1、相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、探索相似三角形的性質(zhì)，能運用性質(zhì)進行有關(guān)計算；2、通過典型實例認識現(xiàn)實生活中物體的相似，能運用圖形相似的知識解決一些簡單的實 TOC o 1-5 h z 際問題（如何把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題）【要點梳理】要點一、相似三角形的性質(zhì).相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.相似三角形周長的比等于相似比AB BC CA由比例性質(zhì)可得:.相似三角形面積的比等于相似比的平方as bc則 =f f h 分別作出 MB。與1cM 的高 AD TOC o 1-5 h z rCC

2、W1八1 八BC ADk BC k AD和或。，則旦空j-2 y=k211SAABC -BC AD -BC AD影子測量法手臂測量法標(biāo)桿測量法要點詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的要點二、相似三角形的應(yīng)用.測量高度測量不能到達頂部的物體的高度，通常使用“在同一時刻物高與影長的比例相等”的 原理解決.要點詮釋：測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法.測量距離測量不能直接到達的兩點間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。根據(jù)相似三.如甲圖所示，通常可先測量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長度），角形的性質(zhì)，求出AB的長.AB的長.E JC要點詮釋：1 .比例尺：表示圖上距離比實

3、地距離縮小的程度，比例尺圖上距離/實際距離;.太陽離我們非常遙遠，因此可以把太近似看成平行光線.在同一時刻，兩物體影子之比等于其對應(yīng)高的比.視點：觀察事物的著眼點（一般指觀察者眼睛的位置）；.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時，視線與水平方向的夾角.【典型例題】類型一、相似三角形的性質(zhì).ABCsDEF,若4ABC 的邊長分別為 5cm、6cm、7cm ,而 4cm 是 DEF 中一邊的長度，你能求出 DEF的另外兩邊的長度嗎？試說明理由 【答案】設(shè)另兩邊長是 xcm , ycm ,且 xv y.（1）當(dāng)4 DEF中長4cm線段與 ABC中長5cm線段是對應(yīng)邊時,從而 x=cm,y=cm.（2）當(dāng)

4、4 DEF中長4cm線段與 ABC中長6cm線段是對應(yīng)邊時,從而 x= cm , y= cm.（3）當(dāng) DEF中長4cm線段與 ABC中長7cm線段是對應(yīng)邊時,5 6 72024從而 x= - cm , y= cm.綜上所述， def的另外兩邊的長度應(yīng)是2428cm,- cm 或 cm, cm55332Q24或萬cm ,- cm三種可能.如圖所示，已知 ABC中，AD是高，矩形EFGH接于 ABC中，且長邊 FG在BC.如乙圖所示，可先測 AC、DC及DE的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算上，矩形相鄰兩邊的比為1: 2,若BC=30cm , AD=10cm.求矩形EFGH的面積.【答案】: 四邊

5、形EFGH是矩形， EH/ BC, AAEHA ABC.AD BC, ADXEH, MD=EF.矩形兩鄰邊之比為 1: 2,設(shè) EF=xcm,貝U EH=2xcm.由相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，得10 一五2五 =1030，2clM - 300 30a ,.三二二.EF=6cm, EH=12cm.冷越防OF = 6父12 = 7 2仁陽）舉一反三1、如圖，在 A4EC 和 5總尸中，AB = 2DE , AC = 2口四,上且=/D , bABC24,面積是48,求也口上?1的周長和面積.【答案】在和ADEF中，.AB = 2DE, /C= 2管尸.DE.AB AC 2又: _=一上.4口

6、豌s AABC ,相似比為；.1. 人口宜產(chǎn)的周長為;k24=12 ,發(fā)?產(chǎn)的面積是 （；）口/4s = 12.的周長是甲地圖與2、有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比例尺分別為 1 ： 200和1 ： 500,求: 乙地圖的相似比和面積比.【答案】設(shè)原地塊為 ABC,地塊在甲圖上為 A1B1C1,在乙圖上為 A2B2c2. ABCs A舊1C1 s A2B2c2且幽_二工 J 200 AB 500AAA 耳 AB 500 5 , &與 AB 4 禺 200 23二,3、如圖，直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6、8,按如圖那樣折疊，使點 A與點B重合，折痕為 DE,則SaBCE： Sabde等于

7、（）A. 2: 5B. 14:25C. 16:25 D, 4:21C【答案】B.【解析】由已知可得 AB=10 , AD=BD=5 ,設(shè)AE=BE=x,貝U CE=8-x,在 RtA BCE 中,x2-(8-x) 2=62,x=,4Sabce： Sabde= (64-25-25 ): 25=14:25 ,所以選 B.4、在銳角 ABC中，AD,CE分另1J為 BC,AB邊上的高，ABC和 BDE的面積分別等于 18 和2, DE=2,求AC邊上的高.【答案】過點B做BF, AC,垂足為點F,AD,CE分另I為BC,AB邊上的高,.Z ADB= ZCEB=90 ,又. / B=Z B, RtAA

8、DBRtACEB,BD AB 門口 BD BE，即, BE CB AB CB且/ B=Z B, . EBDACBA, TOC o 1-5 h z .SabedDE 221.一,SabcaAC 18 9.DE 1一 一,AC 3又 DE=2,AC=6 ,1 Saabc 2AC BF 18, bf=6.5、已知：如圖，在 ABC與ACAD中，DA/ BC, CD與AB相交于E點,且AE：EB=1：2, EF/ BC交AC于F點， ADE的面積為1 ,求 BCE和 AEF的面積.【答案】 DA / BC,ADEA BCE.-.Saade：Sbce=AE2：BE. AE ： BE=1:2,Saade：

9、Sabce=1：4 .Saade=1 ,.1. Sabce=4 . Saabc：sbce=aB:BE=3:2 ,Sabc=6 . EF/ BC, AEFs ABC. AE:AB=1:3,/.Saaef：Sabc=AE2：AB2=1:9 ./. Saef=-=-.9 36、如圖，已知中，座=5 , EC =3 , AC= 4 , P0 AB，點F在胃口上, 點a e不重合），（2點在bc上.（1）當(dāng)“戶口仃的面積與四邊形尸必方口的面積相等時，求CF的長.（2）當(dāng)A戶QC的周長與四邊形產(chǎn)乂刀口的周長相等時，求CF的長.C: ，/ PQHABCP _-j2 CA（2）-AP（2C的周長與四邊形 凡4

10、WQ的周長相等. .CPCQ = PAABBQ.CP+ C：6）=-AO+ BC;四=6 ,J,. PQH AB好聞 s A4cBCP _CQ75 CTCP CPCQCAC+BC,CP 6 =47-.7類型二、相似三角形的應(yīng)用法？.如圖，我們想要測量河兩岸相對應(yīng)兩點A、B之間的距離（即河寬），你有什么方n【答案】如上圖，先從 B點出發(fā)與AB成90角方向走50m到O處立一標(biāo)桿，然后方 向不變，繼續(xù)向前走 10m到C處，在C處轉(zhuǎn)90 ,沿CD方向再走17m到達D處, 使得A、O、D在同一條直線上.那么 A、B之間的距離是多少？ ABXBC, CDXBC / ABO= / DCO=90 又 / AO

11、B= / DOC. AOBA DOC.AB _ BQ DCCO BO=50m , CO=10m , CD=17mAB=85m即河寬為85m .如圖：小明欲測量一座古塔的高度， 他站在該塔的影子上前后移動，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時他距離該塔18 m,已知小明的身高是 1.6m ,他的影長是2 m .(1)圖中 ABC與 ADE是否相似？為什么？(2)求古塔的高度.【答案】(1) ABCs ADE.BC AE, DEXAE, . / ACB= / AED=90. /A=/A, ABCA ADE(2)由(1)得4 ABCs ADE上C BC AR DE. AC=2m , A

12、E=2+18=20m , BC=1.6m ,21.6, 一 20 DE .DE=16m即古塔的高度為16m。舉一反三1、小明把一個排球打在離他2米遠的地上，排球反彈后碰到墻上，如果他跳起來擊排球時的高度是1.8米，排球落地點離墻的距離是 7米，假設(shè)排球一直沿直線運動，那么排球 能碰到墻上離地多高的地方？【答案】4）A pC如圖，: AB=1.8 米，AP=2 米，PC=7 米，作 PQXAC,根據(jù)物理學(xué)原理知/ BPQ= / QPD,則/ APB= / CPD,/ BAP= / DCP=90 ,ABPsCDP,AB AP,DC PCDC 7DC=6.3 米.即球能碰到墻上離地 6.3米高的地方

13、.2、在斜坡的頂部有一鐵塔 AB, B是CD的中點，CD是水平的，在的照射下，塔影 DE留在 坡面上。已知鐵塔底座寬CD=12m ,塔影長DE=18m，小明和小華的身高都是 1.6m,同一時刻，小明站在點 E處，影子在坡面上，小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長分 別為2m和1m ,那么塔高 AB為（）A.24mB.22mC.20mD.18m【答案】 A.【解析】過點 D做DN XCD交光線AE于點N,則DN- 0.8,DN=14.4 , DE 2又. AM:MN=1.6:1 ,AM=1.6MN=1.6BD=1.6 X6=9.6 塔高 AB=AM+DN=14.4+9.6=24,所以選 A

14、.3、已知：如圖，通過窗口照射到室，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=1.2m ,窗口高AB=1.8m ,求窗口底邊離地面的高度BC.【答案】作 EFL DC交AD于F. AD / BE,zLFDE = ABEC又 ZDEF = zLECB = 900 ,. AB/EF, AD / BE,四邊形ABEF是平行四邊形,EF=AB=1.8m.1.5m.【鞏固練習(xí)一】一、選擇題.如圖1所示， ABC中DE/ BC,若AD : DB=1 ： 2,則下列結(jié)論中正確的是 （）A.AADE的周長1 B.的周長 2AAt道的周長_ L AASC的周長二百（圖2）（圖1）.如圖 2

15、,在 ABC 中,D、E兩點分別在 AB、AC 邊上,DE/ BC.若 AD:DB = 2:1,貝U SaadeSa abc 為（）A. 9:4 B. 4:9 C. 1:4 D. 3:2.某校有兩塊相似的多邊形草坪，其面積比為 9 : 4,其中一塊草坪的周長是36米，則另一塊草坪的周長是（）.A. 24米B. 54米 C. 24米或54米 D. 36米或54米.圖為 ABC與 DEC重疊的情形，其中 E在BC上，AC交DE于F點，且 AB/ DE若 ABC 與 DEC 的面積相等，且 EF=9, AB=12 ,則 DF=（ ）A. 3 B. 7C. 12 D. 15C.如圖是小明設(shè)計用手電來測

16、量某古城墻高度的示意圖，點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知ABXBD, CDXBD,且測得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么該古城墻的高度是（）A. 6 米 B. 8 米C. 18 米 D. 24 米.要把一個三角形的面積擴大到原來面積的8倍，而它的形狀不變，那么它的邊長要增大到原來的（）倍.A.2B.4C.2JD.64二、填空題.如圖所示，為了測量一棵樹 AB的高度，測量者在 D點立一高CD=2m的標(biāo)桿，現(xiàn)測 量者從E處可以看到桿頂 C與樹頂A在同一條直線上，如果測得 BD=20m, FD=4m, EF= 1.8m,則樹

17、AB的高度為 m.已知兩個相似三角形的相似比為2:3 ,面積之差為 25cm2 ,則較大三角形的面積為-V.如圖，小明為了測量一座樓 MN的高，在離點 N為20m的A處放了一個平面鏡，小 明沿NA后退到點C,正好從鏡中看到樓頂 M,若AC= 1.5m,小明的眼睛離地面的高度 為1.6m,請你幫助小明計算一下樓房的高度是 （精確到0.1m）.梯形 ABCD 中，AD / BC,AC, BD 交于點 O 若 Saaod =4 , Saboc =9 , Swabcd=.如圖，在平行四邊形 ABCD中，點E為CD上一點，DE:CE=2:3,連接AE,BE,BD且AE,BD交于點F,則 SADEF :

18、SABEF : SA BAF ,，一,一一一一 1一,.把一個三角形改做成和它相似的三角形，如果面積縮小到原來的一倍，那么邊長應(yīng)縮小2到原來的傍.三、解答題. 一位同學(xué)想利用樹影測量樹高，他在某一時刻測得長為1m的竹竿影長0.9m,但當(dāng)他馬上測量樹影時，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上，如圖，他先測得留在墻上的影高1.2m,又測得地面部分的影長 2.7m,他求得樹高是多少？D14.15.在正方形ABC口中，戶是CD上一動點，(與CQ不重合)，使XBPE為直角，P交 正方形一邊所在直線于點豆.(1)找出與相似的三角形.(2)當(dāng)F位于CD的中點時，與防PC相似的三角形周長

19、為 點,則皮尸口的周長為多 少？【答案與解析】一.選擇題.【答案】D .【解析】提示：相似比為 1:3.【答案】B.【解析】提示：面積比等于相似比的平方.【答案】C.【答案】B.【答案】B.【解析】提示：入射角等于反射角，所以ABPs CDP.【答案】C.【解析】提示：面積比等于相似比的平方.二.填空題.【答案】.【答案】.【答案】.【答案】【解析】= 2:3,3.45cm 2.21.3m .25.AD/ BC, AODACOB, .AO 2CO&AOD 4SABOC9AO:CO又丁 &AODSA DOCAOOCS梯形ABCDSA COD6，又SA CODSAAOB ，11.【答案】【解析】4

20、:10:25平行四邊形ABCD,DEFs BAF/. &DEFS*A AEBDEAB2DE:EC=2:3,DE:DC=2:5，即DE:AB=2:5,SA DEF.DEF與 BEF是同局的二角形,SA BAFS/XDEF2SABEF510.【答案】三.綜合題.【解析】作 CE/ DA交AB于E,設(shè)樹高是 xm,長為1m的竹竿影長0.9mx 1.2 - 0.92.7即 x= 4.2m14.【解析】(1)如圖1所示，CP為視線，點C為所求位置.(2) AB / PQ, MN，AB 于 M , / CMD = / PND=90 .又 /CDM = /PDN,ACDMA PDN,CM DMPN dnMN

21、 = 30m, MD = 12m ,ND = 18m .cm 12前18CM = 24(m).點C到勝利街口的距離 CM為24m .15 【解析】時,S M C /與 BPC相似的圖形可以是圖（1）, （2）兩種情況： PDEA BCP, PCEs BCP, BP& BCP.（2）如圖（1）,當(dāng)點P位于CD的中點時，若另一直角邊與皿PD 1貝U BC 2APDE BCP4PDE與 BCP的周長比是 1:2 BCP的周長是 2a.如圖（2）,當(dāng)點P位于CD的中點時，若另一直角邊與AD交于點E,BC延長線交于點E皿PC 1BC 2 APCE BCP 4PCE與 BCP的周長比是 1:2 BCP的周

22、長是 2a.BC延長線交于點E如圖（2）,當(dāng)點P位于CD的中點時，若另一直角邊與時,BP _5BC 2 BP BCP BPE與 BCP的周長比是 而:2,【鞏固練習(xí)二】一、選擇題.如果一個直角三角形的兩條邊長分別是是3和4及x,那么x的值（）A.只有1個 B,可以有2個6和8,另一個與它相似的直角三角形邊長分別C.有2個以上，但有限D(zhuǎn).有無數(shù)個.若平行四邊形 ABCD中，AB=10, AD=6, E是AD的中點，在 AB上取一點F,使 CBF s* CDE,則BF的長為（）.A. 1.8 B. 5C. 6 或 4 D. 8 或 2.如 圖，已知D、 E分別是的AB、 AC邊上的點，DE/fBC

23、,且A. 1: 9 B. 1: 3.如圖G是 ABC的重心，直線上過A點與BC平行.若直線CG分別與AB、上交于D、E兩點，直線 BG與AC交于F點，則 AED的面積：四邊形ADGF的面積=（）A. 1 : 2 B, 2: 1C. 2: 3 D. 3: 2.如圖，將 ABC的高AD四等分，過每一個分點作底邊的平行線，把三角形的面積分 成四部分 3、&、$、則S ： S ： S ： S4等于（）A.1 ： 2 ： 3 ： 4B.2 ： 3 ： 4 ： 5C.1 ： 3 ： 5 ： 7D.3 ： 5 ： 7 ： 9.如圖，在 DABCD 中，E 為 CD 上一點，DE: CE=2BD交于點F,則小

24、DEF： Saebf： Saabf 等于()A.4: 10: 25B.4: 9: 25C.2: 3: 53,連結(jié)D.2:AE、BE BD,且 AE、25二、填空題.如圖，梯形 ABCD中，AB/CD,AC、BD相交于點 E,12,SZDECSa aeb.如圖， ABC 中，點 D 在邊 AB 上，滿足 / ADC= / ACB若 AC=2 , AD=1 ,則 DB=.如圖，在 PAB中，M、N是AB上兩點，且 PMN是等邊三角形， BPMA PAN,則 / APB的度數(shù)是.如圖， ABC 中，DE/ BC,BE,CD 交于點 F,且 gAEFC=3 gAEFD ,則 gAADE :S AABC

25、=11.如圖，丁軒同學(xué)在晚上由路燈 AC走向路燈BD,當(dāng)他走到點P時，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂 部剛好接觸到路燈 AC的底部，當(dāng)他向前再步行 20m到達Q點時，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈 BD的底部，已知丁軒同學(xué)的身高是1.5m,兩個路燈的高度都是 9m,則兩于 18 和 2, DE=2 ,則AC邊上的高為三、解答題.為了測量圖（1）和圖（2）中的樹高，在同一時刻某人進行了如下操作：圖（1）:測得竹竿CD的長為0.8米，其影CE長1米，樹影AE長2.4米.圖（2）:測得落在地面的樹影長2.8米，落在墻上的樹影高 1.2米，請問圖（1）和圖（2）中的樹高各是多少?. (1)閱讀下列材料，補全證

26、明過程：已知：如圖，矩形 ABCD中，AC、BD相交于點 O, OE，BC于E,連結(jié)DE交OC于點 F,作FGLBC于G.求證：點 G是線段BC的一個三等分點.證明：在矩形 ABCD中，OEBC, DCXBC,- 0E 1 EF OS 1 EF 1OE” DC. - = , -= = . - =一DC 2 FE) DC 2 ED 3(2)請你仿照(1)的畫法，在原圖上畫出BC的一個四等分點(要求保留畫圖痕跡，可不寫畫法及證明過程)15.已知如圖，在矩形 ABCD中，AB=12cm , BC=6cm，點E自A點出發(fā)，以每秒 1cm的 速度向D點前進，同時點F從D點以每秒2cm的速度向C點前進，若

27、移動的時間為 t, 且 0wtw6.(1)當(dāng)t為多少時，DE=2DF;(2)四邊形DEBF的面積是否為定值？若是定值，請求出定值；若不是定值，請說明理 由.(3)以點D、E、F為頂點的三角形能否與 BCD相似？若能，請求出所有可能的t的值； 若不能，請說明理由.【答案與解析】-.選擇題1.B.【解析】x可能是斜邊，也可能是直角邊2.A.3.4.B.D.5.C.本題要求運用相似三角形的面積比等于相似比的平方。由A.【解析】一 一.de ABCD 中，AB/ DC, ADEFs ABF,=ABDF _2二、填空題【解析】為 AB/ab（DEF與 EBF等高，面積比等于對應(yīng)底邊的比），所以答案選 A

28、.S/XDECSAECBCD,1，且 DEC與4CEB是同高不同底的兩個三角形,DE 1即匹.因EB 2一一.一一,SADEC所以 DECs BEA所以SAAEB2DEEB.【答案】3.【解析】 Z ADC= / ACB ,DAC= /BAC, ACD s ABC,AC ADAC2 22,AB= - 4,AB ACAD1BD=AB-AD=4-1=3.【答案】120.【解析】 ABPMAPAN,/BPM = /A, PMN 是等邊三角形，/A+/APN = 60 ,即/APN+/ BPM = 60 , ZAPB=Z BPM+ / MPN+ ZAPN = 60 +60 =120 .【答案】1:9【解析】 SA efc =3 Saefd ,FC:DF=3:1,又 DE/ BC/. BFCs EFD,即 BC:DE=FC:FD=3:1 ,由ADEsABC,即 Saade : Saabc=1：9.【答