1、四、模糊集合的模糊程度模糊熵四、模糊集合的模糊程度模糊熵A的模糊熵E(A)，在單位超立方體In中從0到1，其中頂點的熵為0，表明不模糊，中點的熵為1，是最大熵。從頂點到中點，熵逐漸增大。簡單地從幾何圖形上來考慮可以得到熵的比例形式：熵是一個一般性的概念，它度量了一個系統或一段信息的不確定性。模糊熵描述了一個模糊集的模糊性程度。一般的定義1： （1）分明集是不模糊的，則分明集的模糊熵為0；（2）1/2是隸屬性最難確認的模糊集，1/2的模糊性應最大（3）模糊集A與 距1/2的1遠近程度是相同的，則要求A與 的模糊程度一樣（4）模糊集A的模糊性應具有單調變化的性質，即A越接近1/2,A的模糊性越大；

2、 A越遠離1/2,A的模糊性越小 。四、模糊集合的模糊程度模糊熵模糊熵定理：模糊熵定理的幾何圖示。由對稱性，完整模糊方形的四個點到各自的最近頂點、最遠頂點的距離都相等。該定理正式宣告了“西方邏輯”的終止。（ ）四、模糊集合的模糊程度模糊熵k0是常數很多文章是用這個定義來求模糊熵另外的一種定義（類似于信息論中熵的定義）四、模糊集合的模糊程度模糊熵五、模糊集合間的包含關系包含度定理主導隸屬度函數關系(dominated membership function relationship)：如果A=(.3 0 .7)和B=(.4 .7 .9)，那么A就是B的一個模糊子集，但B不是A的模糊子集。顯然，這

3、種模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白的,是二值定義下的子集性(Zadehs1965)。1.模糊子集的幾何表示B的所有模糊子集構成集合模糊冪集F(2B)，它構成了在單位超立方體中倚著原點的規(guī)則的超長方形，其邊寬等于各隸屬度值mB(xi) ?？梢杂肔ebesgue測度或體積V(B)來度量F(2B)的大小，其中，體積V(B)為隸屬度值的乘積：五、模糊集合間的包含關系包含度定理圖7.72.包含度定理： 在圖7.7中，點A可以是長方形內的點，也可以不是。在長方形F(2B)外不同的點A是B的不同程度的子集。而上述二值定義下的子集性忽略了這一點?？紤]到集合A屬于F(2B)的不同程度，通過抽象隸屬度函數來定義

4、包含度： S(.,.)在0,1之間取值，其代表了多值的子集測度（包含度），是模糊理論中的基本的、標準的結構。五、模糊集合間的包含關系包含度定理度量S(.,.)的兩種方法： (1)代數方法: 即失配法(fit-violation strategy) 假定X包含有100個元素：X=x1,x100。而只有第一個元素違背了主導隸屬度函數關系，使得mA(x1)mB(x1)。直觀上，我們認為A很大程度上是B的子集。可以估算，子集性為S(A,B)=0.99，并且，如果X包括1兆個元素，A幾乎完全是B的子集了?？梢娛涞姆萴A(x1)-mB(x1)越大，失配的數目相對于模糊集A的大小越多，那么A就越不能算是

5、B的子集，或者說，A就越象是B的超集。直觀上有：五、模糊集合間的包含關系包含度定理失配數的計算： max(0,mA(x)-mB(x)歸一化之后得到超集的最小度量：包含度為：五、模糊集合間的包含關系包含度定理 這種包含度滿足主導隸屬度函數關系，當 時，S(A,B)=1。如果S(A,B)=1，則分子被加數應都為0，因此主導隸屬度函數關系都滿足。反之，當且僅當B是空集時， S(A,B)=0。而空集本來就無法包含集合，無論是模糊集還是非模糊集。在這兩種極端情況之間，包含度的大小為：0 S ( A, B ) M(A2)。 可見，包含度依賴于基數M(A)。考慮歸一化，進一步猜測：定義超集度為： d(A,F

6、(2B)=d(A,B*)為了保證其值在(0,1)之間變化,要進行歸一化處理，該常數等于最大的單位立方體距離，l1情況下值為n: S(A,B)=1-d(A,B*)/n這種度量存在的問題：五、模糊集合間的包含關系包含度定理（圖7.9）假定p=1，令 正交性表明： 設 其充要條件是沒有失配現象發(fā)生，恒有 。 所以 設 其充要條件是有失配現象 發(fā)生，這時，綜上： 五、模糊集合間的包含關系包含度定理這種證明方法同樣給出了優(yōu)化子集B*的一個更重要的性質： 因為如果有一個失配關系，那么 ， 所以 ，其余的 ，所以 故 。B*是具有雙重優(yōu)化特性的點，它既是離A最近的B 的子集，也是離B最近的A的子集A*:五、

7、模糊集合間的包含關系包含度定理 包含度定理：推導相對頻率：五、模糊集合間的包含關系包含度定理五、模糊集合間的包含關系包含度定理包含度定理的一些推論結論: fuzzy theory extends probability theory 如何用模糊集合間的關系表征某個模糊集合的模糊程度 包含度是模糊中最基本的有代表性的一個數值 熵-包含度定理：說明： 將包含度定理中的A、B分別用 和 代替，并注意到交集 是并集 的子集，即可證得。 該定理表明了整體是其部分的一部分的程度。六、熵-包含度定理 圖示二維的熵-包含度定理。交集 是并集 的子集。可見長對角線的長度相等，所以并集 到交集 的模糊冪集所構成的

8、超長方形的最優(yōu)距離d*滿足：六、熵-包含度定理另外，利用式7-36也可得到該公式。（7-36） 1 模糊熵應用于圖象邊緣檢測 重慶郵電學院學報 1996 04 2 唐山地震前地震活動模糊熵值的異常特征 華北地震科學 1997 03 3 基于模糊熵與方向相似度的液體火箭發(fā)動機故障檢測 國防科技大學學報 1998 04 4 一種新的模糊熵圖象分割方法 信號處理 1998 03 5 用隨機模糊熵權方法編制礦井生產計劃 遼寧工程技術大學學報(自然科學版) 1999 01 6 基于廣義模糊熵的故障特征參數選擇 控制與決策 1999 06 7 基于廣義模糊熵的液體火箭發(fā)動機故障檢測研究 宇航學報 1999

9、 01 8 一種基于模糊熵和遺傳算法的圖像分割方法 上海大學學報(自然科學版) 1999 06 9 一種基于最大模糊熵的高斯聚類算法 電子科技大學學報 2000 03 10 模糊熵的可靠性設計與運用 七、模糊熵的一些應用 11 基于凸多項式模糊熵的圖象閾值方法 控制與決策 2000 03 12 基于模糊熵的多目標模糊優(yōu)選模型及其應用 煤炭學報 2000 04 13 基于模糊熵的安全等級隸屬度向量的離散化方法 中國有色金屬學報 2000 04 14 一類Vague集模糊熵的構造方法 華中科技大學學報 2001 09 15 用模糊評價法和模糊熵確定拱橋洪水淹沒深度 武漢城市建設學院學報 2001

10、01 16 關于Vague集的模糊熵及其構造 計算機應用與軟件 2002 02 17 數據挖掘中決策樹加權模糊熵算法 計算技術與自動化 2002 03 18 基于遺傳算法的模糊熵圖像分割算法 計算機仿真 2002 05 19 不確定性動態(tài)軍事指揮決策的模糊熵分析 系統工程理論方法應用 2002 03 20 電力系統中長期負荷預測的最大模糊熵模型研究 電力自動化設備 2003 08 21 冀魯豫交界區(qū)地下流體模糊熵值的變化與地震的關系 地震研究 2003 01 22 一種基于代價函數和模糊熵的圖像分割方法 光子學報 2003 12 23 基于遺傳算法和模糊熵的前視紅外圖像分割 紅外與毫米波學報 2003 06 24 基于Fuzzy集的Vague集的模糊熵 華中科技大學學報(自然科學版) 2003 01 25 模糊決策樹中參數對模糊熵的敏感性分析 計算機工程 2003 11 26 基于模糊熵及遺傳算法的圖像增強技術 農業(yè)機械學報 2003 03 27 利用模糊熵進行參數有效性分析的語音情感識別 電路與系統學報 2003 03 28 基于模糊熵聚類和Kalman濾波的區(qū)域跟蹤 測控技術 2003 11 29 基于極大模糊熵原理的