1、A級基礎(chǔ)鞏固1.頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)是F(0,3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ()A.y2=21x B.x2=12yC.y2=112x D.x2=112y解析:由焦點(diǎn)是F(0,3),可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p0),由題意,得p2=3,即p=6,所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=12y.答案:B2.若拋物線y=x2a的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1),則a的值等于 ()A.4 B.-4C.14 D.-14解析:拋物線y=x2a的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=ay,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,a4.由題意可知a4=-1,解得a=-4.答案:B3.(全國卷)已知A為拋物線C:y2=2px(p0)上一點(diǎn),點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為12,到y(tǒng)軸的距離

2、為9,則p= ()A.2 B.3C.6 D.9解析:因?yàn)锳為拋物線C:y2=2px(p0)上一點(diǎn),點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,且拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等,所以9+p2=12,解得p=6.故選C.答案:C4.以雙曲線x216-y29=1的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.y2=16x B.y2=-16xC.y2=8x D.y2=-8x解析:由雙曲線的方程x216-y29=1可得,其右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),所以可設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p0),因?yàn)?4,0)為拋物線的焦點(diǎn),所以p2=4,因此p=8,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x.答案

3、:A5.已知拋物線y=mx2(m0)的焦點(diǎn)與橢圓4y29+x22=1的一個焦點(diǎn)重合,則m=12.解析:將拋物線y=mx2(m0)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=1my,所以其焦點(diǎn)是0,14m.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)與橢圓4y29+x22=1的一個焦點(diǎn)重合,因此94-2=14m2,結(jié)合m0,得m=12.6.已知拋物線y2=4x上一點(diǎn)M(x0,23),則點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離等于4.解析:把點(diǎn)M(x0,23)代入拋物線方程可得,(23)2=4x0,解得x0=3 .所以點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離為x0+1=4.7.已知拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線x2a2-y2b2=1的右焦點(diǎn),它的準(zhǔn)線過雙曲線x2a2-y2b2=1的左焦點(diǎn)

4、,拋物線與此雙曲線交于點(diǎn)32,6,求拋物線和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p0),將點(diǎn)32,6代入方程,得p=2,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為直線x=-1,所以雙曲線的焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0).因?yàn)辄c(diǎn)32,6到兩焦點(diǎn)距離之差為1,所以2a=1,即a=12.又因?yàn)閍2+b2=p22,所以b2=34.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x214-y234=1.B級拓展提高8.過點(diǎn)A(1,0),且與直線l:x=-1相切的動圓的圓心的軌跡是 ()A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線解析:如圖,設(shè)動圓的圓心為M.由題意,知M到直線l的距離等于圓的半徑|MA|.由

5、拋物線的定義,知點(diǎn)M的軌跡是以A(1,0)為焦點(diǎn),以直線l為準(zhǔn)線的拋物線.答案:D9.已知點(diǎn)F是拋物線x2=4y的焦點(diǎn),點(diǎn)P為拋物線上的任意一點(diǎn),M(1,2)為平面上一點(diǎn),則|PM|+|PF|的最小值為 ()A.3 B.2C.4 D.23解析:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中作出圖象,并作PN垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)N.由題意可得|PM|+|PF|=|PM|+|PN|MN|,顯然,當(dāng)P,M,N三點(diǎn)共線時,|PM|+|PF|的值最小.因?yàn)辄c(diǎn)M(1,2),F(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1,所以當(dāng)P,M,N三點(diǎn)共線,即點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,-1)時,(|PM|+|PF|)min=|MN|=3.答案:A10.拋物線形拱橋的示

6、意圖如圖所示,當(dāng)水面在AB時,拱頂距離水面2 m,水面寬4 m,當(dāng)水位上升0.5 m后,水面寬 ()A.3 m B.6 mC.23 m D.26 m解析:如圖,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線方程為x2=my,將點(diǎn)A的坐標(biāo)(-2,-2)代入x2=my,得m=-2,可得拋物線方程為x2=-2y,水位上升0.5 m后,將y=-32代入拋物線方程可得,x=3,故此時水面寬度為23 m.答案:C11.已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是拋物線C上一點(diǎn),FM的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|=6.解析:設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,a),由點(diǎn)F(2,0),M為FN的中點(diǎn),可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為1,a2.

7、因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上,所以a24=8,解得a=42.所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,42)或(0,-42),那么|FN|=(2-0)2+(042)2=6.12.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn),點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動點(diǎn),當(dāng)FPM為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時,其面積為2.解析:畫出草圖,過P作準(zhǔn)線l的垂線,垂足為M(圖略),則|PM|=|PF|.又因?yàn)閨PM|=|PF|,所以|PM|=|PM|,M與M重合,此時PMPF,PMl,所以PFl,|PM|=|PF|=2,所以SFPM=1222=2.13.動圓P與定圓A:(x+2)2+y2=1外切,且與直線l:x=1相切,求動圓圓心P的軌跡方程.

8、解:如圖,設(shè)動圓圓心P(x,y),過點(diǎn)P作PDl于點(diǎn)D,作直線l:x=2,過點(diǎn)P作PDl于點(diǎn)D,連接PA.設(shè)圓A的半徑為r,動圓P的半徑為R,可知r=1.因?yàn)閳AP與圓A外切,所以|PA|=R+r=R+1.又因?yàn)閳AP與直線l:x=1相切,所以|PD|=|PD|+|DD|=R+1.因?yàn)閨PA|=|PD|,即動點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離與到定直線l的距離相等,所以點(diǎn)P的軌跡是以A為焦點(diǎn),以直線l為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)拋物線的方程為y2=-2px(p0),可知p=4,所以所求的軌跡方程為y2=-8x.14.如圖所示,已知拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4,且位于x軸上方的點(diǎn),點(diǎn)A到拋物線

9、準(zhǔn)線的距離等于5,過點(diǎn)A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程;(2)過點(diǎn)M作MNFA,垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo).解:(1)拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=-p2,由4+p2=5,得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x.(2)由題意,得A(4,4),B(0,4),M(0,2).又因?yàn)辄c(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),所以kAF=43,則FA的方程為y=43(x-1).因?yàn)镸NFA,所以kMN=-34,則MN的方程為y=-34x+2.解方程組y=-34x+2,y=43(x-1),得x=85,y=45,所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為85,45. C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新15.多選題對于標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線,給出

10、下列條件,其中滿足拋物線方程為y2=10 x的是 ()A.焦點(diǎn)在y軸上B.焦點(diǎn)在x軸上C.拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6D.由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某直線作垂線,垂足坐標(biāo)可能為(2,1)解析:拋物線y2=10 x的焦點(diǎn)在x軸上,B項(xiàng)滿足,A項(xiàng)不滿足;設(shè)M(1,y0)是拋物線y2=10 x上的一點(diǎn),則|MF|=1+p2=1+52=726,所以C項(xiàng)不滿足;由于拋物線y2=10 x的焦點(diǎn)為52,0,故可設(shè)過該焦點(diǎn)的直線方程為y=kx-52,若由原點(diǎn)向該直線作垂線,垂足為點(diǎn)(2,1)時,則k=-2,此時存在,所以D項(xiàng)滿足.答案:BD 16.多選題 如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為K,P為拋物線C上異于O的任意一點(diǎn),PEl于點(diǎn)E,EPF的鄰補(bǔ)角的平分線交x軸于點(diǎn)Q,過Q作QNPE交EP的延長線于點(diǎn)N,作QMPF交線段PF于點(diǎn)M,則 ()A.|PE|=|PF| B.|PF|=|QF|C.|PN|=|MF| D.|PN|=|KF|解析:由拋物線的定義,得|PE|=|PF|,A項(xiàng)正確;因?yàn)镻NQF,PQ是FPN的平分線,所以FQP=NPQ=FPQ,所以|PF|=|QF|,B項(xiàng)正確;由PQ是FPN的平分線,QNPE,QMPF,得|QM|=|QN|,從而有|PM|=|PN|,若|PN|=