1、第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第二講導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用第三課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根、不等式知識(shí)梳理雙基自測(cè)考點(diǎn)突破互動(dòng)探究名師講壇素養(yǎng)提升知識(shí)梳理雙基自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法方法一：(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值(2)根據(jù)函數(shù)f(x)的性質(zhì)作出圖象(3)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)方法二：(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值(2)分類(lèi)討論，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)知識(shí)點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題策略(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式若證明f(x)g(x)，x(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，如果能證明F(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可證明f(x)0)證明(1)設(shè)f

2、(x)exx1，則f(x)ex1在(，0)上f(x)0，故f(x)在(，0)上遞減，在(0，)上遞增，所以f(x)在x0處有最小值，故f(x)f(0)0，exx1.題組三走向高考5(2018江蘇，5分)若函數(shù)f(x)2x3ax21(aR)在(0，)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f(x)在1,1上的最大值與最小值的和為_(kāi).3考點(diǎn)突破互動(dòng)探究(2020全國(guó)，20)已知函數(shù)f(x)exa(x2)(1)當(dāng)a1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍解析(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)exx2，則f(x)ex1.當(dāng)x0時(shí)，f(x)0時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(，0)單調(diào)遞減，在(0，)單

3、調(diào)遞增例1考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根師生共研(2)f(x)exa.當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(，)單調(diào)遞增，故f(x)至多存在1個(gè)零點(diǎn)，不合題意當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0可得xln a，當(dāng)x(，ln a)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)單調(diào)遞減，在(ln a，)單調(diào)遞增，故當(dāng)xln a時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(ln a)a(1ln a)利用導(dǎo)數(shù)研究方程根或函數(shù)零點(diǎn)的方法(1)研究方程根的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等(2)根據(jù)題目要求，畫(huà)出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置(3)通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，可以

4、使問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)變式訓(xùn)練1(2021安徽合肥調(diào)研性檢測(cè))已知函數(shù)f(x)kxln x1(k0)若函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，g(x)maxg(1)1，當(dāng)x時(shí)，g(x)0，要使f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則k1.角度1移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)證明不等式已知函數(shù)f(x)x2e2x2.(1)求曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)方程；(2)當(dāng)x0,2時(shí)，求證：f(x)2x28x5.解析(1)f(x)2e2x2(x2x)，f(1)4，f(1)1，則曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)方程為y14(x1)，即y4x3.例2考點(diǎn)二

5、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的有關(guān)問(wèn)題多維探究(2)證明：當(dāng)x0,2時(shí)，令g(x)x2e2x22x28x5，則g(x)2e2x2(x2x)4x8，令h(x)g(x)，則h(x)2e2x2(2x24x1)40，所以g(x)在0,2上單調(diào)遞增，且g(1)0，所以g(x)在0,1上單調(diào)遞減，在(1,2上單調(diào)遞增，所以g(x)的最小值為g(1)0，所以g(x)0，即f(x)2x28x5.待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減左”的函數(shù)，利用研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式例3某些不等式，直接構(gòu)造不易求最值，可利用條件與不等式性質(zhì)，適當(dāng)放縮后，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明角度3分拆函數(shù)

6、法證明不等式(2022百校大聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)eln xax(aR)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)ae時(shí)，證明：xf(x)ex2ex0.例4(1)若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無(wú)從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目的(2)在證明過(guò)程中，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處g(x)minf(x)max恒成立，從而f(x)g(x)恒成立角度4不等式恒成立或有解問(wèn)題已知函數(shù)f(x)aex2x1.(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；(2)若f(x)0對(duì)xR恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)ex2x1，則f(x)ex2，令f(x)0，解得x0，解得

7、xln 2.故函數(shù)f(x)在(，ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2，)上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)的極小值為f(ln 2)22ln x132ln 2，無(wú)極大值例5分離參數(shù)法解決恒(能)成立問(wèn)題的策略(1)分離變量構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題(2)af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立af(x)min；af(x)能成立af(x)min；af(x)能成立af(x)max.(4)因?yàn)閒(x)aex，xR.當(dāng)a0時(shí)，f(x)0時(shí)，令f(x)0，得xln a.由f(x)0，得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，ln a)；由f(x)0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，ln a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(ln a，)名師講壇素養(yǎng)提升例6(1)函數(shù)中與正整數(shù)有關(guān)的不等式，其實(shí)質(zhì)是利用函數(shù)性質(zhì)證明數(shù)列不等式，證明此類(lèi)問(wèn)題時(shí)常根據(jù)已知的函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)n的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量通過(guò)多次求和達(dá)到證明的目的此類(lèi)問(wèn)題一般至少2問(wèn)，所證