1、關(guān)于無窮積分的性質(zhì)與收斂判別第一張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月一、無窮積分的性質(zhì)第二張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第三張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證極限的柯西準(zhǔn)則,此等價(jià)于收斂的充要條件是:(無窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則)無窮積分 定理11.1第四張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)1為任意常數(shù),則 即根據(jù)反常積分定義,容易導(dǎo)出以下性質(zhì)1 和性質(zhì)2. 第五張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)2第六張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月h(x) 在任意 a, u上可積, 且證 因?yàn)槭諗?由柯西準(zhǔn)則的必要性,例1, f (x), g (x),

2、若第七張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月再由柯西準(zhǔn)則的充分性,第八張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月若無窮積分以下定理可用來判別一般函數(shù)無窮積分的收斂性. 何有限區(qū)間 a, u上可積,性質(zhì)3 (絕對(duì)收斂的無窮積分必收斂)若 f 在任第九張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月因此再由柯西準(zhǔn)則的充分性, 又對(duì)任意 證由柯西準(zhǔn)則的必要性, 對(duì)因第十張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月收斂的無窮積分不一定是絕對(duì)收斂的.例2的收斂性.判別解由于第十一張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月二、非負(fù)函數(shù)無窮積分的收斂判別法引理(非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法)設(shè)定義在 上的非負(fù)函數(shù)

3、f 在任何收斂的充要條件是:第十二張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證設(shè)增函數(shù)的收斂判別準(zhǔn)則, 從而 F (u) 是單調(diào)遞增的由單調(diào)遞第十三張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月非負(fù)函數(shù) f , g 在任何有限區(qū)間a, u上可積, 且定理11.2 (比較判別法) 設(shè)定義在 上的兩個(gè)存在 滿足第十四張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證 由非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法,第二個(gè)結(jié)論是第一個(gè)結(jié)論的逆否命題,因此也成立. 第十五張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例3 判別的收斂性.解顯然第十六張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè) f (x), g(x) 是 上的非負(fù)連續(xù)函

4、數(shù). 證 例4 證由于 第十七張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月推論1 設(shè)非負(fù)函數(shù) f 和 g 在任何 a,u 上可積, 且第十八張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證 即 第十九張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月推論2 設(shè) f 是定義在 上的非負(fù)函數(shù), 在任何限區(qū)間 a, u 上可積.推論3設(shè) f 是定義在 上的非負(fù)函數(shù),在任何有說明: 推論3是推論2的極限形式.第二十一張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例5 討論的收斂性 ( k 0 ).解 (i)第二十二張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月Ex1解所給廣義

5、積分收斂Ex2解根據(jù)柯西極限審斂法 ，所給廣義積分發(fā)散第二十三張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月Ex3解根據(jù)柯西極限審斂法 ，所給廣義積分發(fā)散第二十四張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十五張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證Ex6: 用比較審斂法證明：即收斂.第二十六張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月Ex7解所以所給廣義積分收斂.第二十七張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月三、一般函數(shù)無窮積分的判別法狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.定理11.3(狄利克雷判別法）證故第二十八張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月使得因此, 由柯西準(zhǔn)則，第二十九張，PP

6、T共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證 證法1定理11.4 (阿貝爾判別法)由 g 的單調(diào)性,用積分第二中值定理，對(duì)于任意的 使得第三十張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月由柯西準(zhǔn)則,第三十一張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證法2由狄利克雷判別法收斂,所以第三十二張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例6的收斂性.收斂.解由狄利克雷判別法推知另一方面，第三十三張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月狄利克雷判別法條件, 是收斂的；第三十四張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月類似可證:第三十五張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)x+時(shí),被積函數(shù)即使不趨于0,甚至無界,無窮積分仍有可