1、2021-2022學(xué)年湖南省邵陽市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1設(shè)集合，則（）ABCDB【分析】根據(jù)交集定義運(yùn)算即可【詳解】因?yàn)椋?故選：B.本題考查集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補(bǔ)的基本概念即可求解.2已知復(fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位)，則（）A3BC2DD【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡求得，然后利用復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算【詳解】因?yàn)椋?故選.3已知向量，若，則（）ABC5D6C【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得【詳解】解：,即,解得,故選：C4已知，則（）ABCDC【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用

2、中間橋0,1去比較的大小關(guān)系【詳解】為上單調(diào)遞增函數(shù)，則，為R上單調(diào)遞減函數(shù)，則，且由為R上單調(diào)遞增函數(shù)，可得，則，故選：C5排球社的同學(xué)為訓(xùn)練動(dòng)作組織了墊排球比賽，以下為排球社50位同學(xué)的墊球個(gè)數(shù)所做的頻率分布直方圖，所有同學(xué)墊球數(shù)都在540之間，估計(jì)墊球數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是（）A25B26C27D28D【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合分位數(shù)計(jì)算公式即可求解.【詳解】由已知，根據(jù)頻率分布直方圖可得：墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占

3、總數(shù)的；因?yàn)榉治粩?shù)位于內(nèi)，由，所以估計(jì)墊球數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是.故選：D.6如圖，在矩形ABCD中，M，N分別為線段BC，DC上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（）AB15C16D17B【分析】以為原點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)，根據(jù)的長度得到的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的三角函數(shù)表達(dá)式，利用輔助角公式化簡，并利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到最小值.【詳解】以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AB所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，即，其中 時(shí)取“=”，所以的最小值為15，故15.7七巧板，又稱七巧圖、智慧板，是中國古代勞動(dòng)人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì)，到了明代基

4、本定型，于明、清兩代在民間廣泛流傳某同學(xué)用邊長為4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如圖所示，包括5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形若該同學(xué)從5個(gè)三角形中任取出2個(gè)，則這2個(gè)三角形的面積之和不小于另外3個(gè)三角形面積之和的概率是（）ABCDD【分析】先逐個(gè)求解所有5個(gè)三角形的面積，再根據(jù)要求計(jì)算概率.【詳解】如圖所示，的面積分別為，將，分別記為，從這5個(gè)三角形中任取出2個(gè)，則樣本空間，共有10個(gè)樣本點(diǎn)記事件表示“從5個(gè)三角形中任取出2個(gè)，這2個(gè)三角形的面積之和不小于另外3個(gè)三角形面積之和”，則事件包含的樣本點(diǎn)為，共3個(gè)，所以故選：D8一邊長為4的正方形ABCD，M為AB的中點(diǎn)，將，

5、分別沿MD，MC折起，使MA，MB重合，得到一個(gè)四面體，則該四面體外接球的表面積為（）ABCDA【分析】先判斷出MA平面ACD，ACD為等邊三角形.利用球內(nèi)截面的性質(zhì)，過ACD的中心O1作平面ACD的垂線l1，過線段MC的中點(diǎn)O2作平面MAC的垂線l2，記，則O即為三棱錐M一ACD外接球的球心.利用勾股定理求出半徑R，即可求出外接球的表面積.【詳解】如圖所示，由圖可知在四面體A-CDM中，由正方形為的中點(diǎn)，可得MAAD，MAAC，ACAD=A，故MA平面ACD.將圖形旋轉(zhuǎn)得到如圖所示的三棱錐M-ACD，其中ACD為等邊三角形，過ACD的中心O1作平面ACD的垂線l1，過線段MC的中點(diǎn)O2作平面

6、MAC的垂線l2，由球內(nèi)截面的性質(zhì)可得直線l1與l2相交，記，則O即為三棱錐M一ACD外接球的球心.設(shè)外接球的半徑為R，連接OC，O1C，可得.在RtOO1C中，故該外接球的表面積.故選：A.二、多選題9以下對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是（）A連續(xù)拋兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，有3個(gè)基本事件，出現(xiàn)一正一反的概率為B每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，例如1257，在不超過15的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于14的概率為C將一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，記下兩次向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和為6的概率是D從三件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是BCD【分析】A.列舉所有的基

7、本事件，得到概率，判斷選項(xiàng)；B.首先列舉素?cái)?shù)，再根據(jù)組合數(shù)，寫出概率；C.列舉滿足條件的基本事件，求概率；D.根據(jù)組合數(shù)寫出概率，判斷選項(xiàng).【詳解】A.連續(xù)拋兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，有4個(gè)基本事件，包含兩正，兩反，先反再正，先正再反，出現(xiàn)一正一反的概率，故A不正確；B.不超過15的素?cái)?shù)包含2,3,5,7,11,13，共6個(gè)數(shù)字，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)字，和等于14的包含，則概率為，故B正確；C.將一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，共36種情況，點(diǎn)數(shù)之和為6包含，共5種，所以點(diǎn)數(shù)之和為6的概率，故C正確；D.由題意可知取出的產(chǎn)品全是正品的概率，故D正確.本題考查古典概型，列舉法，組合數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型，本

8、題的關(guān)鍵是正確列舉所有滿足條件的基本事件.10已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，下列說法正確的有（）A圖象關(guān)于直線對稱BC的最小正周期為4D對任意都有ABD【分析】由奇偶性知的對稱中心為、對稱軸為，進(jìn)而推得，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由的對稱中心為，對稱軸為，則也關(guān)于直線對稱且，A、D正確，由A分析知：，故，所以，所以的周期為4，則，B正確；但不能說明最小正周期為4，C錯(cuò)誤；故選：ABD11在長方體中，動(dòng)點(diǎn)在體對角線上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）A當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，為銳角B存在點(diǎn)，使得平面C的最小值D頂點(diǎn)到平面的最大距離為ABD【分析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)

9、判斷得符號(hào)即可判斷A；當(dāng)平面，則，則有，求出，即可判斷B；當(dāng)時(shí)，取得最小值，結(jié)合B即可判斷C；利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離，分析即可判斷D.【詳解】解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，故，則，對于A，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，則，則，所以，所以為銳角，故A正確；當(dāng)平面，因?yàn)槠矫?，所以，則，解得，故存在點(diǎn)，使得平面，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，取得最小值，由B得，此時(shí)，則，所以，即的最小值為，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為0，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以點(diǎn)到平面的最大距離為，故D正確.故選：ABD.12已知，下列命題中正確的是（）A“”的

10、最小值為B若，則C若，則D若，則BD【分析】求得最小值排除選項(xiàng)A；求得最小值選B；求得最小值排除選項(xiàng)C；求得最小值選D.【詳解】選項(xiàng)A：，則令，則在上為增函數(shù)，則故，則最小值為.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由，可得，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），解之得.判斷正確；選項(xiàng)C：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），則.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D： 由，可得，則，又，則則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故有.判斷正確.故選：BD三、填空題13設(shè)分別為兩條異面直線的方向向量，且，則異面直線所成的角為_. 【分析】根據(jù)異面直線的夾角與方向向量夾角之間的關(guān)系，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意，故可得的夾角為，故所成的角為.故答案為.14已知向量

11、，滿足，且.則在上的投影向量的坐標(biāo)為_.【分析】對兩邊平方后得到，代入投影向量的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】兩邊平方化簡得：，因?yàn)?，所以，又，代入得：，解得：，所以在上的投影向量坐?biāo)為.故15若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_.【分析】分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，根據(jù)單調(diào)性可得.【詳解】因?yàn)?，不等式恒成立，所以對恒成?記，只需.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.故16乒乓球被稱為中國的“國球”，是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目，2000年之后國際比賽用球的直徑為40.現(xiàn)用一個(gè)底面為正方形的棱柱盒子包裝四個(gè)乒乓球，為倡導(dǎo)環(huán)保理念，則此棱柱包裝盒(長方體)

12、表面積的最小值為_.(忽略乒乓球及包裝盒厚度)256【分析】比較三種情形下的表面積即可得：一種四個(gè)球排列一列，四個(gè)球心在同一直線上；第二種四個(gè)球平放，四個(gè)球心構(gòu)成正方形；第三種四個(gè)球心構(gòu)成正四面體【詳解】設(shè)是四個(gè)球的球心，以下面積單位是（1）四點(diǎn)共線，則（2）四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，則（3）四點(diǎn)構(gòu)成一正四面體，如圖，設(shè)是中心，則 平面， ，正四棱柱為正方體，棱長為，表面積為，比較可得表面積最小值為256故256四、解答題17甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球.甲先投且先投中者獲勝，約定有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.(1)

13、求甲獲勝的概率；(2)求投籃結(jié)束時(shí)乙只投了2個(gè)球的概率.(1)(2)【分析】（1）根據(jù)互斥事件和的概率公式及獨(dú)立事件同時(shí)成立的概率公式求解即可；（2）寫出投籃結(jié)束時(shí)乙只投了2個(gè)球的事件，由互斥事件的和的概率公式，獨(dú)立事件概率公式求解.【詳解】(1)設(shè)Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃時(shí)投中，則，（k=1，2，3），記“甲獲勝”為事件C，則.(2)記“投籃結(jié)束時(shí)乙只投了2個(gè)球”為事件D.則.18如圖截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體.如圖，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長均為1的截角四面體.(1)該截角四面

14、體的表面積；(2)該截角四面體的體積.(1)；(2).【分析】（1）求出截角四面體一個(gè)的正六邊形、正三角形的面積即可求解作答.（2）求出原正四面體和截去的一個(gè)正四面體的體積，再用割補(bǔ)法求解作答.【詳解】(1)依題意，該截角四面體是4個(gè)邊長為1的正三角形和4個(gè)邊長為1的正六邊形圍成，截角四面體中，正三角形的面積，邊長為1的正六邊形的面積，所以該截角四面體的表面積為.(2)該截角四面體是棱長為3的正四面體去掉4個(gè)角上棱長為1的正四面體而得，棱長為1的正四面體的高，棱長為3的正四面體的高為，則棱長為1的正四面體的體積，棱長為3的正四面體的體積所以該截角四面體的體積為.19的內(nèi)角、所對邊的長分別為、，

15、已知(1)求的大?。?2)若為銳角三角形且，求的取值范圍(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再分析求解即可；（2），再利用三角函數(shù)求值域即可.【詳解】(1)由及正弦定理可得，所以，因?yàn)?、，則，則，故(2)依題意，為銳角三角形且，由正弦定理得，所以，所以，由于，所以，解得，所以，所以，所以，所以所以的取值范圍是20如圖，在長方體中，P為的中點(diǎn)(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值(1)見解析(2)【分析】（1）由向量法結(jié)合判定證明即可；（2）由向量法得出面角的正弦值【詳解】(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示設(shè)，則又，平面(2)由（1）可知，平面的法向量為設(shè)平面的法向

16、量為，令，可得故二面角的正弦值為21為了弘揚(yáng)中華民族傳統(tǒng)文化，某中學(xué)高二年級(jí)舉行了“愛我中華，傳誦經(jīng)典”的考試，并從中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績（滿分分）作為樣本，其中成績不低于分的學(xué)生被評為優(yōu)秀生，得到成績分布的頻率分布直方圖如圖所示.（1）若該年級(jí)共有名學(xué)生，試?yán)脴颖竟烙?jì)該年級(jí)這次考試中優(yōu)秀生人數(shù)；（2）試估計(jì)這次參加考試的學(xué)生的平均成績（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表）；（3）若在樣本中，利用分層抽樣從成績不低于分的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，再從中抽取人贈(zèng)送一套國學(xué)經(jīng)典典籍，試求恰好抽中名優(yōu)秀生的概率.（1）人；（2）；（3）.【分析】（1）由直方圖知，樣本中數(shù)據(jù)落在的頻率為，由此能估計(jì)全校這次

17、考試中優(yōu)秀生人數(shù)；（2）將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以矩形的面積，再將所得結(jié)果相加即可得出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（3）由分層抽樣可知成績在、間分別抽取了、人，記成績在的人為、，在的人為、，在的人記為，列出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率.【詳解】（1）由直方圖知，樣本中數(shù)據(jù)落在的頻率為：，則估計(jì)全校這次考試中優(yōu)秀生人數(shù)為：人；（2）該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，估計(jì)所有參加考試的學(xué)生的平均成績?yōu)?；?）由分層抽樣可知成績在、間分別抽取了、人，記成績在的人為、，在的人為、，在的人記為，則人中抽取人的所有情況有種，分別為：、， 記抽取人為優(yōu)秀生為事件，則事件包含的基本事件有：、，共種，因此，恰好抽中名優(yōu)秀生的概率.本題考查頻數(shù)、平均數(shù)、概率的求法，考查頻率分布直方圖、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)