1、模糊聚類分析1模糊矩陣模糊矩陣模糊矩陣間的關(guān)系及并、交、余運算模糊矩陣的合成模糊矩陣的轉(zhuǎn)置模糊矩陣的截矩陣2模糊矩陣 設(shè)R = (rij)mn，若0rij1，則稱R為模糊矩陣. 當(dāng)rij只取0或1時，稱R為布爾(Boole)矩陣. 當(dāng)模糊方陣R = (rij)nn的對角線上的元素rii都為1時，稱R為模糊自反矩陣.3模糊矩陣間的關(guān)系及并、交、余運算 設(shè)A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩陣，定義相等：A = B aij = bij；包含：AB aijbij；并：AB = (aijbij)mn；交：AB = (aijbij)mn；余：Ac = (1- aij)mn.4 設(shè)A = (a

2、ik)ms，B = (bkj)sn，稱模糊矩陣A B = (cij)mn，為A 與B 的合成，其中cij = (aikbkj) | 1ks .模糊方陣的冪 定義：若A為 n 階方陣，定義A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A.模糊矩陣的合成5模糊矩陣的轉(zhuǎn)置 定義 設(shè)A = (aij)mn, 稱AT = (aijT )nm為A的轉(zhuǎn)置矩陣，其中aijT = aji.轉(zhuǎn)置運算的性質(zhì)：性質(zhì)1：( AT )T = A；性質(zhì)2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT；性質(zhì)3：( A B )T = BT AT；( An )T =( AT )n ；性質(zhì)4：( Ac

3、)T = ( AT )c ；性質(zhì)5：AB AT BT .6模糊矩陣的截矩陣 設(shè)A = (aij)mn,對任意的0, 1，稱A= (aij()mn,為模糊矩陣A的 - 截矩陣, 其中 當(dāng)aij 時，aij() =1； 當(dāng)aij 時，aij() =0. 顯然，A的 - 截矩陣為布爾矩陣. 7模糊聚類分析模糊關(guān)系模糊等價矩陣模糊相似矩陣模糊聚類分析的一般步驟8模糊關(guān)系 與模糊子集是經(jīng)典集合的推廣一樣，模糊關(guān)系是普通關(guān)系的推廣. 設(shè)有論域X，Y，X Y 的一個模糊子集 R 稱為從 X 到 Y 的模糊關(guān)系. 模糊子集 R 的隸屬函數(shù)為映射R : X Y 0,1.并稱隸屬度R (x , y ) 為 (x

4、, y )關(guān)于模糊關(guān)系 R 的相關(guān)程度. 特別地，當(dāng) X =Y 時，稱之為 X 上各元素之間的模糊關(guān)系.9模糊關(guān)系的運算 由于模糊關(guān)系 R就是X Y 的一個模糊子集，因此模糊關(guān)系同樣具有模糊子集的運算及性質(zhì).設(shè)R，R1，R2均為從 X 到 Y 的模糊關(guān)系.相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)；包含： R1 R2 R1(x, y)R2(x, y)；并： R1R2 的隸屬函數(shù)為 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)；交： R1R2 的隸屬函數(shù)為(R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)；余：Rc 的隸屬函數(shù)為Rc (x, y)

5、 = 1- R(x, y).10 (R1R2 )(x, y)表示(x, y)對模糊關(guān)系“R1或者R2”的相關(guān)程度， (R1R2 )(x, y)表示(x, y)對模糊關(guān)系“R1且R2”的相關(guān)程度，Rc (x, y)表示(x, y)對模糊關(guān)系“非R”的相關(guān)程度.模糊關(guān)系的矩陣表示 對于有限論域 X = x1, x2, , xm和Y = y1, y2, , yn，則X 到Y(jié) 模糊關(guān)系R可用mn 階模糊矩陣表示，即R = (rij)mn，其中rij = R (xi , yj )0, 1表示(xi , yj )關(guān)于模糊關(guān)系R 的相關(guān)程度. 又若R為布爾矩陣時,則關(guān)系R為普通關(guān)系,即xi 與 yj 之間要

6、么有關(guān)系(rij = 1),要么沒有關(guān)系( rij = 0 ).11模糊關(guān)系的合成 設(shè) R1 是 X 到 Y 的關(guān)系, R2 是 Y 到 Z 的關(guān)系, 則R1與 R2的合成 R1 R2是 X 到 Z 上的一個關(guān)系.(R1 R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY 當(dāng)論域為有限時，模糊關(guān)系的合成化為模糊矩陣的合成. 設(shè)X = x1, x2, , xm,Y = y1 , y2 , , ys, Z= z1, z2, , zn,且X 到Y(jié) 的模糊關(guān)系R1 = (aik)ms ，Y 到Z 的模糊關(guān)系R2 = (bkj)sn ，則X 到Z 的模糊關(guān)系可表示為模糊矩陣的合成：R

7、1 R2 = (cij)mn 其中cij = (aikbkj) | 1ks.12模糊等價矩陣 若模糊關(guān)系R是X上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足： (1)自反性：R(x, x) =1； (2)對稱性：R(x, y) =R(y, x)； (3)傳遞性：R2R, 則稱模糊關(guān)系R是X上的一個模糊等價關(guān)系. 當(dāng)論域X = x1, x2, , xn為有限時, X 上的一個模糊等價關(guān)系R就是模糊等價矩陣, 即R滿足：I R ( rii =1 )RT=R( rij= rji)R2R.R2R ( (rikrkj) | 1kn rij) .13 當(dāng)時, R的分類是R分類的加細(xì).當(dāng)由1變到0時, R的分類由細(xì)變粗,由

8、模糊等價關(guān)系R確定的分類所含元素由少變多,逐步歸并,最后成一類,這個過程形成一個動態(tài)聚類圖,稱之為模糊分類14故R是模糊等價矩陣再令由1降至0,寫出,按分類15 以此類推,可以得到: 10.80.60.50.4 r54321于是,得到動態(tài)聚類圖如右圖所示16模糊相似關(guān)系 若模糊關(guān)系 R 是 X 上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足： (1) 自反性：R( x , x ) = 1； (2) 對稱性：R( x , y ) = R( y , x ) ； 則稱模糊關(guān)系 R 是 X 上的一個模糊相似關(guān)系. 當(dāng)論域X = x1, x2, , xn為有限時，X 上的一個模糊相似關(guān)系 R 就是模糊相似矩陣，即R滿足

9、： (1) 自反性：I R ( rii =1 )； (2) 對稱性：RT = R ( rij = rji ).17模糊相似矩陣的性質(zhì) 定理1 若R 是模糊相似矩陣，則對任意的自然數(shù) k，Rk 也是模糊相似矩陣. 定理2 若R 是n階模糊相似矩陣，則存在一個最小自然數(shù) k (kn )，對于一切大于k 的自然數(shù) l，恒有Rl = Rk，即Rk 是模糊等價矩陣(R2k = Rk ). 此時稱Rk為R的傳遞閉包，記作 t ( R ) = Rk . 上述定理表明，任一個模糊相似矩陣可誘導(dǎo)出一個模糊等價矩陣.平方法求傳遞閉包 t (R)：RR2R4R8R1618模糊聚類分析的一般步驟（1）數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化 設(shè)論

10、域X = x1, x2, , xn為被分類對象,每個對象又由m個指標(biāo)表示其形狀:xi = xi1, xi2, , xim, i = 1, 2, , n于是,得到原始數(shù)據(jù)矩陣為19a 平移 標(biāo)準(zhǔn)差變換其中b 平移 極差變換20(2)建立模糊相似矩陣方法a 相似系數(shù)法 -夾角余弦法21b 相似系數(shù)法 -相關(guān)系數(shù)法其中22c 距離法rij = 1 c d (xi, xj )其中c為適當(dāng)選取的參數(shù).海明距離歐氏距離切比雪夫距離d (xi, xj ) = | xik- xjk | , 1km23（3）聚類（并畫出動態(tài)聚類圖） 從（2）求出的n階模糊相似矩陣R出發(fā)，用平方法求其其傳遞閉包t(R)，它就是將

11、改造成的n階模糊等價矩陣，再讓由大變小，就可形成動態(tài)聚類圖24最佳分類的確定 在模糊聚類分析中，對于各個不同的0,1，可得到不同的分類，從而形成一種動態(tài)聚類圖，這對全面了解樣本分類情況是比較形象和直觀的. 但在許多實際問題中，需要給出樣本的一個具體分類，這就提出了如何確定最佳分類的問題.25稱為總體樣本的中心向量.對應(yīng)于 值的分類數(shù)為r第 j 類的樣本數(shù)為nj，第 j 類的樣本標(biāo)記為第 j 類樣本的中心向量為26作F- 統(tǒng)計量：27 如果滿足不等式FF ( r -1, n -r )的F值不止一個，則可根據(jù)實際情況選擇一個滿意的分類，或者進一步考查差 ( F - F )/F 的大小，從較大者中找

12、一個滿意的F值即可. 實際上，最佳分類的確定方法與聚類方法無關(guān)，但是選擇較好的聚類方法，可以較快地找到比較滿意的分類. 由于F服從自由度r-1,n-r為的F分布，其分子表示類與類之間的距離，分母表示類本身的距離，那么F的值越大，則說明類與類之間的距離越大，即分類的結(jié)果越好28建模實例蜢的分類DNA序列分類29蠓的分類 左圖給出了9只Af和6只Apf蠓的觸角長和翼長數(shù)據(jù), 其中“”表示Apf,“”表示Af.根據(jù)觸角長和翼長來識別一個標(biāo)本是Af還是Apf是重要的. 給定一只Af族或Apf族的蠓,如何正確地區(qū)分它屬于哪一族？ 將你的方法用于觸角長和翼長分別為(1.24,1.80), (1.28,1.

13、84),(1.40,2.04)三個標(biāo)本.3031模糊判別方法 先將已知蠓重新進行分類.32 當(dāng) = 0.919時,分為3類1, 2, 3, 6, 4, 5, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15,三類的中心向量分別為(1.395, 1.770),(1.560, 2.080),(1.227, 1.927).用平移極差變換將它們分別變?yōu)锳1 = (0.200, 0.637) (Af 蠓),A2 = (0.390, 1.000) (Af 蠓),A3 = (0.000, 0.821) (Apf 蠓),再將三只待識別的蠓用上述變換分別變?yōu)锽1= (0.015, 0.672),B2

14、 = (0.062, 0.719),B3 = (0.203, 0.953 ).33采用貼近度3 (A, B) =計算得：3(A1, B1) = 0. 89, 3(A2, B1) = 0.65, 3(A3, B1) = 0.92.3(A1, B2) = 0.89, 3(A2, B2) = 0.69, 3(A3, B2) = 0.92. 3(A1, B3) = 0.84, 3(A2, B3) = 0.88, 3(A3, B3) = 0.83. 根據(jù)擇近原則及上述計算結(jié)果,第一只待識別的蠓(1.24, 1.80)屬于第三類,即Apf 蠓；第二只待識別的蠓(1.28, 1.84)屬于第三類,即Apf

15、蠓；第三只待識別的蠓(1.40, 2.04)屬于第二類,即Af 蠓.34 設(shè)Af是傳粉益蟲, Apf是某種疾病的載體, 是否應(yīng)修改你的分類方法？若需修改, 為什么？35DNA序列分類與模糊識別 2000網(wǎng)易杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題：生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)DNA序列是由四種堿基A,T,C,G按一定順序排列而成,其中既沒有“斷句”,也沒有標(biāo)點符號,同時也發(fā)現(xiàn)DNA序列的某些片段具有一定的規(guī)律性和結(jié)構(gòu). 由此人工制造兩類序列(A類編號為110；B類編號為1120). 網(wǎng)址：. 現(xiàn)在的問題是如何找出比較滿意的方法來識別未知的序列(編號為2140), 并判斷它們那些屬于A類,那些屬于B類, 那些既不屬于A類又不屬于B類.36(1) 已知類別DNA序列的模糊分類 提取已知類別的20個DNA序列的A,T,C,G的百分含量構(gòu)成如下矩陣：X = (xij)204,其中xi1, xi2, xi3, xi4分別表示第個DNA系列中的A,T,C,G的百分含量. 采用切比雪夫距離法建立模糊相似矩陣