1、5-5電流系統(tǒng)的磁能與磁場的能量一、N個(gè)載流線圈系統(tǒng)的磁能1、元過程：忽略所有線圈的電阻，各線圈I =0時(shí)記為零能態(tài)，各線圈自感和彼此間的互感分別為L和M 。當(dāng)?shù)冢瑐€(gè)線圈的電流由0漸增到I時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢為e =lJ Z M 土 dt ik dtk豐i電源反抗 .作功dA = & I dt = LI di +Z M I dii i ii i iik i kk主i對N個(gè)線圈，電源作總元功（3）dA = ZLI dI +ZM I dIi i iik i k TOC o 1-5 h z ii ,kk勿M = M . M I dI + M I dI = M d(II )ik kiik i k ki k

2、i ik i k HYPERLINK l bookmark12 o Current Document dA = ZLIdI +1Lm d(II )i i iik i kii ,kk i2、系統(tǒng)靜磁能定義電源所作總功為系統(tǒng)的靜磁能，則（5）W = A，= 1 Eli 2 + 1 1Lm II m2 i i 2 ik i kk勿其中首項(xiàng)是N個(gè)線圈的自感磁能，次項(xiàng)是互感磁能。討論：（1）上式中指標(biāo)i、k對稱，可見Wm與各線圈電流的建立過程無關(guān)。（2）若令Mi = L，則形式更簡潔：Wm= 2 + 吃/人（6）i ,k（3）設(shè)氣=M/ = ML表示第k個(gè)線圈電流的磁場通過第i個(gè)線圈的磁通，再令中=氣=

3、m 表示所有線圈通過第i個(gè)線圈的總磁通，則 kk（7）（8）（9）w = 2勇i.i二、載流線圈在外磁場中的磁能1、二載流線圈情形：總磁能：w = -LI2 + -L I 2 + M II m 2 1 12 2 212 1 2互能：w = M II =中 Im 12 1 212 2（9）式的第三項(xiàng)，已將線圈1看作外磁場源。2、定義：載流線圈在外磁場中的磁能，定義為該線圈與產(chǎn)生外磁場的線圈之 間的互能。3、均勻外磁場中載流線圈和非均勻外磁場中的小載流線圈的磁能：W = B - SI2 = m - B（10） （與電偶極子在外電場中的靜電能W = -p-E相比，差一負(fù)號(hào)，為什么？）4、N個(gè)載流線圈

4、在外磁場中的磁能:（11）(12)W =IB（r ）-dS 一 Sk當(dāng)外場均勻時(shí)，上式簡化為：J W = B - I S = m - B、k 其中m是N個(gè)線圈的總磁矩。三、磁場的能量與能量密度1、螺繞環(huán)磁能：設(shè)螺繞環(huán)的橫截面為S，體積為V，環(huán)內(nèi)磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率為u，線圈匝數(shù)為N， 單位長度匝數(shù)為n，則環(huán)內(nèi)B = uu nI，中=NSuu0nI = uu0n2VI，所以自感系數(shù)L = uu 0n2V。螺繞環(huán)的磁能W = 1 LI2 = - uu n212V = 1VBH (H = nI)2202磁能密度、w = 2 BH（13）2、線性無損耗介質(zhì)的一般情形：W w dV（14）V111 HYPER

5、LINK l bookmark70 o Current Document w = BH =日 H2 + 日 H - M（15）2 o 2 o其中首項(xiàng)是宏觀靜磁能密度，次項(xiàng)是磁化能密度。四、非線性介質(zhì)的磁滯損耗1、螺繞環(huán)體系的元功分析設(shè)在dt時(shí)間內(nèi)環(huán)內(nèi)磁場從B變?yōu)锽+dB，則穿過線圈的總磁通d中=NSdB， 電源克服電動(dòng)勢所作元功dA = - Idt = Id中=NSIdB = VHdB，單位體積元功dAf = HdB2、一般磁介質(zhì)的元功：dA = H dB(16)(17)又 B = h 0( H + M)，所以（18）可見，類似于電介質(zhì)情形，在一般磁介質(zhì)中，電源所作功一部分用來增加宏 觀靜磁能

6、，一部分對介質(zhì)作磁化功。3、磁化功與磁化能的關(guān)系（1）線性無損耗介質(zhì)：i=1所以,(1)H - dM = M - dH = d - M - H 2（19）即磁化功完全轉(zhuǎn)化為磁化能。（2）非線性磁介質(zhì)，以鐵磁鐵為例: 電源對單位體積的鐵磁體作磁化功A，= j dA = J HdM當(dāng)磁化狀態(tài)沿磁滯回線繞行一周時(shí)，（20）恰為磁滯回線的面積。由于繞行一周后磁化狀態(tài)恢復(fù)到從前不變，磁化功完 全轉(zhuǎn)化為熱量，稱為磁滯損耗。五、利用磁能求磁力在有些情況下，利用安培公式求磁力不方便，可以考慮利用磁能求磁力。1、電流不變情形（1）考察N個(gè)載流線圈組成的系統(tǒng)，仿照由靜電能求靜電力的方法，假設(shè)某線圈有虛位移5 r，

7、則磁力作功5 A = F r = F5x + F 5 j + F5z（21）若在虛過程中各線圈電流不變，外部電源需反抗感應(yīng)電動(dòng)勢作功5 A，。磁力作功 使系統(tǒng)磁能減少，電源作功使系統(tǒng)磁能增加，系統(tǒng)凈磁能變化為5W =5A-5A（22）m（2）5A，與5W關(guān)系。設(shè)虛過程使第i個(gè)線圈的磁能變化5中，則m5A = & I dt = 15中電源所作總功（23）A，K = Z 15i i而由m=2 i氣，可得（24）5W = - I 中=-5A = 5Am 2 2即當(dāng)所有載流線圈電流不變時(shí)，電源所作功恰為系統(tǒng)磁能變化的2倍，而磁力所作功等于系統(tǒng)磁能的增加。（3）磁力=VW , F = dWmm xdx（

8、25）而磁力矩L8W ）0局J（26）2、進(jìn)一步討論:（1）對線性無損耗磁介質(zhì)，上述諸式也成立，只是W中還包括介質(zhì)磁化能;（2）在研究載流導(dǎo)線在外磁場中所受磁力和磁力矩時(shí)，不必計(jì)入二者自能， 只需考慮導(dǎo)線在外磁場中的靜磁能；（3）外磁場中載流線圈上的磁力和磁力矩：線圈的靜磁能W = m - B = mB cos0（27）電流不變即線圈的磁矩不變，所以F =V（m - B） = （m -V） B+m x（vx B）= （m V）B（28）（注意：Vx B = 0，）而(dW )m3。Jme = -mB sin 0 e = m x B（29）（注意：e0為由B到m的右手螺旋方向，恰與m x B方向相反。）3、磁通量不變情形若產(chǎn)生虛位移時(shí)各線圈中.不變，則在虛過程中無感應(yīng)電動(dòng)勢，電源不作功，（5W ）中=-弘，所以磁力和磁力矩分別為F =-(VW )中（30）（31）六、例子例：具有恒定的高磁導(dǎo)率u的馬蹄形磁介質(zhì)，與一磁導(dǎo)率相同的條形磁介質(zhì)組成 一磁路，它們的橫截面為矩形，面積為A，長度為Z。馬蹄形磁介質(zhì)上繞有N匝 導(dǎo)線，通以恒定電流I。求馬蹄形與條形磁介質(zhì)之間的吸力。解設(shè)馬蹄形與條形磁介質(zhì)有小間隙x，間隙和磁介質(zhì)內(nèi)的磁場強(qiáng)度分別為H和