1、充要條件的判斷和應(yīng)用無錫市第一中學(xué) 屠莉雯在常用邏輯用語單元的“充分條件和必要條件”的學(xué)習(xí)中，許多同學(xué)感到比較困難，經(jīng)常會(huì)判斷錯(cuò)。的確，充分條件和必要條件是研究命題條件與結(jié)論關(guān)系的一個(gè)重要概念，較為抽象，容易混淆，因而也是一個(gè)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。弄懂這些知識(shí)，有助于更好的理解命題成立的條件和提高邏輯推理能力。筆者接下來就來和同學(xué)們討論一下如何正確判斷和應(yīng)用充分條件和必要條件，輕松備戰(zhàn)高考。一、充要條件的判斷利用定義判斷充分條件和必要條件的方法當(dāng)然是最基本、最常規(guī)的方法。根據(jù)定義：（1）若，則稱是的充分條件，同時(shí)也稱是的必要條件；（2）若且，則稱是的充要條件；（3）若且，則稱是的充分不必要條件，也稱是的

2、必要不充分條件；（4）若且，則稱是的既不充分又不必要條件。所以只要判斷能否推出或者能否推出即可。例1：（2007年湖北高考卷）已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件。則是的 條件；是的 條件。解析：由題意，之間的關(guān)系可表示為：所以是的充要條件；是的充分不必要條件。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于條件比較多且關(guān)系復(fù)雜的問題，用推斷符號(hào)“”可以直觀表示條件與結(jié)論之間的關(guān)系，結(jié)合條件的傳遞性，易于判斷充分必要條件。 在利用定義判斷時(shí)，當(dāng)“推出”關(guān)系不易判斷時(shí)，可以將判斷“能否推出”轉(zhuǎn)化成判斷命題“若則”的真假性。即若要確定是的充分不必要條件，只要得到命題“若則”為真，而命題“若則”為假。

3、其它情況可類似地處理。這樣處理有利于理清條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系，以便化復(fù)雜問題為簡(jiǎn)單問題，更利于著手進(jìn)行判斷。例2：（2006年湖南高考卷）“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的 條件。解析：考察：能否推出函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，即判斷命題：“若，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”是否為真。而在區(qū)間上顯然為增函數(shù)，即命題為真，所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；反之即判斷命題：“若在區(qū)間上為增函數(shù)，則”是否為真，而在區(qū)間上為增函數(shù)，則即可，所以命題為假，即函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)。由此，“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件。點(diǎn)評(píng)：命題真假的判斷往往需要結(jié)合其他知識(shí)和概念進(jìn)行邏輯推理，特別是要推斷某個(gè)命題是真命題時(shí)，邏

4、輯推理的過程必須是詳細(xì)且嚴(yán)密的，但要推斷某個(gè)命題是假命題時(shí)，可以通過舉一個(gè)反例來說明，不必要進(jìn)行嚴(yán)格論證。例3：若是的充分不必要條件，則是的什么條件？解析：是的充分不必要條件，將其轉(zhuǎn)化稱命題形式即：若則為真，而若則為假，根據(jù)逆否命題的等價(jià)性，則：若則為真，若則為假，從而有且，所以就有是的必要不充分條件。點(diǎn)評(píng)：利用命題的形式將與關(guān)系轉(zhuǎn)化成了與的關(guān)系，使問題輕松得到解決。此外還可以利用集合間的包含關(guān)系來判斷命題的充要關(guān)系。設(shè)滿足條件的元素構(gòu)成集合，滿足條件的元素構(gòu)成集合，則（1）若，則是的充分條件，；（2）若，則是的充要條件；（3）若，則稱是的充分不必要條件；（4）若且，則是的既不充分又不必要條件

5、。當(dāng)條件與結(jié)論能夠用集合形式表示時(shí)，采用這種方法即將問題轉(zhuǎn)變成了某兩個(gè)集合的包含關(guān)系的判斷，又將復(fù)雜問題化成了簡(jiǎn)單問題解決。例4：若，則是的什么條件？解析：設(shè)，顯然，則是的充分不必要條件。點(diǎn)評(píng)：題目條件中的與在判斷相互推出關(guān)系時(shí)，比較抽象，不利于掌握，轉(zhuǎn)化成集合包含關(guān)系的判斷后，問題變得具體了，很容易判斷。例5：（2008年湖北高考卷）若非空集合滿足，且不是的子集，則下列說法正確的序號(hào)是 。（1）“”是“”的充分條件但不是必要條件（2）“”是“”的必要條件但不是充分條件（3）“”是“”的充要條件（4）“”既不是“”的充分條件也不是“”的必要條件解析：由，且不是的子集，可以推斷得到是的真子集，即

6、，所以“”是“”的必要條件但不是充分條件，即（2）是正確的。點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是判斷集合與的關(guān)系，但是若不了解集合包含與充要條件之間關(guān)系的話，也只能干瞪眼了。另外要注意題目中的“不是的子集”的條件，若刪去該條件，則無法得到，只能得到，此時(shí)能判斷“”是“”的必要條件，而充分條件沒有辦法確定。充分條件、必要條件的判斷是對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)最基本的考查。只要領(lǐng)會(huì)上面所提到的兩種判斷方法，就可以輕松解決這類問題。無論哪一種方法或角度，都需要同學(xué)們首先能深刻理解充要條件的定義，會(huì)用邏輯語言表達(dá)，然后能根據(jù)題目條件，考慮是從命題角度還是從集合角度進(jìn)行判斷，而且這種方法的選擇是顯而易見的。二、充要條件的應(yīng)用從考試要求

7、來看，對(duì)充要條件的考查要求是B級(jí)，即要達(dá)到理解層次。所以從各類考試中，能夠發(fā)現(xiàn)對(duì)充要條件的考查主要體現(xiàn)在綜合問題上，把充要條件與其它知識(shí)結(jié)合，用充要條件作為載體，而且有時(shí)候問題的難點(diǎn)不在充要條件，在其它知識(shí)上，此刻的充要條件是作為一種“包裝”出現(xiàn)的，而單純考查充要條件（如例1）這類問題卻是不多見的，即使出現(xiàn)，也是以填空題的形式居多。所以同學(xué)們?cè)谀苷_判斷充要條件的基礎(chǔ)上，更多的是要注意對(duì)充要條件的靈活應(yīng)用。例6：已知集合，（1）是否存在實(shí)數(shù)，使是的充要條件，若存在，求的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使是的必要條件，若存在，求的取值范圍。解析：，（1）要使是的充要條件，則，即，無解，所以使是的充要條件的實(shí)數(shù)不存在；（2）要使是的必要條件，則，即，得，所以使是的必要條件的實(shí)數(shù)的取值范圍為。點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵在于用集合語言轉(zhuǎn)化條件中的“充要條件”與“必要條件”，轉(zhuǎn)化后的解集的包含關(guān)系利用數(shù)軸解決是最直觀和方便的。例7：已知數(shù)列滿足，求證：成等差數(shù)列的充要條件是成等差數(shù)列。（參考公式：解析：必要性證明。若成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則=從而，則為常數(shù)，所以成等差數(shù)列；充分性證明。若成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，則，兩式相減得：，則=，則為常數(shù)，所以成等差數(shù)列。綜上所述，成等差數(shù)列的充要條件是成等差數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：本題涉及充要條件的證明，此時(shí)要分充分性和必要性兩方面分別論證。證明時(shí)要注意