1、PAGE PAGE 7不等式選講知識點(diǎn)復(fù)習(xí)一、不等式的基本性質(zhì)（對稱性） （傳遞性）（可加性）（同向可加性） （異向可減性）（可積性） （同向正數(shù)可乘性） （異向正數(shù)可除性）（平方法則） （開方法則）（倒數(shù)法則）二、幾個重要不等式,（當(dāng)且僅當(dāng)時取號）. 變形公式：（基本不等式） ,（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號）.變形公式： 用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.（三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式）（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號）.（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號）.（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號）.（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號） （當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號） 其中規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同

2、加則變小. 絕對值三角不等式三、幾個著名不等式平均不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時取號）.（即調(diào)和平均 幾何平均 算術(shù)平均 平方平均）. 變形公式： 冪平均不等式：二維形式的三角不等式：二維形式的柯西不等式： 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.三維形式的柯西不等式：一般形式的柯西不等式：向量形式的柯西不等式：設(shè)是兩個向量，則當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)，使時，等號成立.排序不等式（排序原理）：設(shè)為兩組實(shí)數(shù).是的任一排列，則（反序和亂序和順序和）當(dāng)且僅當(dāng)或時，反序和等于順序和.四絕對值三角不等式定理1：如果a,b是實(shí)數(shù)，則|a+b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時，等號成立。注：（1）絕對值三角不等式的向量形式及幾何意

3、義：當(dāng)，不共線時，|+|+|，它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大于第三邊。（2）不等式|a|-|b|ab|a|+|b|中“=”成立的條件分別是：不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|，在側(cè)“=”成立的條件是ab0，左側(cè)“=”成立的條件是ab0且|a|b|;不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|，右側(cè)“=”成立的條件是ab0，左側(cè)“=”成立的條件是ab0且|a|b|。定理2：如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么|a-c|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)時，等號成立。五絕對值不等式的解法（1）含絕對值的不等式|x|a與|x|a的解集不等式a0a=0a0|x|ax|-axa|x|ax|x

4、a 或x-a x|xR且x0R注：|x|以及|x-a|x-b|表示的幾何意義（|x|表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離；| x-a |x-b|）表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)a,b的距離之和（差）（2）|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc;| ax+b|c ax+bc或ax+b-c.（3）|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；方法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。六、不等式證

5、明的幾種常用方法 常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；1比較法（1）作差比較法理論依據(jù)：aba-b0;ab a-b0.證明步驟：作差變形判斷符號得出結(jié)論。注：作差比較法的實(shí)質(zhì)是把兩個數(shù)或式子的大小判斷問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)（或式子）與0的大小關(guān)系。（2）作商比較法理論依據(jù)： 證明步驟：作商變形判斷與1的大小關(guān)系得出結(jié)論。2綜合法（1）定義：從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得到命題成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫做推證法或由因?qū)Ч?。?）思路：綜合法的思索路線是“由因?qū)Ч?，也就是從一個（組）已知的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件代替前面的不

6、等式，直至推導(dǎo)出要求證明的不等式。3分析法（1）定義：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(shí)（定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等），從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法。（2）思路：分析法的思索路線是“執(zhí)果索因”，即從要證的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件來代替前面的不等式，直到打到已知不等式為止。注：綜合法和分析法的內(nèi)在聯(lián)系是綜合法往往是分析法的相反過程，其表述簡單、條理清楚。當(dāng)問題比較復(fù)雜時，通常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，以分析法尋找證明的思路，用綜合法敘述、表達(dá)整個證明過程。4放縮法（1）定義：證明不等式時，通常把不等式中的某些部

7、分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的，這種證明方法稱為放縮法。（2）思路：分析證明式的形式特點(diǎn)，適當(dāng)放大或縮小是證題關(guān)鍵。其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等.常見不等式的放縮方法： = 1 * GB3 舍去或加上一些項(xiàng)，如 = 2 * GB3 將分子或分母放大（縮小），如 等.習(xí)題：1.不等式的解集為（A）-5.7 （B）-4,6 （C） （D） 【答案】D2.已知集合，則集合=_.3.不等式的解集是_.4若關(guān)于x的不等式存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解答題:1已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）證明：-3f（x）3；（II）求不等式f（x）x2-8x+15的解集.2.設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集為，求的值。3.解不等式：4設(shè)不等式的解集為M（I）求集合M；（II）若a，bM，試比較ab+1與a+b的大小2010年試題：一、填空題：1不等式的解集為 . 二、解答題：1已知函數(shù)。（）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；（）在（）的條件下，若對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。2設(shè)a、b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：。4已知均為正數(shù)，證明：，并確定為何值時，等號成立。2009年試題：1.解不等式2x-1x+1 2.設(shè)函數(shù)。（1） 若解不等式；（