與實(shí)踐并重的課程。通過學(xué)習(xí)測(cè)量平差，牢固地掌握測(cè)量數(shù)據(jù)處理的理論和方法，為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。一、教學(xué)內(nèi)容全書共有十二章：第一章 緒論第二、三章全書的基礎(chǔ)知識(shí)第四章介紹測(cè)量平差理論第五、六、七、八章4 種平差方法第九章各種平差方法的總結(jié)第十章討論點(diǎn)位精度第十一章統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的知識(shí)第十二章近代平差概論根據(jù)本科教學(xué)

2、大綱的要求，重點(diǎn)講解第二章第八章以及第十章的內(nèi)容。二、怎樣學(xué)好測(cè)量平差要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。只有牢固地掌握了高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)和概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等課程的知識(shí)才能學(xué)好測(cè)量平差，因此課前要做到預(yù)習(xí)，對(duì)與以上三門課程有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)，只有這樣才能聽懂這一節(jié)課。聽課時(shí)弄清解決問題的思路，掌握公式推導(dǎo)的方法以及得到的結(jié)論，培養(yǎng)獨(dú)立思考問題和解決問題的能力。課后及時(shí)復(fù)習(xí)并完成一定數(shù)量的習(xí)題（準(zhǔn)備A、 B兩個(gè)練習(xí)本），從而鞏固課堂所學(xué)的理論知識(shí)。第一章 緒論本章主要說明觀測(cè)誤差的產(chǎn)生和分類，測(cè)量平差法研究的內(nèi)容以及本課程的任務(wù)。第二章 誤差分布與精度指標(biāo)全章共分5 節(jié)，是本課程的重點(diǎn)內(nèi)容之一。重點(diǎn)：偶然誤差的規(guī)

3、律性，精度的含義以及衡量精度的指標(biāo)。難點(diǎn)：精度、準(zhǔn)確度、精確度和不確定度等概念。要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律；牢固掌握衡量精度的幾個(gè)指標(biāo)。第三章 協(xié)方差傳播律及權(quán)全章共分7 節(jié)，是本課程的重點(diǎn)內(nèi)容之一。重點(diǎn)：協(xié)方差傳播律，權(quán)與定權(quán)的常用方法，以及協(xié)因數(shù)傳播律。難點(diǎn)：權(quán)，權(quán)陣，協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)陣等重要概念的定義，定權(quán)的常用方法公式應(yīng)用的條件，以及廣義傳播律（協(xié)方差傳播律和協(xié)因數(shù)傳播律）應(yīng)用于觀測(cè)值的非線性函數(shù)情況下的精度評(píng)定問題。要求：通過本章的學(xué)習(xí)，弄清協(xié)因數(shù)陣，權(quán)陣中的對(duì)角元素與觀測(cè)值的權(quán)之間的關(guān)系；能牢固地掌握廣義傳播律和定權(quán)的常用方法的全部公式，并能熟練地應(yīng)用到測(cè)量實(shí)踐

4、中去，解決各類精度評(píng)定問題。第四章 平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理全章共分5 節(jié)。重點(diǎn)：測(cè)量平差的基本概念，四種基本平差方法的數(shù)學(xué)模型和最小二乘原理。難點(diǎn)：函數(shù)模型的線性化，隨機(jī)模型。要求：牢固掌握本章的重點(diǎn)內(nèi)容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含義；對(duì)于較簡(jiǎn)單的平差問題，能熟練地寫出其數(shù)學(xué)模型。第五章 條件平差全章共分4 節(jié)，是基本測(cè)量平差方法之一。重點(diǎn)：條件平差的數(shù)學(xué)模型, 平差原理, 基礎(chǔ)方程及其解以及精度評(píng)定問題。難點(diǎn)：各種不同類型的控制網(wǎng)（水準(zhǔn)網(wǎng)，測(cè)角網(wǎng)和測(cè)邊網(wǎng)）中，必要觀測(cè)數(shù) t 的確定，非線性條件方程線性化，以及求平差值非線性函數(shù)的中誤差。要求：通過本章的學(xué)習(xí)，能牢固掌握并能推導(dǎo)條件

5、平差全部的公式；能熟練地列出各種控制網(wǎng)中的條件方程并化為線性形式；并求出平差值、單位權(quán)中誤差和平差值函數(shù)的中誤差。第六章 附有參數(shù)的條件平差全章共分3 節(jié)，是基本測(cè)量平差方法之一。重點(diǎn)：附有參數(shù)的條件平差數(shù)學(xué)模型，平差原理，基礎(chǔ)方程及其解。難點(diǎn)：各種不同類型的控制網(wǎng)中，條件方程個(gè)數(shù) c 的確定，函數(shù)模型的建立。要求：了解附有參數(shù)的條件平差法的平差原理；在對(duì)各種類型的控制網(wǎng)平差時(shí)，能準(zhǔn)確地確定條件方程的個(gè)數(shù)；并熟練地列出條件方程以及組成法方程。第七章 間接平差全章共分9 節(jié)，是基本平差方法之一。重點(diǎn)：間接平差原理、數(shù)學(xué)模型、基礎(chǔ)方程及其解，以及精度評(píng)定等內(nèi)容。難點(diǎn)：測(cè)角網(wǎng)、測(cè)邊網(wǎng)坐標(biāo)平差和導(dǎo)線網(wǎng)

6、、GPS網(wǎng)間接平差時(shí)誤差方程的列立及線性化，求參數(shù)的非線性函數(shù)的中誤差。要求：通過本章的學(xué)習(xí)，牢固掌握間接平差的平差原理并能推導(dǎo)全部的公式；能熟練地列出測(cè)角網(wǎng)、測(cè)邊網(wǎng)坐標(biāo)平差的線性化誤差方程，以及參數(shù)的非線性函數(shù)的權(quán)函數(shù)式；并求出參數(shù)平差值、單位權(quán)中誤差和參數(shù)函數(shù)中誤差。第八章 附有限制條件的間接平差全章共分3 節(jié)，是基本平差方法之一。重點(diǎn)：附有限制條件的間接平差原理，函數(shù)模型的建立和法方程的組成，以及求參數(shù)函數(shù)的中誤差。難點(diǎn)：誤差方程的列立，限制條件個(gè)數(shù) s 的確定及方程的列立，求參數(shù)函數(shù)的協(xié)因數(shù)。要求：了解附有限制條件的間接平差原理，能熟練地列出對(duì)各種控制網(wǎng)平差時(shí)的誤差方程和限制條件方程，

7、并組成法方程。第九章 概括平差函數(shù)模型全章共分5 節(jié)，是對(duì)4 種基本平差方法的綜合和總結(jié)。重點(diǎn)：附有限制條件的條件平差（概括平差函數(shù)模型）函數(shù)模型的建立，概括平差函數(shù)模型與 4 種基本平差方法函數(shù)模型之間的關(guān)系。難點(diǎn)：最小二乘估計(jì)量最優(yōu)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的證明和單位權(quán)方差估值公式的推導(dǎo)。要求：弄清各種平差方法的共性和特性，以及4 種基本平差方法函數(shù)模型與概括平差函數(shù)模型之間的關(guān)系。第十章 誤差橢圓全章共分6 節(jié)。重點(diǎn)：誤差橢圓、相對(duì)誤差橢圓三個(gè)參數(shù)的計(jì)算、作法和用途，任意方向（或 ）的位差的計(jì)算公式。難點(diǎn)：極值方向的確定和誤差橢圓的作用。要求：通過本章的學(xué)習(xí)，能熟練地求出任意方向（ 或 ） 上的位差；根

8、據(jù)已知待定點(diǎn)坐標(biāo)平差值協(xié)因數(shù)陣，準(zhǔn)確地計(jì)算誤差橢圓、相對(duì)誤差橢圓的三個(gè)參數(shù)并畫出略圖，誤差橢圓在平面控制網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的作用。第一章 緒 論 1-1 觀測(cè)誤差測(cè)量數(shù)據(jù)（觀測(cè)數(shù)據(jù)）是指用一定的儀器、工具、傳感器或其他手段獲取的反映地球與其它實(shí)體的空間分布有關(guān)信息的數(shù)據(jù)，包含信息和干擾（誤差）兩部分。一、誤差來源觀測(cè)值中包含有觀測(cè)誤差，其來源主要有以下三個(gè)方面：測(cè)量儀器；觀測(cè)者；外界條件。二、觀測(cè)誤差分類偶然誤差定義，例如估讀小數(shù)；系統(tǒng)誤差定義，例如用具有某一尺長誤差的鋼尺量距；系統(tǒng)誤差與偶然誤差在觀測(cè)過程中總是同時(shí)產(chǎn)生的。粗差定義，例如觀測(cè)時(shí)大數(shù)讀錯(cuò)。 1-4 本課程的任務(wù)和內(nèi)容一、測(cè)量平差的任務(wù)

9、處理帶有觀測(cè)誤差的觀測(cè)值，估計(jì)待求量的最佳估值并評(píng)定測(cè)量成果的精度。二、測(cè)量平差的內(nèi)容建立觀測(cè)誤差的統(tǒng)計(jì)理論，簡(jiǎn)稱誤差理論。研究誤差的統(tǒng)計(jì)分布，誤差的估計(jì)與傳播；2-2 偶然誤差的規(guī)律性研究衡量觀測(cè)成果質(zhì)量的精度指標(biāo)；建立觀測(cè)值與待求量之間的函數(shù)模型，以及描述觀測(cè)精度及其相關(guān)性的隨機(jī)模型；研究估計(jì)待求量的最優(yōu)化準(zhǔn)則；結(jié)合測(cè)量實(shí)踐研究測(cè)量平差的各種方法；研究預(yù)報(bào)和質(zhì)量控制問題。第二章 誤差分布與精度指標(biāo) 2-1 正態(tài)分布概率論中的正態(tài)分布是誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)中隨機(jī)變量的基本分布。一、真值與真誤差1.真值代表觀測(cè)量真正大小的數(shù)值，以表示，當(dāng)觀測(cè)量僅拿假然誤差時(shí)，E(L) - L o2.真誤看真

10、誤差的定義式為；，,-4(2-2-1).或.合=%(2221一般情況下工是難以求得的，但有以下兩種特殊的情況可以得到，在圖1的三角形中，兒百和區(qū)難以求得，但其和的真值等于180。，即一般情況下工是難以求得的，但有以下兩種特殊的情況可以得到；。在圖1的三角形中，加心和耳難以求得，但其和的真值等于180。，即11 + ? = 180 ； /設(shè)通2的一段距離分別進(jìn)行住、返丈量得廠和廠，女廠難以得到， 而往、源測(cè)之差的真值座等去零，即d = J - = 0。ALL修12直方圖由表 2-1 、表 2-2 可以得到直方圖2-1 和圖 2-2 （注意縱、橫坐標(biāo)各表示什么？），直方圖形象地表示了誤差分布情況。

11、誤差分布曲線（誤差的概率分布曲線）在一定的觀測(cè)條件下得到一組獨(dú)立的誤差，對(duì)應(yīng)著一種確定的誤差分布。當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)的情況下， 頻率穩(wěn)定，誤差區(qū)間間隔無限縮小，圖 2-1 和圖 2-2 中各長方條頂邊所形成的折線將分別變成如圖 2-3 所示的兩條光滑的曲線，稱為誤差分布曲線，隨著 n 增大， 以正態(tài)分布為其極限。因 此，在以后的討論中，都是以正態(tài)分布作為描述偶然誤差分布的數(shù)學(xué)模型。3 1 數(shù)學(xué)期望的傳播偶然誤差的特性第三章 協(xié)方差傳播律及權(quán)在測(cè)量實(shí)際工作中，往往會(huì)遇到某些量的大小并不是直接測(cè)定的，而是由觀測(cè)值通過一定的函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算出來的，顯然，這些量是觀測(cè)值的函數(shù)。例如，在一個(gè)三角形中同精度觀測(cè)

12、了3 個(gè)內(nèi)角 L1 ， L2 和 L3，其閉合差w 和各角度的平差值分別又如圖3 1 中用側(cè)方交會(huì)求交會(huì)點(diǎn)的坐標(biāo)等?，F(xiàn)在提出這樣一個(gè)問題：觀測(cè)值函數(shù)的精度如何評(píng)定？其中誤差與觀測(cè)值的中誤差存在怎樣的關(guān)系？如何從后者得到前者？這是本章所要討論的重要內(nèi)容，闡述這種關(guān)系的公式稱為協(xié)方差傳播律。數(shù)學(xué)期望是描述隨機(jī)變量的數(shù)字特征之一，在以后的公式推導(dǎo)中經(jīng)常要用到它，因此， 首先介紹數(shù)學(xué)期望的定義和運(yùn)算公式。其定義是： 3 2 協(xié)方差傳播律從測(cè)量工作的現(xiàn)狀可以看出：觀測(cè)值函數(shù)與觀測(cè)值之間的關(guān)系可分為以下3 種情況， 下面就按這3 種情況來討論兩者之間中誤差的關(guān)系。公/ %=，以x)卜-2-1) :%產(chǎn)心丐

13、設(shè)有X的線性函數(shù)Z 密+兒，求%=?式中R =伊他.此為系數(shù)陣，均為常數(shù)， 111*1:內(nèi)1ML 1 X宓均無誤差.2.根據(jù)方差的定義式（231）式有% =小磯（Z -成詠-現(xiàn)2）力上式中，壓續(xù)如，而E （X）可根據(jù)數(shù)學(xué)期望運(yùn)算公式、和虹或更猥：E =E (KX+&)=E (KX) +E (%)=KE (X) +VVv=KUx+&將Z和E (Z)代入D,得=(乩- K% KX -即*力(3-2-4)=巾（丫-山-魯”% = cz = KD容 Q 11上式的緲量歌或?yàn)?-2-5）式。當(dāng)q中各分量篦（i= 1,2兩兩獨(dú)立時(shí),它們之間的協(xié)方差% = K此時(shí)（3-2-5）式為以下形式Qzz = =Ai

14、2cl2 +七JbJ + .十 &（3-2-6） 通常格（324）、（325）和（326）等式稱為協(xié)方差傳播律。 例33解：本題觀測(cè)值向量為= -0,96其協(xié)萬墨陛由已相條件可知： TOC o 1-5 h z C 卜，巧2196-1 1D 郎2 _ _ 11 Q%1L96B.列出X與6的關(guān)系式 由圖32可知“a-?！?廣卜 1-1.由(324)式得1.92 眇)血=14 H3.若按(3-2-5)計(jì)算得ar2 = (-1)2 X1,96 + (-1)2 x.96 + 2x(-1)x (-1)x(- 1)= 3.92-2 = 1.92眇)巴=14 n提問：鑾因熊用(326)式計(jì)算嗎？為什么?二、多

15、個(gè)雙涕值線性函文的協(xié)方差陣1,設(shè)有現(xiàn)測(cè)值向量普，其數(shù)學(xué)期望此京和協(xié)方差陣如(3-2-1)式.(327)式所不現(xiàn)令則(327)幽國為(3-2-8)求與二?2.比較(322)與(328)式可以看出：兩式的形式完全相同，因此，根據(jù) (3-2-4)式可以得到(3-2-10)上式中的是看仝觀測(cè)值函數(shù)的協(xié)方差陣，而(3-2-4)式中的Q江是一個(gè)觀測(cè)值函數(shù) n11的方差，因此，可以認(rèn)為(3-2-4)式是(3-2-10)式的一種特殊情況.所以稱(3-2-10)或觸方差傳播律的一般公式.(3212)(3-2-14).設(shè)另有X的尸個(gè)線性函數(shù)Y =FXf rl e xl由(3-2-10)式亙猥 E 股 .Y關(guān)于Z的

16、互協(xié)方差陣Dy？ 強(qiáng)索反妨羞陣的定義可知加=&g 爪y)(z-a(z)按照以上推導(dǎo)的方法可得% = D%（3215）通常將（324）、（3 210）和（3215）等式稱為協(xié)方差傳播律。例3-5本例在應(yīng)用協(xié)方差傳播律謂或前,首先要寫出觀測(cè)值向量 以方便后面的計(jì)算.三、m國性函文的情況.設(shè)有雙測(cè)值向量X的非線性函數(shù)Z =心）或 24號(hào)打，區(qū)）已知的協(xié)方差陣。.，欲求Z的方差?？?:及其協(xié)方差陣（3-2-21）（3-2-22）.對(duì)于以上非線性函數(shù)的情況，首先要利用臺(tái)勞公式，在點(diǎn),X處將（3222)式展開為線性形式，如(3223)式.當(dāng)Jf與X非常接近時(shí),舍去上式中的 二次及二次以上各項(xiàng)3得到(322

17、4)式令 =片h【僚1僚卜僚U-/僅二品。,&。)4償x：11叫 MJ顯然，R與A,均無誤楚。(3-2-24)式可以寫成舌著+(32T6)上式與(322)式完全相同，故可以按(324)式得到Z的方差Z?2z為3.若按(3-2-28)式設(shè)陽，心用dZ,則(32 24)式可寫為“7. ) 十(丁 1 H牙十 J曠)月丫uZ - aA1 +I aA 十 , +aA *院 J。，詠= KdX(3 - 2 - 29)可見上式是c3-2-22)式的全微分，其系數(shù)陣差與小一2-26)式完全相同.因此，為了求非線性函數(shù)的方差，只要對(duì)它先求全微分，將非線性函數(shù)化為線性函數(shù)，再掇加友差傳 攫徽6國求得該函數(shù)的方差

18、 4若有t個(gè)非線性函數(shù)W和廠個(gè)非線朝0先求全微分得dZ-KdXdy- FdXn na Ml71nl *1再按(3-210)s (3-2-15)兩式得n例3-7圖34從本網(wǎng)可以看出；.對(duì)函數(shù)式進(jìn)行全微分時(shí)，有時(shí)先將函數(shù)式取時(shí)數(shù)，再求全微分更簡(jiǎn)便；.偏導(dǎo)數(shù)1圖1的數(shù)值是用X的近似值代人后算出的，.用數(shù)值代入計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意各項(xiàng)的單位要統(tǒng)一。栩史有長度和角度兩種單位，應(yīng) 強(qiáng)癱因我刎。化為弧度四、應(yīng)用協(xié)方差傳播律的計(jì)算步驟根據(jù)以上3種情況求方差或協(xié)方差陣的計(jì)算過程,總結(jié)出應(yīng)用例方差傳播律的4個(gè)計(jì) 算步驟,（略）復(fù)習(xí)思考題.觀測(cè)值向量的協(xié)方差陣是怎樣定義的？試說明其中各個(gè)元素的含義.X1.已知觀測(cè)值Zq

19、,L）的中誤差（?! = o-2 = a, 712 = 0 b設(shè)X = 2+5, Y =L2k，Z =&, =X +匕試求工 K 2和的中誤差，解；.根據(jù)（326）式可得 TOC o 1-5 h z c2 2nb. = 2 b. . crr = 2bOy = a2 +（- 2yb2=5er2ay =把b22 ,25 =4十?=4t ）的條件平差問題，可以列出r=n-t 個(gè)獨(dú)立的條件方程，且列出 r 個(gè)獨(dú)立的條件方程后就可以進(jìn)行后繼的條件平差計(jì)算。然而， 在實(shí)際工作中，有些平差問題的r 個(gè)獨(dú)立的條件方程很難列出。例如，在圖1 所示的測(cè)角網(wǎng)中，A、 B 為已知點(diǎn)，AC為已知邊。觀測(cè)了網(wǎng)中的9 個(gè)角

20、度，即n=9。要確定C、 D、 E 三點(diǎn)的坐標(biāo)，其必要觀測(cè)數(shù)為 t=5 ，故條件方程的個(gè)數(shù)為r=n-t=9-5=4 ，即必須列出4 個(gè)獨(dú)立的條件方程。由圖1 知，三個(gè)圖形條件很容易列出，但第四個(gè)條件卻不容易列出。圖1為了解決這個(gè)問題，可以選擇某個(gè)（或某幾個(gè)）非觀測(cè)量作為參數(shù)2。例如圖1中選擇乙4即作為參數(shù)/設(shè)選擇了 個(gè)參數(shù)，則原來的個(gè)條件方程就變?yōu)閏 = r + 個(gè)了。如圖1中，由于選擇了 2團(tuán)作為參數(shù)上，則條件方程 的個(gè)數(shù)就變?yōu)閏 = f = 4+1=5個(gè)，即除了三個(gè)圖形條件外,還可以列出1個(gè)極 條件和1個(gè)固定邊條件e如圖1,若以A點(diǎn)為板，則極條件為，疝（上5 +上7）疝X sill L6：

21、Z- = 1sin（4 - X siii（ L6 + L8）siii L$固定邊條件為（由推算B）,8111(+ 4)如1上2sin X siii 4或* J.5帥 sill X sill q根據(jù)如此含有以個(gè)參數(shù)的條件方程所進(jìn)行的平差，稱為附有參數(shù)的條件平 差。二、附有參數(shù)的條件平差原理由第四章知，附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型為:(6-1)A V+ B x+r = 0C如 乂 。對(duì) （A式中，為觀測(cè)值的改正數(shù)，今為參數(shù)近似值X。的改正數(shù)。其系數(shù)矩陣的秩分 別為rkA = c, rk(B) = u.其隨機(jī)模型為:D 工工=另 Q = (j1P 1（6-1）式中的未知數(shù)為g個(gè)觀測(cè)值L的改正數(shù)，和u

22、個(gè)參數(shù)近似值X的改正數(shù)亡，即未知數(shù)的個(gè)數(shù)為.=盟+必，而方程的個(gè)數(shù)為。=+如由于演-6= -r = /0,所以（6-1）式是一組具有無窮多組解的相容方程組。必須根據(jù)最 小二乘原理，求出能使二min的一組解,為此，下面就來求解能使 VTPV- niiii 的一組解。1、基礎(chǔ)方程及其解為了求得解能使，丁歹斤=min的一組解，按求函數(shù)之條件極值的方法，組 成新函數(shù)：二 VtPV-1KT（AV 陵 +用）式申K是對(duì)應(yīng)（6-1）式的聯(lián)系數(shù)向量。為了求函數(shù)的極小值，將其分別對(duì)，和土求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，即rkl rr= Z7tP-1KtA=0（1）7= -2K7B=0亦即（6-2）py-atk = o

23、btk = oBrK = O（6-2）式中的第一式稱為改正數(shù)方程。將（6.1）式和（6.2）式聯(lián)立，則得到附有參數(shù)的條件平差的基礎(chǔ)方程： 月，+砒+印=0if K（6-3）BK = OBrK = O將（6-3）式中的第二式代入第一式，消去改正數(shù)匕得:AP-1ArKa-出+歹=0BrK = 0（6-4）空/十成十歹=0btk = o（64 ）式稱為附有參數(shù)的條件平差的法方程。因?yàn)榇危ū兀?次（川-.1）=/（=c ,且此=為-9r = Nqq ,所以M口是滿秩的對(duì)稱方陣，其凱利逆存在。于是，用火左乘（6-4）式的第 一式，可得，太=一詞（成+雙）（6-5）再以2左乘（6-4）式的第一式，顧及第二

24、式，得，3只就+3r丈郎=0令% =（6-6）則有 TOC o 1-5 h z N/十 B/N； = O（6-7）因?yàn)槲欤ㄗ疲┒欤ㄕ夙疲荷岸?五，且孤二砥，所以為是 滿秩的對(duì)稱方陣，其凱利逆存在。于是，由（6-7）式得：=-聞 3丁同（6-8）將（6-5）式和（6-8）式同時(shí)代入（6-2）式的第一式,得：產(chǎn)=_一】/應(yīng)（忒+郎）（6-9）（6-9）式就是附有參數(shù)的條件平差的最終解。附有參數(shù)的條件平差的計(jì)算步驟由以上推導(dǎo)，可總結(jié)出附有參數(shù)的條件平差的計(jì)算步驟如下：（1）、根據(jù)具體的平差問題，選取個(gè)獨(dú)立的參數(shù)，并列出附有參數(shù)的條件 方程（61）式6（2）、組成法方程（6-4）式。（3）、按（6

25、-8）式和（6-9）式計(jì)算參數(shù)近似值X的改正數(shù)才和觀測(cè)值L 的改正數(shù)匕（4）、按 = +0、X=X+*計(jì)算觀測(cè)值和參數(shù)的平差值。（5）、用平差值重新列平差值條件方程，檢核整個(gè)計(jì)算的正確性。舉例某三角網(wǎng)如冕2所示，4 3為己知點(diǎn)，8。為己知邊。其己知數(shù)據(jù)為:= 1000.00搐，yA = 0,00犯 xs = 1000,00% 了= 1732.00% S助=1000 00加各角的同精度獨(dú)立觀測(cè)值見表1?，F(xiàn)選乙C4B的最或是值為參數(shù)，試技附有參數(shù)的條件平差求觀測(cè)值的平差值和參數(shù)的平差值，表1角號(hào)觀測(cè)值角號(hào)觀測(cè)值16000034595957260000255 9 59463600004659。395

26、9本例中漢=6, t = 3, r = 3, =1,故 c = r + u = 4由圖2知，可列2個(gè)圖形條件，1個(gè)極條件和1個(gè)固定邊條件.這4個(gè)條件如下:VL I V2 I v3 I 也=0匕 十 % ”6 + %二0， 、 、 ， 疝 La 疝(4 - X) sin(Z3 + 區(qū))：；：=1sill Z5 疝(上2 +24 )疝1又S& 疝1X_ 1SpD s 111(-3 + Z5)取X=3000P0將非線性條件線性化后，得條件方程為:10 1.732 I。1100010.577 -0.577 1.15500.577001-1.1550.577 00- 3.464、1.732 9 、-8=

27、05.196-6.051J由于為同精度獨(dú)立觀測(cè)，故P = J于是由（6-4）式得法方程為:3.000 01.7320 3.00000.577 0.577,0、0i +，9、一 8=01.732 06334-0.999-3.4645.1960.577 0.577 -0.9990.666 ,JR)60,（0 0 -3.464 1.732 K = 0解得：3 = 5.4009, V1 =（2.4* -5.7* 一5.7, 8.0, 0.0 0.0）由此可得觀測(cè)值和參數(shù)的平差值為；7二電00005 .4 f95946.3 S9F948.3 600005.0, 595946.0” 595959.0X =

28、 3OOOrO5.4ff檢核略。三精度評(píng)定單位權(quán)方差的估值在附有參數(shù)的條件平差中，單位權(quán)方差的估值仍為： , VTPV _ VTPVc -u基本向量的協(xié)因數(shù)矩陣% %四如的如 0 e 0 e e e 4%隰益%如 a 2即a%?？诓?加才勾5。丸A%-即 找 TOC o 1-5 h z 效歹嶗月0口-QBr眩-QacAQu-2口80-Qw-?！叭f2”叫o Qu-M瑞日2發(fā)方2萬遍8對(duì)-。/公-N&0N*J-磔=聞)0Qr-紇&儂以0QAQllQQAQu,0QlQvtBQ雙b，naq比-際5T也月Q”00Qu Qvr3、平差值函數(shù)的中誤差 設(shè)平差值函數(shù)為：衿(L X)對(duì)其全微分，得權(quán)函數(shù)式為：2

29、 a 二 ) 八 r-rT q _ r , . d = dL HdX = F dL + % dX dL dx(6-11)式中:ft。3、困 9Z2a)/產(chǎn)丁生空 （成岐2(6-12)應(yīng)用協(xié)因數(shù)傳播律，得第七章 間接平差7-1 間接平差原理V PV = ram二、基礎(chǔ)方程及其解1、基礎(chǔ)廄按求條件極值法蛆成畫效2C-1-5)為求中的極小值9將其對(duì)f取偏導(dǎo)并令其為零，貝山拿=2嘿=叫叩=0(7-L6)(7-1-7)轉(zhuǎn)苴后得2、法方程解基他方程時(shí)通常是將（7J-7）式代入（71.2式），得B P欣一8 R = 0則可將基礎(chǔ)方程表示如下:(7-1-8)式中，N聲球PB,W=mPl.上式稱為間接平差的法方

30、程, 解（7.1-8）式，可得 7-2 精度評(píng)定復(fù)習(xí)思考題：間接平差的函數(shù)模型和隨機(jī)模型是什么？間接平差法與條件平差法的結(jié)果上否一樣？為什么？證明間接平差法中改正數(shù)向量和平差值向量不相關(guān)。第八章 附有限制條件的間接平差原理本章重點(diǎn)：附有限制條件的間接平差原理精度評(píng)定3、誤差方程、限制條件方程的列立在一個(gè)平差問題中，多余觀測(cè)數(shù)，如果在平差中選擇的參數(shù)個(gè)，其中包含了個(gè)獨(dú)立參數(shù)，則參數(shù)間存在 個(gè)限制條件。平差時(shí)列出個(gè)觀測(cè)方程和個(gè)限制參數(shù)間關(guān)系的條件方程，以此為函數(shù)模型的平差方法，稱為附有限制條件的間接平差。 8-1附有限制條件的IR按平差原理一、附有限而件的間接平差的數(shù)學(xué)模型根據(jù)42的介紹可知，1、

31、函數(shù)模型r= Br-? 人11。狂部=0、小山 ，1其中RJ9)=尺 = 5 . R Cn ,s 1 i2、法方程及解解基礎(chǔ)方程時(shí)通常是將(8-1-1)式代入(31.3式)，得S PBX+C K -B Pi= 0則可將基礎(chǔ)方程表示如下：C N,“RC K -部=0(8-1-9)5娘 41 加 C 殳+ W =(8-1-10)式中，nbtpb9 W = Pl.上就稱為附有限制條件的間接平差的法方程.由法方程可解出力和M第七章卬已指出，N是一滿秩對(duì)稱方陣，是可逆陣.用07廠左乘(8-1-9)式，并減 去(3-1-10)式得；瓶+ 獷)7(8-1-11)式中，N =CN C、旦期)=RC ) = R

32、=s，又=WC)=雙七， 幺 nma故N為一 s階的滿秩對(duì)稱方陣，是可逆陣.于是(8-1-12)(8-1-13) =ig-i+M9將上式代入(8-L9)式，經(jīng)整理可得：X = M1-N-1C AT1 靖 WCN W由上式求得先后，代入8-1-1)式可求得幾 最后可求出：(8-1-15)三、按附有限制條件的間接平差求平差值的步驟及示例計(jì)駕步驟：1、根據(jù)具體的平差間題，選取u個(gè)參數(shù)，其中包含t個(gè)獨(dú)立參數(shù).2s將每一個(gè)現(xiàn)測(cè)量的平差值分別表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，若函數(shù)為非線性，則將其線性 化，列出誤差方程(8-1-1);再依據(jù)參數(shù):之間存在的函數(shù)關(guān)系，列出參數(shù)的限制條件方 程(8-1-2).3、由誤差方

33、程系數(shù)和限制條件方程系數(shù)組成法方程(8-1-9)、(3-1-1Q).4、解算法方程，求出參數(shù)3計(jì)算參數(shù)的平差值方=*+3 例8-1為了確定通過已知點(diǎn)(耳=04乂 =1.2)處的一條直線方程(見圖:1)： p =歐”, 現(xiàn)以等精度測(cè)了 了 = 1，2,3 = L & 3)處的函數(shù)值y = L6,2,0,2,4(/ =1, 2,3).選取直線方程中的 。、辦作為參數(shù)：左以6.試列出其誤差方程和限制條件方程，并求依方的估值.解；由題知刀=3J = 1,尸=3-1=2 = 2,即共應(yīng)列了+ 1 = 4個(gè)方程.其中s=#-t=2-l=l 個(gè)限制條件方程，其余3個(gè)為誤差方程?，F(xiàn)測(cè)方程為：+-1,2,3)A

34、十力一 = 0限制條件方程為：代入現(xiàn)測(cè)數(shù)據(jù)和已知數(shù)據(jù)，即得誤差方程和限制條件方程:司占+。一1.6 匕=26 +方-2.。匕=33+1一 2.4 0.43 十方一 1.2 = 0相應(yīng)的法方程為1460.4631解得(5 = 0,479V = 1.0083, = 0 0992所以，直線方程為y = 0.4793x +1.00838-2精度評(píng)定單位權(quán)方差的估值公式.V PV V PV(8.2-1)式中，多余觀測(cè)數(shù)聯(lián)力-iS,其中 T = 為必要的獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù).二、協(xié)因數(shù)陣基本向量的自協(xié)二陣以及兩兩向量之間的互協(xié)因數(shù)陣.在附有限制條件的間接平差中，基本向量為，見文匕,胸，顧及C =Q即可推求各設(shè)T

35、= W X Z/ V L ,則Z的協(xié)因數(shù)陣為Q = Qr QQa. Q.Q,Q ,Q Q 入Q6 ；2.2；m.CuQ,0“Q jq,l a” e.;。，e.f e.; Q,。“C；2.QC;.。江。；.“Q；xQ&Q；.,Qu一(8-2-2)由各基本向量與，之間的關(guān)系式，應(yīng)用協(xié)因數(shù)傳播律，可求得Q ，列入下表中，供查閱.LwKAXVA LLeBCM】膛,_Q,s-e.WB*N Q N f BKB】C0一獷妝工3 = Scoswa/s (10-4)二卜。3。即根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播律，得絲。紳=cos/ 血 *j。4心COS0 lar。bsin 0 J=Q. cos2。+ Qyy sin 2。+ si

36、n 2(p=加(Qxx cs。+ Qyy sin 2 (jpQj sm 2夕)(10-5)(10-6)若又有一個(gè)方向S,與O垂直，即(p =P+90=-AZ sin 夕+ :os 華(10-7)就種o =Oxysinp+OyyCos。e-QwsinZ。(10-8)b/go =%Q*+$)0=加(Qxx sm 2 3+ Qn cos ? 5一。珞 sin 25)(W-9)況=可+4.9a =年9月十0/二吠十出(10/0)2,位差的極值方向?qū)?5)式求倒,令其為零da(Qxx cos sin 0+Q年 sin2) = 0 a(p即 一 2。刈 cos 物 sin 孰 + 2gyy sin 伽 c

37、os + 2。制 cos 2)= 0tan 2g=(10-11)爐=AX cos(+90) + AZ sm(900)因?yàn)?tan, 2 =tan(2 g +180)則(10-11)式有兩個(gè)根，一個(gè)為2q，一個(gè)為2我十1800,即有兩個(gè)極值方向，/和仍+90, 一個(gè)為極大值方向，一個(gè)為極小值方 向。由公式(10-6)可看出，當(dāng)如與sin 2州同號(hào)時(shí)，4取得極大值，。；的。取得極小值。由此可得，當(dāng)時(shí)，極大值在1、3象限，(0 v處90，sin 2%,、0,同號(hào))極小值在2、4氟限，(90。仇180,sin 2. 0,異號(hào))反之亦然。用例和0& 180。表示極大值的兩個(gè)方向。用處和笫 180表示極小

38、值的兩個(gè)方向.3、位差的極大值E、極小值F由公式(10-6)得， % cs 共+,山在 + Q.2叫)2,八1 + C0$20 八 1- ccs2za -.八、=% (Qja -+ Qn -+ Qxi sin 2時(shí))乙乙=5 W(Qax + Qyy + 9xk Q) cos 2的 + 2Q型 sin 2林)二，就Qx?+Qyy +2%yGj曰 + sin 2(Pq)2tan 2%1 0 1=00 (Qja + Qn + 2&y 一)2sin 2生C10-12)(10-13)C10-14)=5 K (Qxx + Qn 2。如 Jl + ctM* 2穌)乙因?yàn)?Jl+ctai? 2內(nèi)Y4匿y=-/

39、Q加十(Q理一 Qyy)?,Gat= K2Qxf所以不=；出(呢+的士庫乙M =+(2浮一第一章思考題觀測(cè)條件是由那些因素構(gòu)成的？它與觀測(cè)結(jié)果的質(zhì)量有什么聯(lián)系？觀測(cè)誤差分為哪幾類？它們各自是怎樣定義的？對(duì)觀測(cè)結(jié)果有什么影響？試舉例說明。用鋼尺丈量距離，有下列幾種情況使得結(jié)果產(chǎn)生誤差，試分別判定誤差的性質(zhì)及符號(hào)：（1 ）尺長不準(zhǔn)確；尺不水平；估讀小數(shù)不準(zhǔn)確；尺垂曲；尺端偏離直線方向。1.4 在水準(zhǔn)了中，有下列幾種情況使水準(zhǔn)尺讀書有誤差，試判斷誤差的性質(zhì)及符號(hào)：（1 ）視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)軸不平行；儀器下沉；讀數(shù)不準(zhǔn)確；水準(zhǔn)尺下沉。1.5 何謂多余觀測(cè)？測(cè)量中為什么要進(jìn)行多余觀測(cè)？答案：+”（ 1）系統(tǒng)誤

40、差。當(dāng)尺長大于標(biāo)準(zhǔn)尺長時(shí)，觀測(cè)值小，符號(hào)為“ TOC o 1-5 h z 尺長時(shí)，觀測(cè)值大，符號(hào)為“- ”。（2）系統(tǒng)誤差，符號(hào)為“-”（3）偶然誤差，符號(hào)為“+”或“-”（4）系統(tǒng)誤差，符號(hào)為“-”（5）系統(tǒng)誤差，符號(hào)為“-”（ 1）系統(tǒng)誤差，當(dāng)i 角為正時(shí)，符號(hào)為“- ” ；當(dāng) i 角為負(fù)時(shí)，符號(hào)為“+”（2）系統(tǒng)誤差，符號(hào)為“+”（3）偶然誤差，符號(hào)為“+”或“-”（4）系統(tǒng)誤差，符號(hào)為“- ”第二章思考題2.1 為了鑒定經(jīng)緯儀的精度，對(duì)已知精確測(cè)定的水平角45 0000作 12 次同精度觀測(cè)，結(jié)果為：45 000645 000345 595545 000445 595845 00004

41、5 595945 595945 0006設(shè) a 沒有誤差，試求觀測(cè)值的中誤差。45 000445 595845 0003已知兩段距離的長度及中誤差分別為300.465m 4.5cm 及660.894m 4.5cm， 試說明這兩段距離的真誤差是否相等？他們的精度是否相等？設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了兩組觀測(cè)，他們的真誤差分別為： TOC o 1-5 h z 第一組：3，-3，2，4，-2，-1 ，0，-4， 3，-2第二組：0，-1，-7， 2，1，-1，8，0，-3，1試求兩組觀測(cè)值的平均誤差?1 、?2 和中誤差?1 、?2 ，并比較兩組觀測(cè)值的精度。設(shè)有觀測(cè)向量X21L1L2T，已知?L1=2 秒，?L

42、2=3 秒，?L1L22秒 2 ，試寫出其協(xié)方差陣D 。22 XX2.5 設(shè)有觀測(cè)向量X31L1L2 L3T的協(xié)方差陣D33XX420293 ，試寫出觀測(cè)值03 16L1L2 、L1L3 和L2L3 。L1， L2， L3的中誤差及其協(xié)方差答案：? 3.62它們的真誤差不一定相等，相對(duì)精度不相等，后者高于前者?1=2.4?2=2.4?1=2.7?2 =3.6兩組觀測(cè)值的平均誤差相同，而中誤差不同，由于中誤差對(duì)大的誤差反應(yīng)靈敏，故通常采用中誤差做為衡量精度的的指標(biāo)，本題中?1 S* = hn ； h$= 0.500切，S$ = 2hn ； 友= 0.560搐，S6 = 2km ；e=0.504%

43、= 2.5km ；飽= 1.064必 SQ = 2.5km 如下圖的水準(zhǔn)網(wǎng)中，測(cè)得各點(diǎn)的高差為：瓦=1.357M，尾=2,008演，用=0.35加， 為 二 1.000掰，片二一0.657也，S、= IMi, = lkm,邑二1丘）工=lki,品二29, 設(shè)0=1,試求，（1）平差后A、B兩點(diǎn)間高差的權(quán)：（2）平差后A、C兩點(diǎn)間高差的權(quán)。有水準(zhǔn)網(wǎng)如下圖，測(cè)得各點(diǎn)間高差為小。= 1,2,7）,已算得水準(zhǔn)掰平差后高差的協(xié) 因數(shù)陣為二138-3-1-125813-3-1-12-51-3-312-3-366 =三-I-1-3138-52-I-1-3-813-52226-5-510Y-5 -562-2-

44、410試求，（1）待定點(diǎn)部B、C、D平差后高程的權(quán);（2） C、D兩點(diǎn)間高差平差值的權(quán).如圖的水準(zhǔn)型中，A、B、C為已知點(diǎn)，砥=12.00。搐，砥=12,500團(tuán) / = 14,。00怯 高差觀測(cè)值力1 = 2,500a，防= 2.001加，用=1.352切，兒= 1.851回 吊= lb,另=即 司=29，品=1加，試按條件平差法求高差的平差值方及后點(diǎn)的精度於如圖的水準(zhǔn)網(wǎng)卬，A、B、C、D為待定點(diǎn)，獨(dú)立同精度現(xiàn)測(cè)了 6條路線的高差：4 =1.576羽 9 A2 = 2.215m , %=-3.800物，& =0.8? 1 掰，A5 = -2.438w , 為=-1二旬物,試搜條件平差法求個(gè)高

45、差的平差值第六章思考題某平差問題有12個(gè)同精度觀測(cè)值，必要觀測(cè)數(shù)t = 6，現(xiàn)選取2個(gè)獨(dú)立的參數(shù)參與平差，應(yīng)列出多少個(gè)條件方程？有水準(zhǔn)網(wǎng)如圖，A 為已知點(diǎn)，高程為H A 10.000m ，同精度觀測(cè)了5 條水準(zhǔn)路線，觀測(cè)值為h17.251m，h20.312m，h30.097m，h41.654m，h50.400m，若設(shè)AC 間高差平差值h?AC為參數(shù)X? ，試按附有參數(shù)的條件平差法，（ 1 ）列出條件方程（ 2）列出法方程（ 3）求出待定點(diǎn)C 的最或是高程下圖水準(zhǔn)網(wǎng)中，A 為已知點(diǎn)，P1， P2， P3 為待定點(diǎn)，觀測(cè)了高差h1 h5，觀測(cè)路線長度相等，現(xiàn)選擇P3點(diǎn)的高程平差值為參數(shù)，求P3 點(diǎn)

46、平差后高程的權(quán)。A 為已知點(diǎn)，高程為路線長度為：h1=1.270m,S1=2;h2=-3.380m,S2=2;h3=2.114m,S3=1;h4=1.613m,S4=2;h5=-3.721m,S5=1;h6=2.931m,S6=2;h7=0.782m,S7=2;6.4 下圖水準(zhǔn)網(wǎng)中，HA 10.000m， P1P4為為待定點(diǎn)，觀測(cè)高差及若設(shè) P2 點(diǎn)高程平差值為參數(shù)，求：（ 1）列出條件方程；（ 2）列出法方程；（ 3）求出觀測(cè)值（ 4）平差后單位權(quán)方差及P2點(diǎn)高程平差值中誤差。6.5 如圖測(cè)角網(wǎng)中，A、 B 為已知點(diǎn)，C、 D 為待定點(diǎn)，觀測(cè)了6個(gè)角度，觀測(cè)值為：L1=40 23 58”，。

47、L3=53 49 02”，。L5=31 59 00”，L2=37 11 36”，。L4=57 00 05”。L4=36 25 56”若按附有參數(shù)的條件平差，（ 1）需要設(shè)哪些量為參數(shù)；（ 2）列出條件方程；（ 3）求出觀測(cè)值的改正數(shù)及平差值。思考題參考答案6.2 n=5 t=3 r=2 u=1 c=36.3 n=5 t=3 r=2 u=1 c=3 v1+v4+v5+w1=0v2+v3-v5+w2=0 v1+v2- X? +w3=07.1 如圖閉合水準(zhǔn)網(wǎng)中，A 為已知點(diǎn)，高程為HA 10.000m ， P1， P2為高程未知點(diǎn)，觀測(cè)QX?1，PX?16.4( 1) v1+v2+v3+4=0v3+

48、v4+v5+6=0v5+v6+v7+8=0v1+v7- X? =05114012000v 1124020K14100K265 20K380241K40010K50T044 (mm)L?1.2693.381 2.112 1.609T 3.721 2.935 0.786 (mm)22 4)02 34.7(mm2 )22QX? 0.5， Q X? 17.3(mm ) ，X? 4.2(mm)3)法方程：6.5 ( 1)設(shè)X?ADB,X0 1031006200.0041K10040.2580K2170.0040.2582.990K321000 x?02) v1+v6=0v2+v3+v4+ v5-17”

49、=0-0.955 v1+ 0.220 v2-0.731 v3+0.649 v4-0.396 v5+ 0.959 v6+2”=00K0 4.230.3 Tx?=00.3 4.24.4 44.30.3()L?40 2358.3 371140.2 53 4906.457 000931 5904.336 2555.7第七章思考題 TOC o 1-5 h z h1=1.352m,S1=2km;h2=-0.531m,S2=2km;h3=-0.826m,S3=1km;試用間接平差求各高差的平差值。圖中 A、 B、 C 為已知點(diǎn)，P 為為待定點(diǎn)，網(wǎng)中觀測(cè)了3 條邊長 L1 L 3，起算數(shù)據(jù)及觀測(cè)數(shù)據(jù)均列于表中

50、，現(xiàn)選待定點(diǎn)坐標(biāo)平差值為參數(shù)，其坐標(biāo)近似值為(57578.93m ，點(diǎn)號(hào)坐標(biāo)X / mY / mA60509.59669902.525B58238.93574300.086C51946.28673416.51570998.26m) ，試列出各觀測(cè)邊長的誤差方程式。邊號(hào)L1L2L3觀測(cè)值/ m3128.863367.206129.88下圖水準(zhǔn)網(wǎng)中，A、 B 為已知點(diǎn)P1 P3為待定點(diǎn)，觀測(cè)高差h1 h5，相應(yīng)的路線長度為4 km， 2 km， 2 km， 2 km， 4 km，若已知平差后每千米觀測(cè)高差中誤差的估值為3 mm，試求X? 與 L? ， L?與 V 是否相關(guān)？試證明。P2點(diǎn)平差后高差

51、的中誤差。7.4 在剪接平差中，有水準(zhǔn)網(wǎng)如圖，A、 B、 C、 D 為已知點(diǎn)，P1 、P2為待定點(diǎn)，觀測(cè)高差h1 h5，路線長度為S1 = S2= S5=6 km， S3= 8 km， S4= 4 km，若要求平差后網(wǎng)中最若點(diǎn)高程中誤差5 mm，試估計(jì)該網(wǎng)每千米觀測(cè)高差中誤差為多少？思考題參考答案7.1 h?1 1.356m， h?20.822m， h?30.534m7.20.93670.3502x?P5.22V cm0.19600.98065.563,10.91890.3945y?P6.4727.3?0214，?0 3.747.5 每千米觀測(cè)高差中誤差小于3.3 mm第八章思考題附有限制條件

52、的間接平差中的限制條件與條件平差中的條件方程有何異同？附有限制條件的間接平差法適用于什么樣的情況？解決什么樣的平差問題？在水準(zhǔn)測(cè)量平差中經(jīng)常采用此平差方法嗎？在圖中的大地四邊形中，A、 B 為已知點(diǎn)，C 、 D 為為待定點(diǎn)，現(xiàn)選取L3， L4， L5，L6， L8 的平差值為參數(shù)，記為X?1, X?2 ,X?5，列出誤差方程和條件方程。8.4 如圖水準(zhǔn)網(wǎng)中，A 為已知點(diǎn)，高程為H A10.000m ，觀測(cè)高差及路線長度為：線路h / mS / km12.56312-1.32613-3.88524-3.8832TT若設(shè)參數(shù)X?X?1X?2X?3H?Bh?3h?4，定權(quán)時(shí)C= 2 km，試列出：（

53、 1 ）誤差方程和限制條件（ 2）法方程式 TOC o 1-5 h z 試證明在附有限制條件的間接平差中：（ 1 ） 改正數(shù)向量V 與平差值向量L?互不相關(guān)；（2）聯(lián)系數(shù) K s與未知數(shù)的函數(shù)? f Tx? f0互不相關(guān)。思考題參考答案n=8 t=4 u=5 s=1令 L3， L4， L5， L6， L8 的參數(shù)近似值為Xi01 x?2 x?3 x?5 l1V2x?1 x?2 x?3 l 23x?14x?25x?36x?4V7x?2x?3 x?4 l 78x?5其中常數(shù)項(xiàng)：l1 L1X20 X30 X50l2L2180X10X20X30l7L7180X20X30X40773限制條件：cot X

54、10cotX10X20 x?1cot X10X20cot X40cotX50L7x?4cot X 50L7sin X50 sin X10X20 sin X40Wx0001sin X1 sin X3 sin X5L7（ 1）誤差方程1x?12x?23x?1 x?2 4（mm）4x?3限制條件x?1x?3 2 0i 1,2 5 ，且X?X 0 x? ，誤差方程為：cot X50L7 x?2cot X30 cot X50L7 x?3cot X50 x?5 Wx 0cot X50 L7 L7（ 2）法方程3100 x?141301x?24200 011x?300 110 KS 2S第九章思考題何謂一般

55、條件方程？何謂限制條件方程？它們之間有什么區(qū)別？什么是概括平差函數(shù)模型？指出此模型的主要作用是什么。某平差問題有15 個(gè)同精度觀測(cè)值，必要觀測(cè)數(shù)等于8，現(xiàn)取8 個(gè)參數(shù)，且參數(shù)之間一個(gè)限制條件。若按附有限制條件的的條件平差法進(jìn)行平差，應(yīng)列出多少個(gè)條件方程和限制條件方程？其法方程有幾個(gè)？9.4 概括平差函數(shù)模型的方程數(shù)是否和附有參數(shù)的條件平差的方程數(shù)一樣？其中r、 u、 c 和s 各表示什么量？9.5 在條件平差中，試證明估計(jì)量L?具有無偏性。思考題參考答案8.3 n=15t=8u=8應(yīng)列出 13 個(gè)條件方程，s=22 個(gè)限制條件方程，組成的法方程有15個(gè)。第十章思考題在某測(cè)邊網(wǎng)中，設(shè)待定點(diǎn)P1

56、的坐標(biāo)為未知參數(shù)，即 X?X1 Y1 T ， 平差后得到X?0.25 0.1522的協(xié)因數(shù)陣為Q?，且單位權(quán)方差?023.0cm2，X?X? 0.15 0.75（ 1 ）計(jì)算 P1 點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)中誤差和點(diǎn)位中誤差；（ 2）計(jì)算P1 點(diǎn)誤差橢圓三要素E、 E、 F ；（ 3）計(jì)算P1 點(diǎn)在方位角為90 方向上的位差。如何在 P 點(diǎn)的誤差橢圓圖上，圖解出P 點(diǎn)在任意方向上的位差？10.3某平面控制網(wǎng)經(jīng)平差后求得P1、 P2兩待定點(diǎn)間坐標(biāo)差的協(xié)因數(shù)陣為：Q X? X?Q X? Y?Q Y? X?Q Y? Y?222cm / 單位權(quán)中誤差為?01 ，試求兩點(diǎn)間相對(duì)誤差橢圓的三個(gè)參數(shù)。P 點(diǎn)坐標(biāo)的協(xié)因數(shù)陣為：10.4 已知某三角網(wǎng)中QX?X?2.100.250.