1、第16講 面積定值問題一、解答題 1已知橢圓的離心率e滿足，右頂點為A，上頂點為B，點C(0，2)，過點C作一條與y軸不重合的直線l，直線l交橢圓E于P，Q兩點，直線BP，BQ分別交x軸于點M，N；當直線l經(jīng)過點A時，l的斜率為(1)求橢圓E的方程；(2)證明：為定值【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由得，從而可得，又有，可得，從而可求出橢圓E的方程；（2）由題知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線與橢圓的方程得韋達定理，且=，得，寫出直線BP的方程，求得，同理可得，化簡求得=為定值【詳解】解：（1）由解得或（舍去），又，又，橢圓E的方程為；（2）由題知，直線的斜率存在，設(shè)直線的

2、方程為，設(shè)，由得，=，=，直線BP的方程為，令解得，則，同理可得，=，為定值【點睛】本題主要考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系中的定值問題，屬于中檔題2已知橢圓C：1（ab0）的離心率為，O是坐標原點，點A，B分別為橢圓C的左右頂點，|AB|4（1）求橢圓C的標準方程（2）若P是橢圓C上異于A，B的一點，直線l交橢圓C于M，N兩點，APOM，BPON，則OMN的面積是否為定值？若是，求出定值，若不是，請說明理由【答案】（1）1；（2）是，定值2【分析】由題知,由及的關(guān)系即可求解;由題意可得A（2，0），B（2，0），設(shè)P（x0，y0）則x02+2y028，可得,分直線l的斜率存在

3、和不存在兩種情況分別求OMN的面積即可.【詳解】由2a4，e，解得a2，c2，b2a2c24，則橢圓的方程為1；（2）由題意可得A（2，0），B（2，0），設(shè)P（x0，y0），可得1，即x02+2y028，則，因為APOM,BPON，則，當直線l的斜率不存在時，設(shè)l：xm，聯(lián)立橢圓方程可得y，所以,由,可得，解得m2，所以,所以SMNO222；當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l：ykx+n，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立直線ykx+n和x2+2y28，可得（1+2k2）x2+4knx+2n280，可得x1+x2，x1x2，y1y2（kx1+n）（kx2+n）k2x1x2+kn（x1+x2

4、）+n2，由k2，可得n22+4k2，由弦長公式可得,|MN|，點（0，0）到直線l的距離為，所以SOMNd|MN|2，綜上可知,OMN的面積為定值2【點睛】本題考查橢圓標準方程和直線與橢圓的位置關(guān)系及弦長公式;考查分類討論思想和運算求解能力;分直線l的斜率存在和不存在兩種情況分別求OMN的面積是求解本題的關(guān)鍵,亦是易錯點;屬于中檔題、?？碱}型.3已知橢圓C：（）的離心率為，直線與橢圓C有且只有一個公共點（1）求橢圓C的標準方程（2）設(shè)點，P為橢圓C上一點，且直線與的斜率乘積為，點M，N是橢圓C上不同于A，B的兩點，且滿足，求證：的面積為定值【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）將直線

5、代入橢圓方程因為相切故判斷式為零，再結(jié)合離心率即可求得方程；（2）設(shè)直線的方程為代入橢圓方程，結(jié)合韋達定理和與的斜率乘積為，計算整理即可證明問題.【詳解】解：（1）直線與橢圓有且只有一個公共點，直線與橢圓C：（）相切，又，橢圓C的方程為（2）證明：由題意M、N是橢圓C上不同于A，B的兩點，由題意知，直線，斜率存在且不為0，又由已知由，所以設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得設(shè)，則，又得所以即的面積為定值【點睛】求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值4如圖，橢圓C：的離心率，橢圓C的左、右頂點分別為

6、A，B，又P，M，N為橢圓C上非頂點的三點設(shè)直線，的斜率分別為，（1）求橢圓C的方程，并求的值；（2）若，判斷的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由【答案】（1）橢圓C：，；（2）的面積為定值【分析】（1）求出橢圓的方程，再設(shè)代入斜率公式，即可得答案；（2）設(shè)直線的方程為（），設(shè)，根據(jù)，可得，再利用韋達定理化簡得到的關(guān)系，求出三角形的底和高，代入面積公式，即可得答案；【詳解】解（1）由題意得，又，所以，即橢圓C：設(shè)，則，又，則（2）設(shè)直線的方程為（），設(shè)，由（1）知：，即，又又O到直線的距離，所以綜上的面積為定值【點睛】第一問的本質(zhì)是橢圓的第三次定義；第二問探究是否為定

7、值的思路：設(shè)直線的方程、設(shè)，的坐標，利用韋達定理得到變量間的關(guān)系，再把三角形的面積表達式求出，變量間的關(guān)系代入，求得定值.5如圖，、 為橢圓的左、右焦點， 、是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率 ，若 在橢圓上，則點 稱為點的一個“好點”直線 與橢圓交于、 兩點，、 兩點的“好點”分別為、，已知以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點（）求橢圓的標準方程；（）的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請說明理由【答案】（1）；（2）1【詳解】（1）由題可知解得故橢圓的標準方程為（2）設(shè)，則，由，即（*）當直線的斜率不存在時，；當直線的斜率存在時，設(shè)其直線為（），聯(lián)立得，則，同理，代入（*），整理得此時，

8、綜上，的面積為定值1【點睛】定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).6已知橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為，橢圓的一個焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）若，為橢圓上的兩個動點，直線，的斜率分別為，當時，的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由.【答案】（1）；（2）是，定值.【分析】（1）由題設(shè)條件，列出方程組，結(jié)合，求得的值，即可求解.（2

9、）設(shè)，當直線的斜率存在時，設(shè)方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式，及三角形的面積公式，求得三角形的面積；當直線的斜率不存在時，結(jié)合橢圓的對稱性和三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）由橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為，橢圓的一個焦點為，可得，即，解得，故橢圓的方程為.（2）設(shè)，當直線的斜率存在時，設(shè)方程為，由，消可得，則，即，且，所以又由點到直線的距離，所以.又因為，所以，化簡整理可得，滿足，代入，當直線的斜率不存在時，由于，考慮到，關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)，則點，的坐標分別為，此時，綜上可得，的面積為定值.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)

10、用，解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.7已知雙曲線（，）的焦距為，且雙曲線右支上一動點到兩條漸近線，的距離之積為（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)直線是曲線在點處的切線，且分別交兩條漸近線，于、兩點，為坐標原點，證明：面積為定值，并求出該定值【答案】（1）；（2）證明見解析；定值2【分析】（1）動點到兩條漸近線，的距離之積表示出來得的關(guān)系式，結(jié)合焦距可求得得雙曲線方程；（2）設(shè)直線的方程為，由相切得，然后求得坐標，以及

11、直線與軸交點坐標，利用點坐標求得面積，代入關(guān)系式，可得定值【詳解】解：（1）雙曲線（，）的漸近線方程為和，由動點到兩條漸近線，的距離之積為，則，又，即，解得，則雙曲線的方程為（2）證明：設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立，可得，直線與雙曲線的右支相切，可得，可得，設(shè)直線與軸交于，則，又雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立，可得，同理可得，則即有面積為定值2【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線位置關(guān)系，面積定值問題解題關(guān)鍵是設(shè)出切線方程，由直線與雙曲線相切得參數(shù)關(guān)系，然后求得三角形面積，利用此關(guān)系式可得定值8如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，若點為雙曲線在第一象限上的一點，且

12、滿足，過點分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點分別是和.（1）求四邊形的面積；（2）若對于更一般的雙曲線，點為雙曲線上任意一點，過點分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點分別是和.請問四邊形的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用、表示該定值）；若不是定值，請說明理由.【答案】（1）；（2）是，且定值為.【分析】（1）求出點、的坐標，計算出點到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得四邊形的面積；（2）設(shè)點，求出點的坐標，計算出點到直線的距離，利用平行四邊形的面積公式化簡可得結(jié)果.【詳解】（1）因為雙曲線，由雙曲線的定義可得，又因為，因為，所以，軸，點的橫坐標為，所以，可得，即

13、點，過點且與漸近線平行的直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點，直線的方程為，點到直線的距離為，且，因此，四邊形的面積為；（2）四邊形的面積為定值，理由如下：設(shè)點，雙曲線的漸近線方程為，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點，直線的方程為，即，點到直線的距離為，且，因此，（定值）.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值9已知橢圓的離心率為，過點（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)點、分別是橢圓的左頂點和上頂點，、為橢圓上異于、的兩點，滿足，求證：面積為定值【答案】（1）；（2）證明見解析【

14、分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，結(jié)合這三個量的值，由此可得出橢圓的標準方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)直線的方程為，將這兩條直線分別與橢圓的方程聯(lián)立，求出點、的坐標，求出以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由已知條件可得，解得，即橢圓的標準方程為；（2）設(shè)、，由題意直線、的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)直線的方程為，由（1）橢圓，聯(lián)立得，解得，即，聯(lián)立，得，所以，即，易知，直線的方程為，點到直線的距離為，所以，故面積為定值【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的

15、過程中消去變量，從而得到定值10已知橢圓的離心率為，以原點O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若直線與橢圓C相交于A，B兩點，且.求證：的面積為定值.【答案】（1）；（2）的面積為定值.【分析】（1）由橢圓的離心率等于，原點到直線的距離等于及隱含條件聯(lián)立方程組求解，的值，則橢圓的標準方程可求；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去后利用根與系數(shù)關(guān)系得到，兩點的橫縱坐標的和與積，由弦長公式求得，由點到直線的距離公式求得到的距離，代入三角形的面積公式證得答案【詳解】（1）解：由題意得，橢圓的方程為；（2）證明：設(shè)，則，的坐標滿足，消去化簡得，由，得，即，即又點

16、到直線的距離，為定值【點睛】方法點睛：定值問題的處理常見的方法有：（1）特殊探究，一般證明.（2）直接求題目給定的對象的值，證明其結(jié)果是一個常數(shù).11已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，動點在雙曲線上.當時，.（1）求雙曲線的方程.（2）設(shè)為雙曲線上一點，點，在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限，若恰為線段的中點，試判斷的面積是否為定值?若為定值，請求出這個定值；若不為定值，請說明理由.【答案】（1）；（2）是定值，2.【分析】（1）由可得，求出即可得出方程；（2）設(shè)出點，的坐標，可得點的坐標，代入雙曲線的方程，可得，設(shè)，利用漸近線方程的斜率得角的正切值，再利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式及二倍角公

17、式得，由，的坐標得，結(jié)合及三角形面積公式即可求出.【詳解】（1）由題意，易得，則由，可得，即.又，解得（負值舍去），解得，雙曲線的方程為.（2）由（1）可知雙曲線的漸近線方程為，設(shè)，其中，.為線段的中點，將點的坐標代入雙曲線的方程得，解得.設(shè)，則.又，.又，的面積為定值2.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查雙曲線中三角形面積的定值問題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點，的坐標，設(shè)，得出和.12已知橢圓：（）的焦距為2，四個頂點構(gòu)成的四邊形面積為；（1）求橢圓的標準方程；（2）斜率存在的直線與橢圓相交于、兩點，為坐標原點，若點在橢圓上，請判斷的面積是否為定值.【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）由題可得，

18、解出即可求出；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，表示出面積，利用點P在橢圓上得出的關(guān)系即可求出定值.【詳解】（1）由題可得，解得，.故橢圓方程為：.（2）設(shè)直線方程是，設(shè)，聯(lián)立，得，.，把點坐標代入橢圓方程可得，整理可得：，點到直線的距離為，的面積.所以，的面積為定值.【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達定理求解.13已知橢圓過點兩點（）求橢圓的方程及離心率；（）設(shè)為第三象限內(nèi)一點且在橢圓上，直線與軸交于點，直線與軸交

19、于點，求證：四邊形的面積為定值【答案】（）；（）見解析.【詳解】試題分析：（）根據(jù)兩頂點坐標可知，的值，則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解；（）四邊形的面積等于對角線乘積的一半，分別求出對角線，的值求乘積為定值即可試題解析：（）由題意得，所以橢圓的方程又，所以離心率（）設(shè)，則又，所以，直線的方程為令，得，從而直線的方程為令，得，從而所以四邊形的面積從而四邊形的面積為定值考點：1、橢圓方程；2、直線和橢圓的關(guān)系【方法點晴】本題考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，以及考查邏輯思維能力、分析與解決問題的綜合能力、運算求解能力、方程思想與分類討論的思想第一小題根據(jù)兩頂點坐標可知，

20、的值，則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解；第二小題四邊形的面積等于對角線乘積的一半，分別求出對角線，的值求乘積為定值即可14已知橢圓：()的左右焦點分別為，離心率為，點是橢圓上一點，的周長為.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓交于，兩點，且四邊形為平行四邊形，求證：的面積為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由拋物線的定義和離心率得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點坐標，代入橢圓方程，再由弦長公式，點線距公式結(jié)合三角形的面積公式化簡計算可得定值【詳解】（1）因為的周長為，所以，即.又離心率，解得，.橢圓的方程為.（2）設(shè)，將代入消去

21、并整理得，則，四邊形為平行四邊形，得，將點坐標代入橢圓方程得，點到直線的距離為，平行四邊形的面積為.故平行四邊形的面積為定值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點線距公式和弦長公式，解決本題的關(guān)鍵點是借助于平面向量的坐標表示，利用點在曲線上得出方程，代入平行四邊形的面積公式，消去參數(shù)得出定值，考查學生計算能力，屬于中檔題15已知橢圓：的左右焦點分別為，橢圓與軸的一個交點為，且，.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)為坐標原點，為橢圓上不同的兩點，點關(guān)于軸的對稱點為點.若直線的斜率為1，求證：的面積為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由所

22、給條件可得：焦距，可得，即可得解；（2）首先設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得，結(jié)合韋達定理，根據(jù)，代入化簡即可得到定值.【詳解】（1）因為焦距為，所以，即，由，得，即，所以橢圓的標準方程為；（2）證明：由題意知直線斜率一定存在，設(shè)直線方程為，點，則面積為，聯(lián)立方程，得，即，因為直線的斜率為1，所以，即，即，解得，所以，綜上，面積為定值.【點睛】本題考查了求橢圓方程，考查了解析幾何定值問題，有一定的計算量，屬于較難題.本題的解題關(guān)鍵為：（1）對橢圓基本量的理解記憶；（2）韋達定理的應(yīng)用，韋達定理是聯(lián)系各個變量之間關(guān)系的橋梁，是解決圓錐曲線和直線問題的重要方法；（3）計算能力和計算技巧是解決解析幾

23、何問題的關(guān)鍵能力.16已知雙曲線：的虛軸長為4，直線為雙曲線的一條漸近線.（1）求雙曲線的標準方程；（2）記雙曲線的左右頂點分別為，斜率為正的直線過點，交雙曲線于點，(點在第一象限)，直線交軸于點，直線交軸于點，記面積為，面積為，求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)漸近線方程以及虛軸長度可知，然后可知方程（2）假設(shè)直線方程，并與雙曲線方程聯(lián)立，可得關(guān)于的二次方程，緊接著使用韋達定理，分別求得坐標并表示出，簡單計算即可.【詳解】解：（1）由題意可得，因為一條漸近線方程為，所以，解得，則雙曲線的方程為；（2）證明：可得，設(shè)直線：，聯(lián)立，整理可得，可得，即有，設(shè)直線：，

24、可得，設(shè)直線：，可得，又，所以.【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線的一般方法（1）假設(shè)直線方程；（2）聯(lián)立方程：（3）使用韋達定理；（4）根據(jù)條件計算.17已知雙曲線的一條漸近線方程為，右準線方程為（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點的直線分別交雙曲線的左、右兩支于點，交雙曲線的兩條漸近線于點（在軸左側(cè)）是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由；記和的面積分別為，求的取值范圍【答案】（1）（2），【分析】（1）由雙曲線的漸近線方程和準線方程，可得，的方程組，解得，可得雙曲線的方程；（2）可設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立，運用判別式大于0和韋達定理，以及兩直線垂直的條

25、件，解方程，即可判斷存在性；聯(lián)立漸近線方程和直線的方程，求得，的橫坐標，可得，由弦長公式得到，再由三角形的面積公式得到關(guān)于的函數(shù)，然后求出其范圍即可【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為，準線方程為，由題意可得，又，解得，則雙曲線的方程為；（2）由題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，可得，由，解得，則，解得，如果存在直線，使得，則，即為，解得，所以不存在直線，使得；由，可得的橫坐標；由，可得的橫坐標，；，由和的高相等，可得，由，可得，所以的取值范圍是，【點睛】關(guān)鍵點點睛：三角形的面積比可轉(zhuǎn)化為，利用直線與雙曲線聯(lián)立，由韋達定理、弦長公式求出，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于k的函數(shù)，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.18已知F是拋物線的焦點，點M是拋物線上的定點，且. (1)求拋物線C的方程；(2)直線AB與拋物線C交于不同兩點，直線與AB平行，且與拋物線C相切，切點為N，試問ABN的面積是否是定值.若是，求出這個定值