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1、(母函數(shù)在遞歸關(guān)系中的應(yīng)用)5.5母函數(shù)法 母函數(shù)法是求解遞歸關(guān)系的一種重要方法，它不僅可以用來(lái)求解常系數(shù)線性齊次、非齊次遞歸關(guān)系 而且，更為重要的是，它也可以用來(lái)求解非線性遞歸關(guān)系和非常系數(shù)遞歸關(guān)系。下面舉例說(shuō)明。解：設(shè) 為序列例1求解的遞歸關(guān)系式(5.5) (F0，F(xiàn)1，,Fn，)的普通母函數(shù)。并將式(5.5)代入F(x)中有解F(x)得由待定系數(shù)法可以確定之值為而1-x-x2=0有兩個(gè)根故將 代入即于是有因此得解：設(shè) 是序列(a1，a2,an)的普通母函數(shù)。將式(5.10)代入f(x)中有例2求解遞歸關(guān)系式(5.10)上式中令r=1,n=3,得解f(x)得由(1.22)式知故有因此有 解

2、：這是一個(gè)非線性遞歸關(guān)系。設(shè) 是序列(a1,a2,an,)的普通母函數(shù)，則例3求解遞歸關(guān)系式(5.11)解f(x)得 由于 ,而 故舍去f1(x) 因此有又由式(1.21)知在上式中令z=-4x有因此有故 通常，稱(chēng)滿(mǎn)足遞歸關(guān)系式(5.11)的序列(a1,a2,an,)為Catalan序列，稱(chēng)序列 中的數(shù) 為Catalan數(shù)。 這個(gè)數(shù)很重要，它在各種不同的范圍里經(jīng)常出現(xiàn)，許多有意義的計(jì)數(shù)問(wèn)題都與這個(gè)數(shù)有關(guān)。 解：這是一個(gè)非常系數(shù)線性齊次遞歸關(guān)系。設(shè) 為序列(a1,a2,an,)的普通母函數(shù)。例4求解遞歸關(guān)系(5.28)將f(x)微分有將上式兩邊同乘以x有因此有(注意a0=0,a1=1)而將以上三個(gè)式子的兩邊分別相加并由式(5.28)有故這是一個(gè)常微分方程，解得而于是有故由上面的例子可見(jiàn)，用母函數(shù)法求解遞歸關(guān)系的方法和步驟為1.用f(x)表示序列(a0,a1,an,)的普通母函數(shù)，即由初值條件a1=1，可得c=1故有 2. 利用遞歸關(guān)系an的表達(dá)式與式(5.29)之間的關(guān)系，將式(5.29)化為關(guān)于f(x)的方程(大多數(shù)情況是將遞歸關(guān)系an的表達(dá)式代入式(5.29)的右端)，即 g(f(x)=0 3.由式(5.

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