1、第3章 區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間大樣本置信區(qū)間統(tǒng)計(jì)推斷的過(guò)程總體總體均值、比例、方差樣本樣本統(tǒng)計(jì)量例如：樣本均值、比例、方差 0 引言 前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì). 它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù). 但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它無(wú)法給出這個(gè)近似值的精度（也可用均方誤差來(lái)刻畫(huà)），使用起來(lái)把握不大（間接）. 區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷（可直接給出誤差限） . 譬如，在估計(jì)湖中魚(yú)數(shù)的問(wèn)題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚(yú)數(shù) N 的極大似然估計(jì)為1000條. 若我們能給出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信 N 的真值位于其中. 這樣對(duì)魚(yú)數(shù)的估計(jì)就有把握多了.

2、 實(shí)際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.也就是說(shuō)，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚(yú)數(shù)的真值 這里所說(shuō)的“可靠程度”是用概率來(lái)度量的 ，稱(chēng)為置信度或置信水平. 習(xí)慣上把置信水平記作 ，這里 是一個(gè) 很小的正數(shù)，其大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.1、區(qū)間估計(jì)2、回顧分位數(shù)3、 置信區(qū)間注1：這里有兩個(gè)要求:注2： 對(duì)參數(shù) 作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴(lài)于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量).可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.1. 要求 以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說(shuō)，概率 要盡可能大 .即要求估計(jì)盡量可靠. 2.

3、 估計(jì)的精度要盡可能的高. 如要求區(qū)間長(zhǎng)度 盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.4、同等置信區(qū)間 N(0, 1)選 的點(diǎn)估計(jì)為 ,求參數(shù) 的置信度為 的置信區(qū)間. 例1 設(shè)X1,Xn是取自 的樣本， 明確問(wèn)題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？尋找未知參數(shù)的一個(gè)良好估計(jì).解 尋找一個(gè)待估參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量的函數(shù) ，要求其分布為已知.有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.5、置信區(qū)間的求法從中解得對(duì)給定的置信水平查正態(tài)分布表得使也可簡(jiǎn)記為于是所求 的 置信區(qū)間為 從例1解題的過(guò)程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下:1）明確問(wèn)題, 是求什么參數(shù)的置信區(qū)間? 置信水平 是多少?2） 尋找參數(shù)

4、 的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)T(X1,X2,Xn) 3）尋找一個(gè)待估參數(shù) 和估計(jì)量 T 的函數(shù) U(T, ),且其分布為已知. 4）對(duì)于給定的置信水平 ，根據(jù)U(T, )的分布，確定常數(shù)a, b，使得 P(a U(T, )b) = 5）對(duì)“aS(T, )b”作等價(jià)變形,得到如下形式:即于是 就是 的100( )的置信區(qū)間. 需要指出的是，給定樣本，給定置信水平 ，置信區(qū)間也不是唯一的.對(duì)同一個(gè)參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間. 例如，設(shè) X1 , , Xn 是取自 的樣本 ， 求參數(shù) 的置信水平為 的置 N(0, 1)信區(qū)間. 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，對(duì)任意a、b，我們可以求得 P( aUb) .N(0, 1

5、)例如，由P(-1.96U1.96)=0.95我們得到均值 的置信水平為的置信區(qū)間為由 P(-1.75U2.33)=0.95這個(gè)區(qū)間比前面一個(gè)要長(zhǎng)一些.置信區(qū)間為我們得到均值 的置信水平為的我們總是希望置信區(qū)間盡可能短. 類(lèi)似地，我們可得到若干個(gè)不同的置信區(qū)間. 任意兩個(gè)數(shù)a和b，只要它們的縱標(biāo)包含f(u)下95%的面積，就確定一個(gè)95%的置信區(qū)間.在概率密度為單峰且對(duì)稱(chēng)的情形，當(dāng)a =-b時(shí)求得的置信區(qū)間的長(zhǎng)度為最短.a =-b 即使在概率密度不對(duì)稱(chēng)的情形，如 分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對(duì)稱(chēng)的分位點(diǎn)來(lái)計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間. 我們可以得到未知參數(shù)的的任何置信水平小于 1 的置信區(qū)間，并且置信水

6、平越高，相應(yīng)的置信區(qū)間平均長(zhǎng)度越長(zhǎng). 上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限. 例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來(lái)說(shuō)，平均壽命過(guò)長(zhǎng)沒(méi)什么問(wèn)題，過(guò)短就有問(wèn)題了. 這時(shí), 可將置信上限取為+ ，而只著眼于置信下限 ，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.6、置信限（單側(cè)置信區(qū)間）設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布. 求燈泡壽命均值 的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限. 例2 從一批燈泡中隨機(jī)抽取5只作壽命試驗(yàn)，測(cè)得壽命X（單位：小時(shí)）如下：1050，1100，1120，1250，1280方差 未知解 的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值 , 對(duì)給定的置信水平 ，確定分位點(diǎn)使即于是得到 的置信水平為 的單側(cè)置信區(qū)間為 將樣本值代入得的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限是1065小時(shí)的置信水平為 的單側(cè)置信下限為即課堂練習(xí) 隨機(jī)地取炮彈 10 發(fā)做試驗(yàn)，得炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差 , 炮口速度服從正態(tài)分布. 求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為0.95 的置信區(qū)間.由解 隨機(jī)地取炮彈 10 發(fā)做試驗(yàn)，得炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差 , 炮口速度服從正態(tài)分布. 求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為0.95 的置信區(qū)間.于