1、 /6下載文檔可編輯第二章單自由度系統(tǒng)的自由振動本章以阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為模型，討論單自由度系統(tǒng)的自由振動。2-1無阻尼系統(tǒng)的自由振動無阻尼單自由度系統(tǒng)的動力學(xué)模型如圖1.1所示。設(shè)質(zhì)量為m,單位是kg。彈簧剛度為K,單位是N/m,即彈簧單位變形所需的外力。彈簧在自由狀態(tài)位置如圖中虛線所示。當(dāng)聯(lián)接質(zhì)量塊后，彈簧受重力W=mg作用而產(chǎn)生拉伸變形:,同時(shí)也產(chǎn)生彈簧恢復(fù)力K，當(dāng)其等于重力W時(shí)，則處于靜平衡位置，即W=K若系統(tǒng)受到外界某種初始干擾，使系一自由度彈簧一質(zhì)量系統(tǒng)統(tǒng)靜平衡狀態(tài)遭到破壞.則彈簧力不等于重力，這種不平衡的彈性恢復(fù)力，便使系統(tǒng)產(chǎn)生自由振動。首先建立座標(biāo),未掛質(zhì)量位m靜平衡位置為簡便起

2、見，可選靜平衡位置為座標(biāo)原點(diǎn),W二mg二kA建立鉛垂方向的座標(biāo)X,從原點(diǎn)算起，向k(A+x)下為正，向上為負(fù)，表示振動過程中質(zhì)量mx工F=W-k(A塊的位置?，F(xiàn)設(shè)質(zhì)量m向下運(yùn)動到x,此時(shí)彈簧恢復(fù)力為(+x)，顯然大于重力W,由于力不平衡，質(zhì)量塊在合力作用下，將產(chǎn)生加速度運(yùn)動，故可按牛頓運(yùn)動定律(作用于個(gè)質(zhì)點(diǎn)上所有力的合力，等于該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和沿合力方向的加速度的乘積)，建立運(yùn)動方程,取與X正方向一致的力、加速度、速度為正,可列如下方程改與為mx+kx=0(1-1-1p2=土m單自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動運(yùn)動方程為(1-1-2)(1-1-3)設(shè)方程的特解為x=est將上式代入(1-1-3)處特征方程

3、及特征根為S2+p2=0s=土ip1,2則(1-1-3)的通解為x=Ceipt+Ce-iptii=Ccospt+Dsinpt(1T-4)C、D為任意積分常數(shù)，由運(yùn)動的初始條件確定，設(shè)t=0時(shí)(1-1-5)貝Ux=xcospt+Lsinpt0p(1-1-6)經(jīng)三角變換，又可表示為x=Asin(pt+a)(1-1-7),a=tg-1px(1-1-8)x0自由振動的振幅A和初相位角與系統(tǒng)的參數(shù)和初始條件有關(guān)。其中A=,x2+0系統(tǒng)的振動周期t=牛叭m秒(s)系統(tǒng)振動的頻率為f二1=-=丄g(kA=mg)秒T(S-i)或(Hz)nT2兀m2kA系統(tǒng)振動的圓頻率為p=2對=蘭弧度/秒(rad/s)mnT

4、2-2能量法系統(tǒng)的動能T與勢能U之和稱為系統(tǒng)的機(jī)械能。在沒有阻尼的情形下，系統(tǒng)沒有能量損失，機(jī)械能將守恒，即T+U二常量（2-2-1）因而有_（T+U）=0（2-2-2）dt應(yīng)用上二式好可得到系統(tǒng)的運(yùn)動方程和固有頻率。設(shè)物體按x二Asin（+）的規(guī)律作諧振動。取平衡位置為零勢n能點(diǎn)，物體在任意位置X時(shí)的動能T和勢能U分別為T=x2,U=-x222將上二式代入（1-2-2）可得系統(tǒng)運(yùn)動方程。當(dāng)物體運(yùn)動經(jīng)過平衡位置x=0時(shí)，動能達(dá)最大值T=丄mp2A2max2當(dāng)物體位移最大時(shí)，即X二A，T=0，U達(dá)最大值U=1-A2max2因此T=Umaxmax(2-2-3)即m2A2=kA22n2得k:kP2=

5、,P=mm2-3阻尼系統(tǒng)的自由振動實(shí)際系統(tǒng)中阻尼總是存在的，它不斷消耗系統(tǒng)的能量，使運(yùn)動逐漸減弱，直至振動完全消失。阻尼產(chǎn)生的根源有多種，不同的來源產(chǎn)生的阻尼力其變化規(guī)律也不相同。常見是一種粘性阻尼，其阻尼力與物體運(yùn)動速度大小成正比,方向與速度方向相反，即F=cvR其是c稱為粘性阻尼系數(shù)，v為物體的運(yùn)動速度。粘性阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動方程:mx+cx+kx二0(2-3-1)令-=p2,-=2pmm(1-3-1)運(yùn)動方程化為(2-3-2)(2-3-3)設(shè)特解x=est得特征方程及特征根s2+2ps+p2=0,s二(一匚匚21)p1,2方程(1-3-3)的通解x=Cesjt+Ces2t12(2-3-4)(

6、2-3-5)或x=Cesi2=(+2i)p+Cesi2=(-、2i)p1525阻尼討論：(2-3-6)1.1,大阻尼情形由于S、s均為負(fù)實(shí)數(shù)，運(yùn)動解X將按指數(shù)規(guī)律減小，并趨于平12衡位置。2.=1,臨界阻尼情形特征方程有重根s=s=-p，方程的通解為12x=(C+Dt)e-p(237)系統(tǒng)受初始干擾離開平衡位置后又逐漸回到平衡位置，運(yùn)動不明往復(fù)性的。3.1,小阻尼情形特征方程的根為共軛復(fù)數(shù)s=（-匚土22）p1,2“(2-3-8)運(yùn)動解x=e-5(Ccosqt+Dsinqt)(2-3-9)其中q=丫1-匚2pC、D由運(yùn)動的初始條件確定。當(dāng)t=0時(shí)，x二x,x二x0（(2-3-10)則C二x,D二px00q運(yùn)動解也可表示為x=Ae-tsin(qt+a)(2-3-11)其中A=，x2+02qx,a=tg-1片x+Lpx00(2-3-12)由于系統(tǒng)的運(yùn)動的幅度是逐漸減弱的，被稱為衰減振動。衰減振動不是周期性運(yùn)動。但運(yùn)動通過平衡位置的間隔時(shí)間是相同的。物體通過平衡位置的時(shí)間間隔為1q（1-匚2p（1-匚2稱為衰減振動的周期。衰減振動任意兩個(gè)相